2013年中考压轴题预测.doc

2012年中考数学 压轴题
1.如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点.
（1） 求抛物线的解析式.
（2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
（注：抛物线的对称轴为）

解：设抛物线的解析式为，
依题意得：c=4且 解得
所以 所求的抛物线的解析式为
（2）连接DQ，在Rt△AOB中，
所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2
因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB
因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB
所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB
即
所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= ，
所以t的值是
（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小
理由：因为抛物线的对称轴为所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线对称连接AQ交直线于点M，则MQ+MC的值最小过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=90 DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE， △DQE ∽△ABO 即 所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，）
设直线AQ的解析式为则 由此得
所以直线AQ的解析式为 联立
由此得 所以M则：在对称轴上存在点M，使MQ+MC的值最小。
2.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），
OB＝OC ，tan∠ACO＝．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

（1）由已知得：C（0，－3），A（－1，0） …1分
将A、B、C三点的坐标代入得 ……………………2分
解得： ……………………3分
所以这个二次函数的表达式为： ……………………3分
（2）存在，F点的坐标为（2，－3） ……………………4分
理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：
∴E点的坐标为（－3，0） ……………………4分
由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF
∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F，坐标为（2，－3） ……………………5分
（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，－3），直线AG为．……………8分
设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．
……………………9分
当时，△APG的面积最大
此时P点的坐标为，． ……………………10分
3.如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。
⑴求抛物线的解析式；
第26题图
⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;
⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。

⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴设抛物线解析式为………1分
根据题意，得，解得
∴抛物线的解析式为………………………………………2分
⑵存在。…………………………………………………………………………3分
由得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1。…………4分
①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理，
得，即y＝4－x。…………………………5分
又P点(x,y)在抛物线上，∴，即…………6分
解得，，应舍去。∴。……………………7分
∴，即点P坐标为。……………………8分
②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3）。
∴符合条件的点P坐标为或（2，3）。……………………9分
⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理,
得CB＝,CD＝,BD＝,………………………………………………10分
∴,
∴∠BCD＝90°,………………………………………………………………………11分
设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，
∵CF＝DF＝1,
∴∠CDF＝45°,
由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3），
∴DM∥BC,
E
F

∴四边形BCDM为直角梯形, ………………12分
由∠BCD＝90°及题意可知，
以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;
以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。
综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。……………13分

3.已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．

（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）求△ABC的面积；
（4）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（5）在（4）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8　
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）
又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）
∴A、B、C三点的坐标分别是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8）
（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上
∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式y＝ax2＋bx＋8，得

　解得
∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8　
（3）∵AB＝8，OC＝8
∴S△ABC ＝×8×8=32
（4）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，
∵OA＝6，OC＝8， ∴AC＝10
∵EF∥AC　 ∴△BEF∽△BAC
∴＝　　即＝ ∴EF＝
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝
∴＝　 ∴FG＝·＝8－m
∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）
＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m　
自变量m的取值范围是0＜m＜8　
（5）存在． 理由：
∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8　　且－＜0，
∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8
∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）
∴△BCE为等腰三角形．

4.已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．
⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；
⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；
⑶坐标平面内是否存在点，使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：⑴对称轴是直线：，点B的坐标是(3,0)． ……2分
说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．
⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)，
∴AB＝4．∴
在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，
∴
∴b＝ ………………………………3分
当时，
∴　 ………………………………4分
∴ …………5分
⑶存在．……………………………6分
理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为．
①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB．
由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，．
∴x＝±4．∴点M的坐标为．…9分
说明：少求一个点的坐标扣1分．
②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．
过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°．
∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC∥MB．
∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝．
∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．
∴点M的坐标为． ……………………………12分

