2018年高考秘籍－破解导数压轴题策略：7导数不等式的证明－凸凹性法（2）.doc

导数中的不等式证明

【考点点睛】
放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。尽管如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！ 放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。
命题角度1 构造函数
命题角度2 放缩法
命题角度3 切线法
命题角度4 二元或多元不等式的证明思路
命题角度5 函数凹凸性的应用
在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.
命题角度5 函数凹凸性的应用
【考法点拨】不等式恒成立问题中，许多试题的几何背景是曲线与切线静态或动态的上下位置关系，进而应用曲线的凸凹性可获得思路自然、过程简洁的图解.
【知识拓展】一般地，对于函数的定义域内某个区间上的不同的任意两个自变量的值，
①总有（当且仅当时，取等号），则函数在上是凸函数，其几何意义：函数的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的上方.，则单调递减，在上为凸函数；

②总有（当且仅当时，取等号），则函数在上是凹函数，其几何意义：函数的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的下方.，则单调递增，在上为凹函数.
【典例13】（咸阳市2018届三模）已知函数，.
（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）求证：.
【解析】（1）等价于，即，
记，则，
当时，，在上单调递增，由，，
所以，即不恒成立；
当时，时，，单调递增，不恒成立；
当时，，，在上单调递减，，所以，即恒成立；
故在上恒成立，实数的取值范围是；
（2）当时，在上成立，即，
………﹝也是应用函数的凸凹性进行切线放缩的重要途径﹞
令，则，
所以
，
所以
【方法归纳】当时，，由于在上单调递减，所以为凸函数，则切线在函数的图象的上方，所以.
【典例14】（福建泉州市2018年5月质检）函数的图像与直线相切．
（1）求的值；
（2）证明：对于任意正整数，.
【解析】（1）．
设直线与曲线相切于点．依题意得：
，整理得，，……（*）
令，．
所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减．当时，取得最小值，
所以，即. ………﹝注意：该不等式是下一小题的放缩途径﹞
故方程（*）的解为，此时．
（2）①要证明，即证，
只需证.
由（1）知，，即， ………﹝根据结构特征，合理代换，寻求放缩途径﹞
因此，，…，．
上式累加得：，得证；
②要证明，即证，
只需证.
令，则．
……﹝根据结构特征，构造函数，寻求放缩途径﹞
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.当时，取得最大值，即，．
由得：
，，…，．
上式累加得：，得证；
综上，.
【审题点津】第（2）小题待证不等式的证明途径只有从第（1）小题的探究切线的过程中挖掘，这是切线放缩法的拓展运用.
【典例15】（石家庄市2018届高中毕业班一模）已知函数在处的切线方程为.
（1）求；
（2）若方程有两个实数根，且，证明：.
【解析】（1）；
（2）由（1）可知， ，，
设在处的切线方程为，易得，
令， ，……﹝不等式放缩须利用切线﹞
则，
当时，，
当时，
设，则，
故函数在上单调递增，
又，所以当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，即，所以，
设的根为，则， ……﹝切线放缩注意“脑中有形”﹞
又函数单调递减，故，故，
再者，设在处的切线方程为，易得，
令，，
当时，，
当时，
令，则，
故函数在上单调递增，
又，所以当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，即，所以，
设的根为，则， ……﹝切线放缩注意“脑中有形”﹞
又函数单调递增，故，故，
又，

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所以.
【能力提升】结合函数的凸凹性应用切线放缩法证明不等式必须做到“脑中有形”，结合示意图易得，显然.脑海中有这样的示意图，我们的思路不就清晰了吗？