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模糊复值积分及其在分类技术中的应用
马生全 吉承儒 林 松
1、海南师范大学信息科学技术学院，海口 海南 571158 E-mail：mashengquan@
2、通讯作者：海南师范大学教务处，海口，海南，571158，E-mail：jcr@
摘要：给出了模糊复值积分概念，研究了其基本性质，给出模糊复值积分分类器的设计方法，通过示例验证了该分类器算法的有效性，结果显示该方法具有良好的分类效果。

关键词：模糊复值测度 模糊复值积分 分类器
Fuzzy Complex-valued Integral and Its Application in Classification.
Sheng-quan Ma Cheng-ru Ji Song Lin
1、School of information Science and Technology, Hainan Normal University, Haikou,Hainan,571158，China
E-mail；mashengquan@
2、Office of Academic Affairs，Hainan Normal University, Haikou,Hainan,571158，China，
E-mail：jcr@

Abstract：
The author give the concept of fuzzy Complex-valued integral, and study its basic properties, then given the design methods of fuzzy complex-value integral classifier, finally, By example to demonstrate the classification algorithm, The results show that the method has good effect.
Keywords: fuzzy complex-valued measure ， fuzzy Complex-valued integral ，classifier

模糊测度是经典测度的推广.1974年日本学者首次用比较弱的单调性代替经典测度中的可加性,提出非可加性测度——模糊测度，基于此测度概念建立了实模糊积分理论，实模糊积分理论得到了很快的发展，特别是应用方面,它在综合评价问题、工程技术、人工智能、机器学习、模式识别、信息融合等领域得到了成功的应用。1989年美国伯明翰Alabama大学J.J.Buckley教授首次提出模糊复数概念,学者们开始了对模糊复数、模糊复集的相关问题进行了系列研究。 1997年仇计清等基于Buckley的思想，将实模糊测度与实模糊积分概念推广到复数情形，提出复模糊测度与复模糊积分概念，研究了它们的一些基本性质。作者相继研究了复模糊测度的相关性质及复模糊积分问题，作者将复模糊测度与复模糊积分的概念给予更具体化定义，研究了模糊复值积分的基本性质和收敛性问题，本文基于此理论给出了一种新的分类器——模糊复值积分分类器，应用结果显示该积分分类器算法具有非常好的应用前景。
1、预备知识
定义1.1.1 :上的非负广义实值集函数：称为一实模糊测度，如果满足:
平凡性：若则
单调性：
下连续性：
若
上连续性：
若

若称为正则实模糊测度。
定义1.1.2 设是定义在上的实模糊测度，是定义在上的非负实值可测函数，则关于的实模糊积分定义为：

其中，等式右边的积分是一个的函数关于测度的积分。
若为有限集,函数是离散值函数。函数值为有限集（均为实数值）,不失一般性假设，则:
=
（其中每个积分区间是左闭右开的），则关于的实模糊积分为

其中，， ，或记作：，其中，

2.模糊复值积分
2.1模糊复值测度
记，并约定：复数的序关系按其实部、虚部同时满足的序关系界定，非负复数指其实部和虚部均非负。
定义2.1.1 设是非空集合，是的子集组成的代数，称为Fuzzy复值测度，如果
（I）；
（II）若，则；（单调性）
（III）若，即： ，则；（下连续性）
（IV）若，即，且存在使得，则；（上连续性）
这里，此时，称为Fuzzy复值测度空间。

在实际应用中，我们通常使用下列更具体化定义2.1.2：
定义2.1.2 为可测空间,集函数满足:
(1);
(2)且，记:;
(3);
(4),且
使。
称为上一个Fuzzy复值测度,称是Fuzzy复值测度空间。

2.2 模糊复可测函数与模糊复值积分
定义2.2.1 设是Fuzzy复值测度空间, 称为模糊复可测函数,如果对于任意的有.
定义2.2.2：设是从Fuzzy复值测度空间到的Fuzzy复可测函数，，则称

即：
为关于在上的Fuzzy复值积分。
这里。
记：
定理2.2.1：Fuzzy复值积分具有以下性质：
（1） 若，则
（2） 若，则
（3）
（4） 若，则
（5） 若为非负常数，
（证明见文献[4]，这里从略）
3、模糊复值积分分类器设计——模糊复值积分的一个应用：
定义3.1 设有一个设有一个c类的分类问题, 表示属性集，为定义在上的实值函数，即在每一个属性上的正向评价，每一分量的值都是介于0与1之间，则为在每一个属性上的负向评价，令，，这里为第类所对应的模糊测度，则这种积分分类器所得到的输出是一组二维向量=
，，代表的是该示例隶属于第类的正向隶属评价，和负向隶属评价度。令，，则可以根据最大隶属度原则给出其最终的分类。
如果我们将一组二维向量看成一组复数向量，于是我们可以得到如下的定义
定义3.2 设有一个设有一个c类的分类问题, 表示属性集，为定义在上的实值函数，即在每一个属性上的正向评价，每一分量的值都是介于0与1之间，则积分分类器所得到的输出是一组复值向量=
。，，其中，
。

