2011届高考数学单元练习及解析-解析几何章末质量检测.doc

第八章 解析几何

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2009·天津河西期末)点P(－2,1)到直线2x＋y＝5的距离为 (　　)
A.　　　　　　　　　B. C. D.
解析：点P到直线的距离d＝＝.
答案：B
2．(2010·苏州模拟)若ab<0，则过点P与Q的直线PQ的倾斜角的取值范围是 (　　)
A. B. C. D.
解析：kPQ＝＝，∵ab<0，∴<0，即k<0，
∴直线PQ的倾斜角的取值范围是.
答案：B
3．若双曲线－y2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为 (　　)
A. B. C. D．2
解析：由题意知a2＋1＝4，∴a＝，∴e＝＝＝.
答案：C
4．(2010·厦门质检)直角坐标平面内过点P(2,1)且与圆x2＋y2＝4相切的直线 (　　)
A．有两条 B．有且仅有一条
C．不存在 D．不能确定
解析：∵22＋12>4，∴点P在圆外，故过点P与圆相切的直线有两条．
答案：A
5．直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点逆时针旋转所得的直线方程是 (　　)
A．－x＋2y－4＝0 B．x＋2y－4＝0
C．－x＋2y＋4＝0 D．x＋2y＋4＝0
解析：由题意知，两直线垂直，且已知直线过点(0，－2)，所求直线斜率为－，∴所求直线方程为y＋2＝－x，即x＋2y＋4＝0.
答案：D
6．(2010·广州调研)已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为 (　　)
A．y＝－2x B．y＝2x C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4
解析：设点P(x，y)，R(x1，y1)，∵＝，
∴(1－x1，－y1)＝(x－1，y)，
∴即
又点R在直线l上，∴－y＝2(2－x)－4，
即2x－y＝0为所求．
答案：B
7．过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为 (　　)
A．2 B．2 C．3 D．2
解析：当过点(0,1)的直线与直径垂直且(0,1)为垂足时，|AB|最小值为2.
答案：B
8．如右图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的
两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆
与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，
则双曲线的离心率为 (　　)
A. B. C. D．1＋
解析：连结AF1，则∠F1AF2＝90°，∠AF2B＝60°，
∴|AF1|＝|F1F2|＝c，
|AF2|＝|F1F2|＝c，
∴c－c＝2a，∴e＝＝＝1＋.
答案：D
9．(2009·海淀模拟)若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点(　　)
A．(0,4) B．(0,2) C．(－2,4) D．(4，－2)
解析：直线l1恒过定点(4,0)，点(4,0)关于点(2,1)对称的点为(0,2)，由题意知l2恒过点(0,2)．
答案：B
10．抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过等轴双曲线x2－y2＝1的左焦点，则p＝(　　)
A. B. C．2 D．4
解析：双曲线x2－y2＝1的左焦点为(－，0)，故抛物线的准线为x＝－，∴＝，p＝2.
答案：C
11．若直线ax＋by＋1＝0(a、b>0)过圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为 (　　)
A．8 B．12 C．16 D．20
解析：由题意知，圆心坐标为(－4，－1)，由于直线过圆心，所以4a＋b＝1，从而＋＝(＋)(4a＋b)＝8＋＋≥8＋2×4＝16(当且仅当b＝4a时取“＝”)．
答案：C
12．(2010·诸城模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的
直线l交抛物线于点A、B(如图所示)，交其准线于点C，
若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为 (　　)
A．y2＝9x　 　　B．y2＝6x
C．y2＝3x　　　 D．y2＝x
解析：点F到抛物线准线的距离为p，又由|BC|＝2|BF|得点
B到准线的距离为|BF|，则＝，∴l与准线夹角为30°，
则直线l的倾斜角为60°.由|AF|＝3，如图连结AH⊥HC，
EF⊥AH，则AE＝3－p，
则cos60°＝，故p＝.
∴抛物线方程为y2＝3x.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)
13．(2009·杭州模拟)直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．
解析：直线过点(2,0)和(0,1)，即为椭圆的一个焦点和一个顶点，又a>b>0，∴焦点在x轴上，
∴c＝2，b＝1，a＝＝，∴e＝.
答案：
14．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线x·sinA＋ay＋c＝0与bx－y·sinB＋sinC＝0的位置关系是________．
解析：在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴asinB－bsinA＝0，
∴两直线垂直．
答案：垂直
15．(2009·全国卷Ⅱ)已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．
解析：依题意过A(1,2)作圆x2＋y2＝5的切线方程为x＋2y＝5，在x轴上的截距为5，在y轴上的截距为，切线与坐标轴围成的面积S＝··5＝.
答案：
16．(2009·湖南高考)过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．
