第九章第2讲排列与组合.doc

第2讲　排列与组合

1．排列与排列数公式
(1)排列与排列数

(2)排列数公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝．
(3)排列数的性质
①A＝n！；②0！＝1．
2．组合与组合数公式
(1)组合与组合数

(2)组合数公式
C＝＝
＝.
(3)组合数的性质
①C＝1；②C＝；③C＋C＝C．
[做一做]
1．某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是(　　)
A．C＋C＋C　　　　　　 B．CCC
C．A＋A＋A D．C
答案：A
2．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(　　)
A．8 B．24
C．48 D．120
答案：C

1．辨明两个易误点
(1)易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．
(2)计算A时易错算为n(n－1)(n－2)…(n－m)．
2．排列与组合问题的识别方法

识别方法
排列
若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关
组合
若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关
[做一做]
3．(2014·高考大纲全国卷)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　)
A．60种　　　　　　　　 B．70种
C．75种 D．150种
解析：选C.由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有CC＝75(种)．
4．在一展览会上，要展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该次展出这5件作品不同的摆放方案共有________种．(用数字作答)
解析：将2件必须相邻的书法作品看作一个整体，同1件建筑设计展品全排列，再将2件不能相邻的绘画作品插空，故共有AAA＝24(种)不同的展出方案．
答案：24

__排列应用题__________________________

　3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体站成一排，男、女各站在一起；
(4)全体站成一排，男生不能站在一起；
(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．
[解]　(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A＝2 520(种)排法．
(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A＝5 040(种)排法．
(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝A·A·A＝288(种)．
(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A种排法，故N＝A·A＝1 440(种)．
(5)先安排甲，从除去排头和排尾的5个位中安排甲，有A＝5(种)排法；再安排其他人，有A＝720(种)排法．所以共有A·A＝3 600(种)排法．
　在本例条件下，求不同的排队方案的方法种数：
(1)甲不在中间也不在两端；
(2)甲、乙两人必须排在两端．
解：(1)先排甲有4种，其余有A种，
故共有4·A＝2 880(种)排法．
(2)先排甲、乙，再排其余5人，
共有A·A＝240(种)排法．
[规律方法]　求解排列应用题的主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
先整体后局部
“小集团”排列问题中先整体后局部
定序问题除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反，等价转化的方法
__组合应用题__________________________

　要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？
(1)至少有1名女生入选；
(2)男生甲和女生乙入选；
(3)男生甲、女生乙至少有一个人入选．
[解]　(1)法一：至少有1名女生入选包括以下几种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．
由分类加法计数原理知总选法数为
CC＋CC＋CC＋CC＋C＝771(种)．
法二：“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”可用间接法求解．从12名人中任选5人有C种选法，其中全是男代表的选法有C种．
所以“至少有1名女生入选”的选法有C－C＝771(种)．
(2)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外的10人中任选3名即可，共有CC＝120(种)选法．
(3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”，即从其余10人中任选5人有C种选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为C－C＝540(种)．
　在本例条件下，求至多有2名女生入选的选法种数．
解：至多有2名女生入选包括以下几种情况：
0女5男，1女4男，2女3男，
由分类加法计数原理知总选法数为
C＋CC＋CC＝546(种)．
[规律方法]　解决组合类问题的方法：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
__排列、组合的综合应用(高频考点)______