该定义也可以将属性的输出看成是一个复值函数，其中实部代表的是对该属性的正向评价，虚部代表的是对该属性的负向评价，然后利用复值函数的模糊积分可以得到示例分别对每一类的隶属评价，其值也是一个复数，实部代表了正向的隶属评价，虚部代表的是负向的隶属评价。
以上几种定义的分类器，仍然是基于积分的分类器。但是是传统积分分类器的一种改进，引入了负向隶属评价，使得对分类的刻画更加全面。

例 实例计算：考虑下表1所示的4个示例的两类问题

属性
属性
属性
类别
1
0.8
0.45
1
?
2
1
1
0.75
?
3
0.33
0.45
0.44
?
4
0.47
0.59
0.5
?
表1 属性值表

根据本文第二部分的介绍我们可以将其属性值看成是一个二维向量（或者是复数），于是我们可以得到下表2所示的属性值表：

属性
属性
属性
类别
1
0.8
0.45
1
?
2
1
1
0.75
?
3
0.33
0.45
0.44
?
4
0.47
0.59
0.5
?
表2 改进后的属性值表

下面给出定义在每一类上的模糊测度

集合
模糊测度
模糊测度

0
0

0.1
0.2

0.5
0.3

0.7
0.8

0.2
0.6

0.3
0.9

0.9
0.7

1
1
表3 模糊测度表
下面利用定义3.1给出的积分分类器进行分类，我们采用Choquet积分得到下表4

类1
类2
1
0.60
0.31
0.89
0.26
2
0.93
0.05
0.95
0.15
3
0.44
0.56
0.41
0.58
4
0.54
0.44
0.52
0.50
表4

所以其最终的隶属程度的评价为下表5所示

类1
类2
1
0.29
0.63
2
0.88
0.80
3
-0.12
-0.17
4
0.1
0.02
表5

于是我们可以得到对于第一个示例其最终的分类为类2，第二个示例其最终的分类为类1，第三个示例其最终的分类为类1，第四个示例其最终的分类为类1。这种分类器的思想是单单从正向的评价还不足以去刻画某个示例隶属于哪一类，于是我们从正向和负向两个方向去刻画其在某一类上的评价值，从上述例子可以看到，如果单单从正向去评价其属于某一类的程度的话，示例2应该隶属于第2类，如果从正向和负向来考虑的话其应该是属于第一类的，这种积分分类器要求我们要综合考虑隶属评价值，符合人的逻辑。当然这种分类器也是基于模糊积分的分类器，模糊积分的选择以及模糊测度的给出都会给最终的分类带来很大的影响，因此我们也要根据具体的情况来选择具体的模糊积分。

