第九章第3讲二项式定理.doc

第3讲　二项式定理

1．二项式定理
(1)定理：
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(2)通项：
第k＋1项为：Tk＋1＝Can－kbk．
(3)二项式系数：
二项展开式中各项的二项式系数为：C(k＝0，1，2，…，n)．
2．二项式系数的性质

[做一做]
1．已知(2x3－)n的展开式的常数项是第7项，则正整数n的值为________．
解析：由已知条件可得Tr＋1＝C2n－rx3n－4r(－1)r，
由常数项为第7项，得3n－4×6＝0，
解得：n＝8.
答案：8
2．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________．(用数字填写答案)
解析：设通项为Tr＋1＝Cx10－rar，令10－r＝7，∴r＝3，
∴x7的系数为Ca3＝15，∴a3＝，∴a＝.
答案：

1．辨明三个易误点
(1)通项公式Tr＋1＝Can－rbr是展开式的第r＋1项，不是第r项．
(2)(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒．
(3)易混淆二项式中的“项”，“项的系数”、“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k＝0，1，…，n)．
2．二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得．
[做一做]
3．(2014·高考湖北卷)若二项式的展开式中的系数是84，则实数a＝(　　)
A．2　　　　　　　 B.
C．1 D.
解析：选C.二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(2x)7－r·＝C27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展开式中的系数是C22a5＝84，解得a＝1.
4．(2015·山西省第三次四校联考)如果(2x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，那么a1＋a2＋…＋a6的值等于________．
解析：令x＝0，有1＝a0；
令x＝1，有1＝a0＋a1＋…＋a6，
∴a1＋a2＋…＋a6＝0.
答案：0

__二项展开式中的特定项或特定项的系数(高频考点)

二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．高考对二项式定理的考查主要有以下三个命题角度：
(1)求展开式中的某一项；
(2)求展开式中的项的系数或二项式系数；
(3)由已知条件求n的值或参数的值．
　(1)(2014·高考湖南卷)的展开式中x2y3的系数是(　　)
A．－20　　　　　　　　　 B．－5
C．5 D．20
(2)(2013·高考天津卷)的二项展开式中的常数项为________．
(3)(2014·高考山东卷)若的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．
[解析]　(1)展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(－2y)r＝C··(－2)r·x5－r·yr.当r＝3时，C·(－2)3＝－20.
(2)的展开式通项为Tr＋1＝(－1)rCx6－r·＝(－1)rCx6－r，令6－r＝0，解得r＝4，故常数项为(－1)4C＝15.
(3)的展开式的通项为Tr＋1＝C(ax2)6－r·＝Ca6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，由Ca6－3b3＝20，得ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，故a2＋b2的最小值为2.
[答案]　(1)A　(2)15　(3)2
[规律方法]　二项式展开式有关问题的解题策略：
(1)求展开式中的第n项．可依据二项式的通项公式直接求出第n项．
(2)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．
(3)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．
　　　1.(1)(2015·洛阳市高三年级统考)设n为正整数，(x－)2n展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为(　　)
A．16 B．10
C．4 D．2
(2)(2014·高考课标全国卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)
(3)(－)8的展开式中的有理项共有________项．
解析：(1)(x－)2n展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx2n－k(－)k＝C(－1)kx，令＝0，得k＝，∴n可取10.
(2)x2y7＝x·(xy7)，其系数为C，
x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C，
∴x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20.
(3)(－)8的展开式的通项为Tr＋1＝C()8－r()r＝(－)rCx(r＝0，1，2，…，8)，为使Tr＋1为有理项，r必须是4的倍数，所以r＝0，4，8，故共有3个有理项，分别是T1＝(－)0Cx4＝x4，T5＝(－)4Cx＝x，T9＝(－)8Cx－2＝.
答案：(1)B　(2)－20　(3)3
__二项式系数或各项系数和____________