排列与组合是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．
高考对排列与组合综合应用题的考查主要有以下四个命题角度：
(1)分配问题；
(2)排列问题；
(3)定位问题；
(4)选派问题．
　(1)(2014·高考四川卷)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)
A．192种　　　　　　　 B．216种
C．240种 D．288种
(2)(2015·兰州市、张掖市联合诊断)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有(　　)
A．150种 B．300种
C．600种 D．900种
(3)(2014·高考北京卷)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
[解析]　(1)第一类：甲在最左端，有A＝5×4×3×2×1＝120(种)方法；
第二类：乙在最左端，有4A＝4×4×3×2×1＝96(种)方法．
所以共有120＋96＝216(种)方法．
(2)若甲去，则乙不去，丙去，再从剩余的5名教师中选2名，有C×A＝240种方法；若甲不去，则丙不去，乙可去可不去，从6名教师中选4名，共有C×A＝360种方法．因此共有600种不同的选派方案．
(3)将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有AA种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有AA种方法．于是符合题意的排法共有AA－AA＝36(种)．
[答案]　(1)B　(2)C　(3)36
[规律方法]　解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
　　　(1)(2014·高考辽宁卷)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)
A．144 B．120
C．72 D．24
(2)(2015·东北三校联合模拟)一个五位自然数a1a2a3a4a5，ai∈{0，1，2，3，4，5}，i＝1，2，3，4，5，当且仅当a1＞a2＞a3，a3＜a4＜a5时称为“凹数”(如32 014，53 134等)，则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为(　　)
A．110 B．137
C．145 D．146
(3)将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
(4)(2015·保定市调研考试)已知集合M＝{1，2，3，4，5，6}，集合A、B、C为M的非空子集，若∀x∈A、y∈B、z∈C，x＜y＜z恒成立，则称“A—B—C”为集合M的一个“子集串”，则集合M的“子集串”共有________个．
解析：(1)插空法．在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可．故排法种数为A＝24.故选D.
(2)分四种情况进行讨论：
①a3是0，a1和a2有C种排法，a4和a5有C种排法，则五位自然数中“凹数”有CC＝100个；②a3是1，有CC＝36个；③a3是2，有CC＝9个；④a3是3，有CC＝1个．由分类加法计数原理知五位自然数中“凹数”共有100＋36＋9＋1＝146个．
(3)将6名教师分组，分三步完成：
第一步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种取法；
第二步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种取法；
第三步，余下的3名教师作为一组，有C种取法．
根据分步乘法计数原理，共有CCC＝60种取法．
再将这3组教师分配到3所中学，有A＝6种分法．
故共有60×6＝360种不同的分法．
(4)由题意可先分类，再分步：
第一类，将6个元素全部取出来，可分两步进行：第一步，取出元素，有C种取法，第二步，分成三组，共C种分法，所以共有CC个子集串；
第二类，从6个元素中取出5个元素，共C种取法，然后将这5个元素分成三组共C种分法，所以共有CC个子集串；同理含4个元素的子集串数为CC；含3个元素的子集串数为CC.集合M的子集串共CC＋CC＋CC＋CC＝111个．
答案：(1)D　(2)D　(3)360　(4)111

方法思想——分类讨论思想求解排列、组合问题

　　　(2014·高考重庆卷)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)
A．72　　　　　　　　　 B．120
C．144 D．168
[解析]　解决该问题分为两类：第一类分两步，先排歌舞类A，然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空，故不同排法有A·2A＝72.第二类也分两步，先排歌舞类A，然后将剩余3个节目放入中间两空排法有CAA，故不同的排法有AAAC＝48，故共有120种不同排法，故选B.
[答案]　B
[名师点评]　对于有附加条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按事件发生的过程分类．本题在排歌舞类节目后再进行分类，把剩余3个节目插入两个空还是三个空．
　　　1.航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有(　　)
A．12种 B．16种
C．24种 D．36种
解析：选D.当甲排在边上时，有2A＝12种方法；当甲不排在边上时，有12A＝24种方法，这样一共有12＋24＝36种不同的着舰方法．
2．(2014·高考浙江卷)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．
解析：把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4人有CA种分法，所以不同获奖情况种数为A＋CA＝24＋36＝60.
答案：60