最终隶属评价的两种处理方式:
当然用来刻画最终的隶属评价值也会显得很粗糙，于是我们有以下两种方式来对上述方法再一次进行改进：
第一种方法我们可以引进乐观-悲观因子，即将表示成与的线性函数，令,选择不同的会得到不同的分类结果。
另外一种方法是同模糊推理的方式来进行最终的分类，其基本思想是，由于最终的隶属评价是由正向和负向两个方面去刻画，并且我们认为某个示例隶属于某一类的正向评价越大，负向评价越小，则该示例隶属于这一类的程度就会越大，于是我们可以建立正向隶属评价，负向隶属评价与最终隶属评价的模糊规则库，对每一个示例利用模糊推理得到其最终的评价。具体步骤如下：
第一步 建立正向隶属评价与负向隶属评价的模糊集；
第二步 建立正向隶属评价，负向隶属评价与最终隶属评价的模糊规则库
第三步 输入正向隶属评价，负向隶属评价值，利用Matlab中模糊逻辑工具箱进行求解
以上两种处理方式将会在后面的研究中给出，其中利用模糊推理的方法来进行分类输出的处理是一种更符合人们思维的一种方式。
下面我们分别给出刻画正向隶属评价和刻画负向隶属评价的语言变量“高”“中”“低”的模糊集
正向隶属评价“高”，我们记为s型模糊数，pos.high<0.5,1>
正向隶属评价“中”，我们记为三角型模糊数，pos.mid<0,0.5,1>
正向隶属评价“低”，我们记为反s型模糊数，pos.low<0,0.5>
负向隶属评价“高”，我们记为s型模糊数，neg.high<0.5,1>
负向隶属评价“中”，我们记为三角型模糊数，neg.mid<0,0.5,1>
负向隶属评价“低”，我们记为反s型模糊数，neg.low<0,0.5>
接下来我们给出刻画综合隶属评价的语言变量“高”，“稍高”，“中”，“稍低”，“低”的，模糊集。
综合隶属评价“高”，我们记为s型模糊数，com.high<0.75,1>
综合隶属评价“稍高”，我们记为三角型模糊数，com.lithigh<0.5,0.75,1>
综合隶属评价“中”，我们记为三角型模糊数，com.mid<0.25,0.5,0.75>
综合隶属评价“稍低”，我们记为三角型模糊数，com.litlow<0,0.25,0.5>
综合隶属评价“低”，我们记为反s型模糊数，com.low<0,0.25>
根据专家知识和评判者本人的经验我们可以给出如下几条双入单出的模糊推理规则：
（1） 如果正向隶属评价“高”，负向隶属隶属评价“低”，则综合评价“高”
（2） 如果正向隶属评价“高”，负向隶属隶属评价“高”，则综合评价“中”
（3） 如果正向隶属评价“高”，负向隶属隶属评价“中”，则综合评价“稍高”
（4） 如果正向隶属评价“中”，负向隶属隶属评价“低”，则综合评价“稍高”
（5） 如果正向隶属评价“中”，负向隶属隶属评价“中”，则综合评价“中”
（6） 如果正向隶属评价“中”，负向隶属隶属评价“高”，则综合评价“稍低”
（7） 如果正向隶属评价“低”，负向隶属隶属评价“低”，则综合评价“中”
（8） 如果正向隶属评价“低”，负向隶属隶属评价“中”，则综合评价“稍低”
（9） 如果正向隶属评价“低”，负向隶属隶属评价“高”，则综合评价“低”
有了这9条规则后我们就可以根据Mamdani的CRI算法利用中心解模糊计算出其综合的隶属评价。下表给出了其属于各类的综合隶属评价：

类1
类2

正向
负向
综合
正向
负向
综合
1
0.60
0.31
0.608
0.89
0.26
0.705
2
0.93
0.05
0.796
0.95
0.15
0.766
3
0.44
0.56
0.457
0.41
0.58
0.439
4
0.54
0.44
0.541
0.52
0.50
0.514

我们选择Mamdani蕴含算子，t-范数为取小，利用Matlab计算可以得到每个方案的评价值，评价值越小即排名越高，经过计算我们得到四个示例的综合隶属评价
图1给出了整个推理的曲面效果图

图1
根据上面利用模糊推理进行的最终隶属评价的改进，我们也可以得到四个案例分别是属于2，1，1，1类。
本文运用模糊积分的工具，利用双向隶属评价和模糊推理方法来进行案例的最终分类，体现了分类的全面性。双向隶属评价体现了分类的客观性，更好的达到了分类的效果。

4、小结
模糊复值积分有良好的实际应用背景，它在综合评价问题、工程技术、人工智能、机器学习、模式识别、信息融合等领域将会有广泛的应用前景。本文给出的模糊复值积分作为一种新的分类算法具有很好的推广价值，我们在以后的工作将继续深入研究它们在多分类器融合问题中的系列应用问题。
参考文献:
[1]Sugeno.Theory of Fuzzy Integrals and Applications.Ph.D.Disertation.Tokyo Institute of Technology,1974.
[2].J.J.Buckley.Fuzzy complex numbers[J]. Fuzzy Sets and Systems， 33（1989）333-345.

[3] 仇计清, 李法朝, 苏连青. 复Fuzzy测度与复Fuzzy积分[J]. 河北轻化工学院学报, 1997, 1 : 1～ 4.
[4] 马生全，曹纯.模糊复分析[M];北京：民族出版社，2001
[5] 马生全 . 模糊复分析理论基础[M];北京:科学出版社,2010
[6] 王熙照.模糊测度和模糊积分及在分类技术中的应用[M].科学出版社，2008
[7]Hossein Tahanl,et al.Information fusion in computer vision using the fuzzy
integral.IEEETrans.on systems man and cybernetics[J],1990,20(3):733-741.
[8]谢颖.信息融合算法研究及其应用[D].重庆：重庆大学软件学院，2008.4

作者简介：
马生全，男（1962—），教授，硕士生导师，研究方向：模糊数学，智能信息处理技术；