说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，
然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分．
综上所述，坐标平面内存在点，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为．

x
l
Q
C
P
A
O
B
H
R
y
5.如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于．
（1）求证：点为线段的中点；
（2）求证：①四边形为平行四边形；
②平行四边形为菱形；
（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由．
（08江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知．
，，
． （1分）
，即为的中点． （2分）
法二：，，． （1分）
又轴，． （2分）
（2）①由（1）可知，，
，，
． （3分）
，
又，四边形为平行四边形． （4分）
②设，轴，则，则．
过作轴，垂足为，在中，
．
平行四边形为菱形． （6分）
（3）设直线为，由，得，代入得：
直线为． （7分）
设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：
，，解得．得公共点为．
所以直线与抛物线只有一个公共点． （8分）
6.如图13，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；
A
B
C
O
D

E
x
y
x=2
图13
（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
（1）∵ 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，
∴ m=-2×(-2)-1=3. ………………………………（2分）
∴ B(-2,3)
∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，
∴ 点A的坐标为(4,0) .
设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4). ……………………（3分）
将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ .
∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为，即. （6分）
（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5).
过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，
A
B
C
O
D

E
x
y
x=2
G
F
H
则BG⊥直线x=2，BG=4.
在Rt△BGC中，BC=.
∵ CE=5，
∴ CB=CE=5. ……………………（9分）
②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，
则点H的坐标为H(0,-5).
又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，
∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.
∴ △DFB≌△DHE （SAS），
∴ BD=DE.
即D是BE的中点. ………………………………（11分）
（3） 存在. ………………………………（12分）
由于PB=PE，∴ 点P在直线CD上，
∴ 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.
将D(0,-1) C(2,0)代入，得. 解得 .
∴ 直线CD对应的函数关系式为y=x-1.
∵ 动点P的坐标为(x，)，
∴ x-1=. ………………………………（13分）
解得 ，. ∴ ，.
∴ 符合条件的点P的坐标为(，)或(，).…（14分）
(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)

（第25题图）
A
x
y
B
C
O
7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线=－++经过A（0，－4）、B（，0）、 C（，0）三点，且-=5．
（1）求、的值；（4分）
（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对 角线的菱形；（3分）
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）
解：
（解析）解：（1）解法一：
∵抛物线=－++经过点A（0，－4），
∴=－4 ……1分
又由题意可知，、是方程－++=0的两个根，
∴+=， =－=6 2分
由已知得（-）=25
又（-）=（+）－4=－24
∴ －24=25
解得=± 3分
当=时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去．
∴=－． 4分

解法二：∵、是方程－++c=0的两个根，
即方程2－3+12=0的两个根．
∴=， 2分
∴－==5，
解得 =± 3分
（以下与解法一相同．）
（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上， 5分
又∵=－－－4=－（+）+ 6分
∴抛物线的顶点（－，）即为所求的点D． 7分
（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（－6，0），
根据菱形的性质，点P必是直线=-3与
抛物线=－--4的交点， 8分
∴当=－3时，=－×（－3）－×（－3）－4=4，
∴在抛物线上存在一点P（－3，4），使得四边形BPOH为菱形． 9分
四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上． 10分

8.已知：如图14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于点．
（1）写出直线的解析式．
（2）求的面积．
（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动．设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？
x
y
A
B
C
E
M
D
P
N
O
（解析）解：（1）在中，令
，
， 1分
又点在上

的解析式为 2分
（2）由，得 4分
，
， 5分
6分
（3）过点作于点

7分
8分
由直线可得：
在中，，，则
， 9分

10分
11分
此抛物线开口向下，当时，
当点运动2秒时，的面积达到最大，最大为． 12分

9.已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2。若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线（≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。
注：抛物线（≠0）的顶点坐标为，对称轴公式为

