《1.2.2-极坐标与直角坐标的关系》导学案3.doc

《1.2.2 极坐标与直角坐标的关系》导学案3

学习目标
1.体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
2.学会极坐标和平面直角坐标的互化.
知识梳理
1．极坐标与直角坐标的互化
以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图4－1－2所示)，平面内任一点M的直角坐标(x，y)与极坐标(ρ，θ)可以互换，

图4－1－2

公式是：或
通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0,0≤θ＜2π.

思考探究
1．将直角坐标化为极坐标时如何确定ρ和θ的值？
【提示】　由ρ2＝x2＋y2求ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝(x≠0)确定θ时，根据点(x，y)所在的象限取得最小正角．当x≠0时，θ角才能由tan θ＝按上述方法确定．当x＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；(2)当 x＝0，y＞0时，可取θ＝；(3)当x＝0，y＜0时，可取θ＝.

课堂互动探究
例题精解
例题1 (1)把点M的极坐标化成直角坐标；
(2)把点P的直角坐标(，－)化成极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．
【自主解答】　(1)x＝8cos＝－4，y＝8sin＝4，因此，点M的直角坐标是(－4,4)．
(2)ρ＝＝2，
tan θ＝＝－，
又因为点P在第四象限且0≤θ≤2π，得θ＝.因此，点P的极坐标为(2，)．

例题2 (1)把点A的极坐标(2，)化成直角坐标；
(2)把点P的直角坐标(1，－)化成极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．
【解】　(1)x＝2cos ＝－，
y＝2sin ＝－1，
故点A的直角坐标为(－，－1)．
(2)ρ＝＝2，tan θ＝＝－.
又因为点P在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝.
因此点P的极坐标是(2，).

课堂作业
1．在极坐标系中，作出下列各点：
A，B，C，D，E(4，0)，F(2.5，π)．
【解】　各点描点如下图．

2．极坐标系中，点A的极坐标是(3，)，求点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标．
【解】　极坐标系中的点(ρ，θ)关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标为(ρ，(2k＋1)π－θ)(k∈Z)，利用此，即可写出其中一个为(3，)．
3．已知点M的极坐标为(－2，－)，若限定ρ＞0,0≤θ＜2π，求点M的极坐标．
【解】　∵(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)表示同一点，
∴(－2，)与(2，)为同一点的极坐标，故点M的极坐标为(2，)．
4．在极坐标中，若等边△ABC的两个顶点是A、B(2，)，那么顶点C的坐标是多少？

【解】　如右图，由题设可知A、B两点关于极点O对称，即O是AB的中点．
又AB＝4，△ABC为正三角形，OC＝2，∠AOC＝，C对应的极角θ＝＋＝或θ＝－
＝－，即C点极坐标为或.
5．设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30(万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标．
【解】　如图所示，建立极坐标系，使极点O位于抛物线的焦点处，极轴Ox过抛物线的对称轴，由题设可得下列四种情形：(1)当θ＝时，ρ＝30(万千米)；(2)当θ＝时，ρ＝30(万千米)；(3)当θ＝时，ρ＝30(万千米)；(4)当θ＝时，ρ ＝30(万千米)．

彗星此时的极坐标有四种情形：(30，)，(30，)，(30，)，(30，)．
6．已知A、B两点的极坐标分别是(2，)、(4，)，求A、B两点间的距离和△AOB的面积．
【解】　求两点间的距离可用如下公式：
AB＝
＝＝2.
S△AOB＝|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|
＝|2×4×sin(－)|＝×2×4＝4.
7．已知定点P(4，)．
(1)将极点移至O′(2，)处极轴方向不变，求P点的新坐标；
(2)极点不变，将极轴顺时针转动角，求P点的新坐标．

【解】　(1)设P点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知OO′＝2，OP＝4，∠POx＝，∠O′Ox＝，
∴∠POO′＝.
在△POO′中，ρ2＝42＋(2)2－2·4·2·cos ＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.
又∵＝，
∴sin∠OPO′＝·2＝，
∴∠OPO′＝.
∴∠OP′P＝π－－＝，

∴∠PP′x＝.
∴∠PO′x′＝.
∴P点的新坐标为(2，)．
(2)如图，设P点新坐标为(ρ，θ)，
则ρ＝4，θ＝＋＝.
∴P点的新坐标为(4，)．

课后检测
(2013·镇江模拟)已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标．
(1)A(3，)；(2)B(－2，－2)；
(3)C(0，－2)；(4)D(3,0)．
【命题意图】　本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题．
【解】　(1)由题意可知：ρ＝＝2，tan θ＝，所以θ＝，
所以点A的极坐标为(2，)．
(2)ρ＝＝4，tan θ＝＝，又由于θ为第三象限角，故θ＝π，所以B点的极坐标为(4，π)．
(3)ρ＝＝2.θ为π，θ在y轴负半轴上，所以点C的极坐标为(2，π)．
(4)ρ＝＝3，tan θ＝＝0，故θ＝0.
所以D点的极坐标为(3,0)．