1．数列{an}共有六项，其中四项为1，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列{an}共有(　　)
A．30个 B．31个
C．60个 D．61个
解析：选A.在数列的六项中，只要考虑两个非1的项的位置，即得不同数列，共有A＝30个不同的数列．
2．(2015·昆明市第一次摸底)从4部甲型和5部乙型手机中任意取出3部，其中至少要有甲型与乙型手机各1部，则不同取法共有(　　)
A．35种 B．70种
C．84种 D．140种
解析：选B.由题知不同取法有CC＋CC＝70种．
3．(2015·陕西西安检测)某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是(　　)
A．15 B．45
C．60 D．75
解析：选C.从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，所有的选法种数是C×C＝90.
重点项目A和一般项目B都没有被选中的选法种数是C×C＝30，故重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是90－30＝60.
4．(2015·福建三明调研)将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有(　　)
A．12种 B．20种
C．40种 D．60种
解析：选C.(排序一定用除法)五个元素没有限制全排列数为A，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列A，可得×2＝40.
5．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数为(　　)
A．24 B．28
C．36 D．48
解析：选D.穿红色衣服的人相邻的排法有CAA＝48种，同理穿黄色衣服的人相邻的排法也有48种．而红色、黄色同时相邻的有A·A·A＝24种．故穿相同颜色衣服的不相邻的排法有A－2×48＋24＝48种．
6．C＋C＝________．
解析：由组合数的定义得，
解之得4≤n≤5，
∵n∈N*，∴n＝4或n＝5.
当n＝4时，原式＝C＋C＝5，
当n＝5时，原式＝C＋C＝16.
答案：5或16
7．(2015·潍坊检测)张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．(用数字作答)
解析：第一步：将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步：将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有A种排法；第三步：将两个小孩排序有2种排法．故总的排法有2×2×A＝24(种)．
答案：24
8．(2015·江苏扬州中学检测)在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则该数为“驼峰数”．比如：“102”“546”为“驼峰数”，由数字1，2，3，4，5这五个数字构成的无重复数字的“驼峰数”的十位上的数字之和为________．
解析：三位“驼峰数”中1在十位的有A个，2在十位的有A个，3在十位上的有A个，所以所有三位“驼峰数”的十位上的数字之和为12×1＋6×2＋2×3＝30.
答案：30
9．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员．
解：(1)任选3名男运动员，方法数为C，再选2名女运动员，方法数为C，共有C·C＝120(种)方法．
(2)法一：至少1名女运动员包括以下几种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，
由分类加法计数原理可得总选法数为
CC＋CC＋CC＋CC＝246(种)．
法二：“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有C－C＝246(种)．
10．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？
(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A种情况．所以符合题意的七位数有CCA＝100 800(个)．
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有CCAA＝14 400(个)．
(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有CCAAA＝5 760(个)．

1．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有(　　)
A．150种 B．180种
C．200种 D．280种
解析：选A.依题意5个人分配到3个学校且每校至少去一个人，因此可将5人按人数分成1，2，2与1，1，3两种，当人数是1，2，2时，有×A＝90(种)．
当人数是1，1，3时，则有×A＝60(种)，
因此共有90＋60＝150(种)．
2．(2015·浙江温州十校联考)任取三个互不相等的正整数，其和小于100，则由这三个数构成的不同的等差数列共有(　　)
A．528个 B．1 056个
C．1 584个 D．4 851个
解析：选B.先确定等差数列的中间项，再确定第一、三项．
设这三个成等差数列的数分别为a，b，c.
由题意得a＋b＋c≤100，即3b≤100，得b可以取2，3，…，33，共32个数．
第一类，b＝2时，a，c的取值共有2个(a＝1，c＝3和a＝3，c＝1，对应的是两个数列)；
第二类，b＝3时，a，c的取值共有4个；
…
第三十二类，b＝33时，a，c的取值共有64个．
根据分类加法计数原理，可得满足题意的数列共有2＋4＋…＋64＝1 056个．
3．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是__________．(用数字作答)
解析：3个人各站一级台阶有A＝210(种)站法；3个人中有2个人站在一级，另一人站在另一级，有CA＝126(种)站法，共有210＋126＝336(种)站法．
答案：336
4．(2015·山东潍坊五校联考)数字1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第一行的数为N1，其中N2，N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1＜N2＜N3的所有排列的个数是________．

解析：(元素优先法)由题意知6必在第三行，安排6有C＝3种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A＝20种方法，在留下的三个数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有C＝2种方法，剩下的两个数字有A＝2种排法，按分步乘法计数原理，所有排列的个数是CACA＝240.
答案：240
5．按照下列要求，求分别有多少种不同的方法？
(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；
(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少有一个小球．
解：(1)每个小球都有4种方法，根据分步乘法计数原理共有46＝4 096(种)不同方法．
(2)分两类：第1类，6个小球分3，1，1，1放入盒中；第2类，6个小球分2，2，1，1放入盒中，共有C·C·A＋C·C·A＝1 560(种)不同放法．
6．(选做题) 某区有7条南北向街道，5条东西向街道(如图所示)．

(1)图中共有多少个矩形？
(2)从A点到B点最近的走法有多少种？
解：(1)在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线可组成1个矩形，故可组成矩形C·C＝210(个)．
(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另外4段方向相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的，共有C＝C＝210(种)走法(同样可从10段中选4段走南北方向，每种选法即是1种走法)．所以共有210种走法．