解: （1）过点C作CH⊥轴，垂足为H
∵在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB
∴OB＝4，OA＝
由折叠知，∠COB＝300，OC＝OA＝
∴∠COH＝600，OH＝，CH＝3
∴C点坐标为（，3）
（2）∵抛物线（≠0）经过C（，3）、A（，0）两点
∴ 解得：
∴此抛物线的解析式为：
（3）存在。因为的顶点坐标为（，3）即为点C
MP⊥轴，设垂足为N，PN＝，因为∠BOA＝300，所以ON＝
∴P（，）
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E
把代入得：
∴ M（，），E（，）
同理：Q（，），D（，1）
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD
即，解得：，（舍）
∴ P点坐标为（，）
∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，）
10.如图，抛物线与x轴交A、B两点（A
点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中
C点的横坐标为2．
（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平
　　行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，
　　使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是
　　平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F
　　点坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）令y=0，解得或
∴A（-1，0）B（3，0）；
将C点的横坐标x=2代入得y=-3，∴C（2，-3）
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1
（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），
E（
∵P点在E点的上方，PE=
∴当时，PE的最大值=
（3）存在4个这样的点F，分别是
11.如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由．
A
C
B
y
x
0
1
1
解：（1）抛物线的对称轴
（2）
把点坐标代入中，解得

A
C
B
x
0
1
1
Ｑ

Ｎ
Ｍ
Ｋ
y
（3）存在符合条件的点共有3个．以下分三类情形探索．
设抛物线对称轴与轴交于，与交于．
过点作轴于，易得，，，
① 以为腰且顶角为角的有1个：．

在中，

②以为腰且顶角为角的有1个：．
在中，

③以为底，顶角为角的有1个，即．
画的垂直平分线交抛物线对称轴于，此时平分线必过等腰的顶点．
过点作垂直轴，垂足为，显然．
．

B(0,4)
A(6,0)
E
F

O
于是

12.如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为．
把A、B两点坐标代入上式，得
解之，得
故抛物线解析式为，顶点为
（2）∵点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合
，
∴y<0，即 －y>0,－y表示点E到OA的距离．
∵OA是的对角线，
∴．
因为抛物线与轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量的
取值范围是1＜＜6．
① 根据题意，当S = 24时，即．
化简，得 解之，得
故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．
点E1（3，－4）满足OE = AE，所以是菱形；
点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以不是菱形．
② 当OA⊥EF，且OA = EF时，是正方形，此时点E的
坐标只能是（3，－3）．
而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，
使为正方形．

13.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点、和点.
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为，求四边形的面积；
（3）有两动点、同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线 按→→的路线运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动，当、两点相遇时，它们都停止运动.设、同时从点出发秒时，的面积为S .
①请问、两点在运动过程中，是否存在∥，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
③设是②中函数S的最大值，那么 = .
解：（1）令，则；
令则．∴．
∵二次函数的图象过点，
∴可设二次函数的关系式为

又∵该函数图象过点．
∴
解之，得，．
∴所求二次函数的关系式为
（2）∵

=
∴顶点M的坐标为
过点M作MF轴于F
∴
=
∴四边形AOCM的面积为10
（3）①不存在DE∥OC
∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时，在中，．
设点E的坐标为∴，∴ ∵，
∴ ∴
∵>2，不满足．
∴不存在．
②根据题意得D，E两点相遇的时间为
（秒）
现分情况讨论如下：
ⅰ）当时，；
ⅱ）当时，设点E的坐标为
∴，∴
∴