　(1)(2015·辽宁省五校高三联考)若(＋)n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是(　　)
A．360　　　　　　　　　　 B．180
C．90 D．45
(2)(2015·安徽省“江南十校”联考)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为(　　)
A．1或－3 B．－1或3
C．1 D．－3
[解析]　(1)展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n＝10，通项公式为Tr＋1＝C()10－r()r＝C2rx5－r，所以r＝2时，常数项为180.
(2)令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3.
[答案]　(1)B　(2)A
　本例(2)变为：若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．
解析：令x＝2，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(4＋m)9，令x＝0，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝(m＋2)9，所以有(4＋m)9(m＋2)9＝39，即m2＋6m＋5＝0，解得m＝－1或－5.
答案：－1或－5
[规律方法]　1.二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立．因此，可将a，b设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、－1或0”，有时也取其他值．
2．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
　　　2.(1)在二项式(＋)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则n＝________．
(2)(1＋2x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x3与x4项的二项式系数相等，则系数最大项为________．
解析：(1)(赋值法)由题意可知，B＝2n，令x＝1，得A＝4n，由A＋B＝72，得4n＋2n＝72，即2n＝8，n＝3.
(2)由于x3与x4项的二项式系数相等，则n＝7.
∴Tk＋1＝C(2x)k，
由，得≤k≤，∴k＝5，
∴系数最大项为C(2x)5＝672x5.
答案：(1)3　(2)672x5
__二项式定理的应用____________________

　设a∈Z，且0≤a＜13，若512 016＋a能被13整除，则a＝(　　)
A．0 B．1
C．11 D．12
[解析]　512 016＋a＝(52－1)2 016＋a＝C522 016－C522 015＋…＋C×52×(－1)2 015＋C×(－1)2 016＋a.因为52能被13整除，所以只需C×(－1)2 016＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，所以a＝12.
[答案]　D
[规律方法]　(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．
(2)求余数问题时，应明确被除式f(x)与除式g(x)(g(x)≠0)，商式q(x)与余式的关系及余式的范围．
　　　3.求证：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．
证明：因为n∈N*，且n>2，
所以3n＝(2＋1)n展开后至少有4项．
(2＋1)n＝2n＋C·2n－1＋…＋C·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，
故3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．

交汇创新——与二项式定理有关的交汇问题

　　　(2013·高考陕西卷)设函数f(x)＝则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为(　　)
A．－20　　　　　　　　 B．20
C．－15 D．15
[解析]　x＞0时，f(x)＝－＜0，故f[f(x)]＝f(－)＝(－＋)6，其展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(－)6－r·()r＝(－1)6－r·C·()6－2r，由6－2r＝0，得r＝3，故常数项为(－1)3·C＝－20.
[答案]　A
[名师点评]　(1)本题为二项式定理与函数的交汇问题，解决本题的关键是当x>0时，将f[f(x)]表达式转化为二项式．
(2)二项式定理作为一个工具，也常与其他知识交汇命题，如与数列交汇、与不等式交汇、与定积分交汇等．因此在一些题目中不仅仅考查二项式定理，还要考查其他知识，其解题的关键点是它们的交汇点，注意它们的联系．
　(2015·长春市第二次调研)设(＋x2)3的展开式的常数项为a，则直线y＝ax与曲线y＝x2围成图形的面积为________．
解析：Tr＋1＝Cxr－3x2r＝Cx3r－3，令r＝1，得a＝3，直线y＝3x与曲线y＝x2的交点坐标为(0，0)和(3，9)，∴直线y＝ax与曲线y＝x2围成图形的面积
S＝(3x－x2)dx＝(x2－x3)|＝.
答案：