解析：∵∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°.
在Rt△OAF中，|OA|＝a，|OF|＝c，
∴e＝＝＝＝2.
答案：2
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线x＋y－7＝0及x＋y－5＝0上，求AB中点M到原点距离的最小值．
解：设AB中点为(x0，y0)，
∴
又∵
∴(x1＋x2)＋(y1＋y2)＝12，
∴2x0＋2y0＝12，
∴x0＋y0＝6.
∴原点到x0＋y0＝6距离为所求，即d＝＝3.
18．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y＝4相切．
(1)求圆O的方程；
(2)圆O与x轴相交点A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求·的取值范围．
解：(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－y＝4的距离，即r＝＝2.
得圆O的方程为x2＋y2＝4.
(2)不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，x1＜x2.
由x2＝4即得A(－2,0)，B(2,0)．
设P(x，y)，由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，得
·＝x2＋y2，
即x2－y2＝2.
·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2
＝2(y2－1)．
由于点P在圆O内，故由此得y2＜1.
所以·的取值范围为[－2,0)．
19．(本小题满分12分)已知点(x，y)在曲线C上，将此点的纵坐标变为原来的2倍，对应的横坐标不变，得到的点满足方程x2＋y2＝8；定点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0)，直线l与曲线C交于A，B两个不同点．
(1)求曲线C的方程；
(2)求m的取值范围．
解：(1)在曲线C上任取一个动点P(x，y)，
则点(x,2y)在圆x2＋y2＝8上．
所以有x2＋(2y)2＝8.
整理得曲线C的方程为＋＝1.
(2)∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，
又kOM＝，
∴直线l的方程为y＝x＋m.
由得x2＋2mx＋2m2－4＝0
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
∴Δ＝(2m)2－4(2m2－4)>0，
解得－2<m<2且m≠0.
∴m的取值范围是－2<m<0或0<m<2.
20．(本小题满分12分)(2010·诸城模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆过圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0的圆心C.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线l的方程．
解：(1)圆C的方程化为：(x－2)2＋(y＋)2＝6.
圆心C(2，－)，半径r＝.
设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．
则⇒，
所以所求椭圆的方程是＋＝1.
(2)由(1)得椭圆的左右焦点分别是F1(－2,0)，F2(2,0)，
|F2C|＝＝<r＝，
F2在圆C内，故过F2没有圆C的切线，
设l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.
点C(2，－)到直线l的距离为d＝，
由d＝，即＝，
化简得5k2＋4k－2＝0，
解得k＝或k＝－，
故l的方程为x－5y＋2＝0或x＋y＋2＝0.
21．(本小题满分12分)椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0,2)，离心率e＝.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l：y＝kx－2(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M、N，且满足＝，·＝0，求直线l的方程．
解：(1)设c＝，依题意
得
即
∴a2＝3b2＝12，即椭圆方程为＋＝1.
(2)∵＝，·＝0，∴AP⊥MN，
且点P是线段MN的中点，由
消去y得x2＋3(kx－2)2＝12，
即(1＋3k2)x2－12kx＝0，(*)
由k≠0，得方程(*)中Δ＝(－12k)2＝144k2>0，显然方程(*)有两个不相等的实数根．
设M(x1，y1)、N(x2，y2)，线段MN的中点P(x0，y0)，
则x1＋x2＝，∴x0＝＝.
∴y0＝kx0－2＝＝，
即P.
∵k≠0，
∴直线AP的斜率为
k 1＝＝.
由MN⊥AP，得·k＝－1，
∴2＋2＋6k2＝6，解得k＝±，
故直线方程为y＝±x－2.
22．(本小题满分14分)抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x＋y－1＝0与抛物线相交于A、B两点，且|AB|＝.
(1)求抛物线的方程；
(2)在x轴上是否存在一点C，使△ABC为正三角形？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设所求抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，
由消去y，得x2－2(1＋p)x＋1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2(1＋p)，x1·x2＝1.
∵|AB|＝，
∴＝，
∴121p2＋242p－48＝0.
∴p＝或－(舍)．
∴抛物线的方程为y2＝x.
(2)设AB的中点为D，则D(，－)．
假设x轴上存在满足条件的点C(x0,0)，
∵△ABC为正三角形，∴CD⊥AB，∴kCD＝1，
∴x0＝.
∴C(，0)，∴|CD|＝.
又∵|CD|＝|AB|＝，故矛盾，
∴x轴上不存在点C，使△ABC为正三角形．

用心 爱心 专心