ⅲ）当2 <<时，设点E的坐标为，类似ⅱ可得

设点D的坐标为
∴，
∴
∴

=
③

14.已知：如图，抛物线经过、、三点．
（1）求抛物线的函数关系式；
x
y
C
B
A
E
–1
1
O
（2）若过点C的直线与抛物线相交于点E （4，m），请求出△CBE的面积S的值；
（3）在抛物线上求一点使得△ABP0为等腰三角形并写出点的坐标；
（4）除（3）中所求的点外，在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点，请说明理由．
解：（1）∵抛物线经过点、，
∴．
又∵抛物线经过点，
∴，．
∴抛物线的解析式为．
（2）∵E点在抛物线上，
∴m = 42–4×6+5 = -3．
∵直线y = kx+b过点C（0， 5）、E（4， –3），
∴ 解得k = -2，b = 5．
设直线y=-2x+5与x轴的交点为D，
当y=0时，-2x+5=0，解得x=．
∴D点的坐标为（，0）．
∴S=S△BDC + S△BDE
=
=10．
（3）∵抛物线的顶点既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，
∴点为所求满足条件的点．
（4）除点外，在抛物线上还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形．
理由如下：
∵，
∴分别以、为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点、、、、、、、，除去、两个点外，其余6个点为满足条件的点
15.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．
(1)求点B的坐标；
(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
A
B
(第25题图)
1
O
-1
x
y
1
(注意：本题中的结果均保留根号)
解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，由已知可得：
OB＝OA=2，∠BOD＝60°
在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，∠OBD＝30°
∴OD＝1，DB＝
∴点B的坐标是（1，）
（2）设所求抛物线的解析式为，由已知可得：

解得：
∴所求抛物线解析式为
（备注：a、b的值各得1分）
（3）存在
由 配方后得：
∴抛物线的对称轴为
（也可用顶点坐标公式求出）
∵点C在对称轴上，△BOC的周长＝OB+BC+CO；
∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，
∵点O与点A关于直线对称，有CO=CA
△BOC的周长＝OB+BC+CO＝OB+BC+CA
∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小。
设直线AB的解析式为，则有：
解得：
∴直线AB的解析式为
当时，
∴所求点C的坐标为（－1，）
（4）设P（），则 ①
过点P作PQ⊥y轴于点Q， PG⊥x轴于点G，过点A作AF⊥PQ轴于点F，过点B作BE⊥PQ轴于点E，则PQ=，PG=，由题意可得：

＝
=
＝ ②
将①代入②，化简得：
＝
∴当时，△PAB得面积有最大值，最大面积为。
此时
∴点P的坐标为

16.如图，已知与轴交于点和的抛物线的顶点为，抛物线与关于轴对称，顶点为．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）已知原点，定点，上的点与上的点始终关于轴对称，则当点运动到何处时，以点为顶点的四边形是平行四边形？
（3）在上是否存在点，使是以为斜边且一个角为的直角三角形？若存，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

1
2
3
4
5
5
4
3
2
1

解：（1）由题意知点的坐标为．
设的函数关系式为．
又点在抛物线上，
，解得．
抛物线的函数关系式为（或）．
（2）与始终关于轴对称，
与轴平行．
设点的横坐标为，则其纵坐标为，
，，即．
当时，解得．
当时，解得．
当点运动到或或或时，

1
2
3

5
5
4
3
2
1

，以点为顶点的四边形是平行四边形．
（3）满足条件的点不存在．理由如下：若存在满足条件的点在上，则
，（或），
．
过点作于点，可得．
，，．
点的坐标为．
但是，当时，．
不存在这样的点构成满足条件的直角三角形．

17.如图，抛物线y＝－x 2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
O
B
A
C
y
x
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．

解：（1）将A(1，0)，B(－3，0)代入y＝－x 2＋bx＋c得
2分
解得 3分
∴该抛物线的解析式为y＝－x 2－2x＋3． 4分
（2）存在． 5分
该抛物线的对称轴为x＝－＝－1
∵抛物线交x轴于A、B两点，∴A、B两点关于抛物线的对称轴x＝－1对称．
O
B
A
C
y
x
Q

