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课时作业46 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、选择题
1．已知p：“a＝”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的( )．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，且与直线l2：3x＋4y－6＝0平行，则直线l1的方程是( )．
A．3x＋4y－1＝0
B．3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－9＝0
C．3x＋4y＋9＝0
D．3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0
3．(2012广东高考)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于( )．
A．3 B．2 C． D．1
4．设直线l经过点P(3,4)，圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4.若直线l与圆C交于两个不同的点，则直线l的斜率的取值范围为( )．
A． B．
C． D．
5．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )．
A． B． C．2 D．3
6．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a＞0)及直线l：x－y＋3＝0.当直线l被C截得的弦长为2时，a＝( )．
A． B．2－
C．－1 D．＋1
7．直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝9相交于两点M，N，若c2＝a2＋b2，则·(O为坐标原点)等于( )．
A．－7 B．－14 C．7 D．14
二、填空题
8．(2012安徽合肥六中模拟)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2－2y＝0相切，则a的值是__________．
9．(2012北京高考)直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为__________．
10．已知△ABC的三个顶点分别为A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为__________．
三、解答题
11．已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)，
(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；
(2)若a＝，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|＋|BD|的最大值．
12．(2013届安徽淮北一中月考)如图，圆M圆心在x轴上，与x轴的一个交点为A(－2,0)，与y轴的一个交点为B(0，－2)，点P是OA的中点．
(1)求圆M的标准方程；
(2)若过P点的直线l截圆M所得的弦长为2，求直线l的方程．
参考答案
一、选择题
1．A 解析：由直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切，可得＝1，即a＝±.
∴p⇒q而qp，∴p是q的充分而不必要条件．
2．D 解析：设直线l1的方程为3x＋4y＋m＝0.
∵直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，
∴＝1.
∴|m－4|＝5.∴m＝－1或m＝9.
∴直线l1的方程为3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0.
3．B 解析：如图所示，
设AB的中点为D，则OD⊥AB，垂足为D，连接OA.
由点到直线的距离得|OD|＝＝1，
∴|AD|2＝|OA|2－|OD|2＝4－1＝3，|AD|＝，
∴|AB|＝2|AD|＝2.
4．C 解析：由题意，设直线l的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0.
又直线l与圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4交于两个不同的点，
所以圆心到直线的距离小于圆的半径长，即＜2，解得k＞.
所以直线l的斜率的取值范围为.
5．C 解析：设圆上的点为(x0，y0)，其中x0＞0，y0＞0，
则切线方程为x0x＋y0y＝1.
分别令y＝0，x＝0，得A，B，
∴|AB|＝＝≥＝2当且仅当x0＝y0时，等号成立．
6．C 解析：如图，由题意知圆心为(a,2)，到直线l的距离应等于1，
即＝1，∴a＝－1±.
∵a＞0，∴a＝－1.
7．A 解析：记，的夹角为2θ.
依题意得，圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于＝1，cos θ＝，cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－，·＝3×3cos 2θ＝－7.
二、填空题
8．1± 解析：＝1⇒a＝1±.
9．2 解析：由题意得，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2，圆心到直线x－y＝0的距离d＝＝.
设截得的弦长为l，则由2＋()2＝22，得l＝2.
10． 解析：BC中点坐标为
D，
所以|AD|＝
＝.
三、解答题
11．解：(1)由条件知点M在圆O上，
所以1＋a2＝4，解得a＝±.
当a＝时，点M为(1，)，kOM＝，k切线＝－，
此时切线方程为y－＝－(x－1)，
即x＋y－4＝0.
当a＝－时，点M为(1，－)，kOM＝－，k切线＝，
此时切线方程为y＋＝(x－1)，即x－y－4＝0.
所以所求的切线方程为x＋y－4＝0，或x－y－4＝0.
(2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d2≥0)，则d12＋d22＝|OM|2＝3.
于是|AC|＝2，|BD|＝2.
所以|AC|＋|BD|＝2＋2.
则(|AC|＋|BD|)2＝4(4－d12＋4－d22＋2)
＝4[5＋2]
＝4(5＋2)．
因为2d1d2≤d12＋d22＝3，
所以d12d22≤，当且仅当d1＝d2＝时取等号．所以≤.
所以(|AC|＋|BD|)2
≤4×＝40.
所以|AC|＋|BD|≤2，
即|AC|＋|BD|的最大值为2.
12．解：(1)由题可知：△ABC是直角三角形，∠B为直角．
又OB⊥AC，故OB2＝OA·OC，则OC＝4，
∴AC＝6，圆M的半径为3，M点的坐标为(1,0)．
∴圆M的标准方程为(x－1)2＋y2＝9.
(2)由点P是OA的中点知P点坐标为(－1,0)．
①当过P点的直线l斜率不存在时，此时直线的方程为x＝－1，此时截得的弦长为2，不满足题意，故斜率存在．
②设过P点的直线l方程为y＝k(x＋1)．
∵直线l截圆M所得弦长为2，
∴圆心M到直线l的距离为d＝＝.
又∵点M到直线l的距离为，
∴＝，解得k＝±.
故直线l的方程为y＝(x＋1)或y＝－(x＋1)．
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