1．(2015·东北三校模拟)在(x2－)5的二项展开式中，第二项的系数为(　　)
A．10　　　　　　　　 B．－10
C．5 D．－5
解析：选D.展开式中的第二项为T2＝C(x2)5－1(－)1，所以其系数为－C＝－5.
2．二项式(1－x)4n＋1(n∈N)的展开式中，系数最大的项为(　　)
A．第(2n＋1)或(2n＋2)项
B．第(2n＋1)项
C．第(2n＋2)项
D．第2n或(2n＋1)项
解析：选B.展开式中共有(4n＋2)项，其中第(2n＋1)项与第(2n＋2)项的系数绝对值相等，但第(2n＋1)项的系数为正，而第(2n＋2)项的系数为负，故第(2n＋1)项的系数最大．
3．(2015·黄冈模拟)设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 015＝(　　)
A．i B．－i
C．－1－i D．1＋i
解析：选C.x＝＝－1＋i，Cx＋Cx2＋…＋Cx2 015＝(1＋x)2 015－1＝i2 015－1＝－i－1.
4．已知(x－)8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是(　　)
A．28 B．38
C．1或38 D．1或28
解析：选C.由题意知C·(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38.
5．(2015·江西临川一中等九校联考)二项式(ax＋)6的展开式的第二项的系数为－，
则x2dx的值为(　　)
A. B．3
C．3或 D．3或－
解析：选A.二项展开式的第二项T2＝C(ax)5×，则由题意有×Ca5＝－，解得a＝－1，所以x2dx＝x3|＝－－(－)＝.
6．(2015·贵阳市适应性考试)若(2x＋)4(a＞0)的展开式中常数项为96，则实数a等于________．
解析：(2x＋)4的展开式通项为C(2x)4－r()r＝24－rarCx4－2r，令4－2r＝0，得r＝2，∴22a2C＝96，
∴a2＝4，∴a＝2.
答案：2
7．(2015·昆明市第一次调研)(＋x)(1－)4的展开式中x的系数是________．
解析：(1－)4展开式的通项公式Tr＋1＝C(－)r＝(－1)rCx，(＋x)(1－)4的展开式中含x的项为·(－1)4Cx2＋x·(－1)0Cx＝·x2＋x·1＝3x，故系数是3.
答案：3
8．(2015·福州质检)在(1－x2)20的展开式中，如果第4r项和第r＋2项的二项式系数相等，则r＝________．
解析：由题意得，C＝C，故4r－1＝r＋1或4r－1＋r＋1＝20，即r＝或r＝4.因为r为整数，故r＝4.
答案：4
9．已知二项式(＋)n的展开式中各项的系数和为256.
(1)求n；
(2)求展开式中的常数项．
解：(1)由题意，得C＋C＋C＋…＋C＝256，
即2n＝256，解得n＝8.
(2)该二项展开式中的第r＋1项为
Tr＋1＝C()8－r·()r＝C·x，
令＝0，得r＝2，
此时，常数项为T3＝C＝28.
10．已知(a2＋1)n展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项，而(a2＋1)n展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．
解：由，得
Tr＋1＝C＝·C·x.
令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，
∴r＝4，∴常数项T5＝C×＝16.
又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n.
由题意得2n＝16，∴n＝4.
由二项式系数的性质知，(a2＋1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，
∴Ca4＝54，∴a＝±.

1．(2014·高考浙江卷)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(　　)
A．45 B．60
C．120 D．210
解析：选C.因为f(m，n)＝CC，
所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)
＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.
2．(2015·山东枣庄模拟)若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x＋y＝1，xy<0，则x的取值范围是(　　)
A．(－∞，) B．[，＋∞)
C．(－∞，－] D．(1，＋∞)
解析：选D.二项式(x＋y)9的展开式的通项是
Tr＋1＝C·x9－r·yr.
依题意，有，
由此得，
解之得x>1，即x的取值范围为(1，＋∞)．
3．(2015·荆州模拟)已知a＝4cos(2x＋)dx，则二项式(x2＋)5的展开式中x的系数为________．
解析：依题意得a＝4cos(2x＋)dx＝2sin(2x＋)＝－2，即a＝－2，则Tr＋1＝C(－2)rx10－3r，当r＝3时，T4＝－80x.故二项式(x2＋)5的展开式中x的系数为－80.
答案：－80
4．若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5等于________．
解析：在已知等式两边对x求导，得5(2x－3)4×2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝5×(2×1－3)4×2＝10.
答案：10
5．已知(＋2x)n.
(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
解：(1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.
∴n＝7或n＝14，
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.
∴T4的系数为C()423＝，
T5的系数为C()324＝70，
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.
∴T8的系数为C()727＝3 432.
(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.
∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，
∵(＋2x)12＝()12(1＋4x)12，
∴
∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10.
∴展开式中系数最大的项为T11，
T11＝C·()2·210·x10＝16 896x10.
6．(选做题)某二项展开式中，相邻a项的二项式系数之比为1∶2∶3∶…∶a，求二项式的次数及a的值．
解：设该二项式为(m＋t)n，其二项式系数为C(r＝0，1，2，…，n)．
不妨设C∶C∶C∶…∶C＝1∶2∶3∶…∶a，
由C∶C＝1∶2，得n＝3r＋2；
由C∶C＝1∶3，得＝.
将n＝3r＋2代入上式，得r＝4，进而n＝14，
故有C∶C∶…∶C＝1∶2∶3∶…∶a.
从而C∶C＝(a－1)∶a，解得a＝2或a＝3.
事实上，当a＝2时，C∶C＝1∶2；
当a＝3时，C∶C∶C＝1∶2∶3.