图1
由轴对称的性质可知，直线BC与x＝－1的交点即为所求的Q点，此时△QAC的周长最小，如图1．
将x＝0代入y＝－x 2－2x＋3，得y＝3．
∴点C的坐标为(0，3)．
设直线BC的解析式为y＝kx＋b1，
将B(－3，0)，C(0，3)代入，得
解得
∴直线BC的解析式为y＝x＋3． 6分
联立 解得
∴点Q的坐标为(－1，2)． 7分
（3）存在． 8分
设P点的坐标为（x，－x 2－2x＋3）（－3＜x＜0），如图2．
∵S△PBC ＝S四边形PBOC －S△BOC ＝S四边形PBOC －×3×3＝S四边形PBOC －
当S四边形PBOC有最大值时，S△PBC就最大．
O
B
A
C
y
x
Q
图2
E
P
∵S四边形PBOC ＝SRt△PBE＋S直角梯形PEOC 9分
＝BE·PE＋(PE＋OC)·OE
＝(x＋3)(－x 2－2x＋3)＋(－x 2－2x＋3＋3)(－x)
＝－(x＋)2＋＋
当x＝－时，S四边形PBOC最大值为＋．
∴S△PBC最大值＝＋－＝． 10分
当x＝－时，－x 2－2x＋3＝－(－)2－2×(－)＋3＝．
∴点P的坐标为(－，)． 11分
18.如图，已知抛物线y＝a(x－1)2＋(a≠0)经过点A(－2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于轴的直线交射线OM于点C，B在轴正半轴上，连结BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
D
C
M
y
O
A
B
Q
P
x
（3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．
解：（1）把A(－2，0)代入y＝a(x－1)2＋，得0＝a(－2－1)2＋．
∴a＝－ 1分
∴该抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋
即y＝－x 2＋x＋． 3分
（2）设点D的坐标为(xD，yD)，由于D为抛物线的顶点
∴xD＝－＝1，yD＝－×1 2＋×1＋＝．
∴点D的坐标为(1，)．
如图，过点D作DN⊥x轴于N，则DN＝，AN＝3，∴AD＝＝6．
∴∠DAO＝60° 4分
∵OM∥AD
D
C
M
y
O
A
B
Q
F
N
E
P
x
①当AD＝OP时，四边形DAOP为平行四边形．
∴OP＝6
∴t＝6（s） 5分
②当DP⊥OM时，四边形DAOP为直角梯形．
过点O作OE⊥AD轴于E．
在Rt△AOE中，∵AO＝2，∠EAO＝60°，∴AE＝1．
（注：也可通过Rt△AOE∽Rt△AND求出AE＝1）
∵四边形DEOP为矩形，∴OP＝DE＝6－1＝5．
∴t＝5（s） 6分
③当PD＝OA时，四边形DAOP为等腰梯形，此时OP＝AD－2AE＝6－2＝4．
∴t＝4（s）
综上所述，当t＝6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形．
7分
（3）∵∠DAO＝60°，OM∥AD，∴∠COB＝60°．
又∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OB＝OC＝AD＝6．
∵BQ＝2t，∴OQ＝6－2t（0＜t＜3）
过点P作PF⊥x轴于F，则PF＝t． 8分
∴S四边形BCPQ ＝S△COB －S△POQ
＝×6×－×(6－2t)×t
＝(t－)2＋ 9分
∴当t＝（s）时，S四边形BCPQ的最小值为． 10分
此时OQ＝6－2t＝6－2×＝3，OP＝，OF＝，∴QF＝3－＝，PF＝．
∴PQ＝＝＝ 11分

19.如图，已知直线y＝－x＋1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E．
（1）请直接写出点C，D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；

O
A
B
C
D
E
（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D落在x轴上时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积．

解：（1）C(3，2)，D(1，3)； 2分
（2）设抛物线的解析式为y＝ax 2＋bx＋c，把A(0，1)，D(1，3)，C(3，2)代入
得 解得 4分
∴抛物线的解析式为y＝－x 2＋x＋1； 5分
（3）①当点A运动到点F（F为原B点的位置）时
y
x
O
A
F
B′
y＝－x＋1
A′
C′
D′
图1
G
∵AF＝＝，∴t＝＝1（秒）．
当0＜ t ≤1时，如图1．
B′F＝AA′＝t
∵Rt△AOF∽Rt△∠GB ′F，∴＝．
∴B ′G＝·B ′F＝×t＝t
正方形落在