九年级数学优生补充作业(1)参考答案.doc

优生补充作业（1）参考答案
代数式问题：
题型1、已知代数式
（1）用配方法说明无论x取何值，代数式的值总是负数。
（2）当x为何值时，代数式有最大值，最大值是多少？
设计意图：训练学生用配方法求二次三项式的最值。让学生知道当a〉0时，有最大值；当a〈0时，有最小值。
考点：解一元二次方程-公式法；完全平方式；一元一次方程的应用．
分析：（1）利用完全平方式来解答；
解答：解：（1）①-2x2+4x-18=-2（x2-2x）-18
=-2（x-1）2-16
∵-2（x-1）2≤0，-16＜0，
∴-2（x-1）2-16＜0，
∴无论x取何值，代数式的值总是负数；
②由①知，原式=-2（x-1）2-16，
∴当-2（x-1）2=0，即x=1时，代数式有最大值；
当x=1时，原式=-16．
∴当x=1时，代数式有最大值，最大值是-16；
面积问题：
题型2、如图, 某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽。

设计意图：让学生掌握对图形进行适当的转换而达到把问题简单化――学会建模。如下：

考点：一元二次方程的应用．
专题：几何图形问题．
分析：本题中我们可以根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解．
解答：解法一：原图经过平移转化为图1．

设道路宽为X米，（1分）
根据题意，得（20-x）（32-x）=540．（4分）
整理得x2-52x+100=0．
解得x1=50（不合题意，舍去），x2=2．（7分）
答：道路宽为2米．（8分）

解法二：原图经过平移转化为图2．
设道路宽为x米，（1分）
根据题意，20×32-（20+32）x+x2=540（4分）
整理得x2-52x+100=0．
解得x1=50（不合题意，舍去），x2=2．（7分）
答：道路宽为2米．（8分）
说明：没画出图形不扣分
点评：对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解．

旋转问题：
设计意图训练学生利用旋转的知识构建三角形（特别是直角三角形）等。
1、如图，已知AD是△ABC的中线：
(1）画出与△ABD关于D点成中心对称的三角形；
(2）找出与AB相等的线段；
(3）探索：三角形中AB与AC的和与中线AD之间的关系，并说明理由；
(4）若AB=3、AC=5，则线段AD的取值范围为多少？

考点：作图-旋转变换；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质．
分析：（1）找到A、C关于D中心对称的点，然后连接即可得到△ADC关于点D成中心对称的三角形；
（2）根据中心对称的性质即可得到答案；
（3）根据两边之和大于第三边可得到答案；
（4）根据（3）的结论即可作出判断．
解答：解：（1）所作图形如下所示：
点评：本题考查了旋转作图的知识，难度不大，注意掌握中心对称的性质及三角形的三边关系．

解答：解：（1）所作图形如下所示：
（2）根据中心对称的性质可得：AB=A’C；
（3）A’C=AB，AB+AC=A’C+AC＞2AD；
（4）由（3）得：1＜AD＜4．

2、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5．
求：∠APB的度数．

考点：等边三角形的性质；直角三角形的性质；勾股定理的逆定理；
旋转的性质．
专题：计算题．
分析：先把△ABP旋转60°得到△BCQ，连接PQ，根据旋转性质可知△BCQ≌△BAP，由于∠PBQ=60°，BP=BQ，易知△BPQ是等边三角形，从而有PQ=PB=4，而PC=5，PQ=3，根据勾股定理逆定理易证△PQC是直角三角形，即∠PQC=90°，进而可求∠APB．
解答：解：绕点B顺时针旋转△ABP60°得到△BCQ，连接PQ，
∵∠PBQ=60°，BP=BQ，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PQ=PB=4，
而PC=5，PQ=4，
在△PQC中，PQ2+QC2=PC2，
∴△PQC是直角三角形，
∴∠BQC=60°+90°=150°，
∴∠APB=150°．
点评：本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理的逆定理、旋转的性质，解题的关键是考虑把PA、PB、PC放在一个三角形中，而旋转恰好能实现这一目标．

3、如图，边长为1的正方形被两条与边平行的线段分割成四个小矩形，与交于点．

（1）若，证明：；
（2）若，证明：；
（3）若的周长为1，求矩形的面积．

本小题主要考查正方形、矩形、三角形全等等基础知识,考查计算能力、推理能力和空间观念．满分14分．
（1）证明1：在与中，
∵，
∴．
∴．
证明2：在中，．
在中，
∵，
∴．
（2）证明1：将绕点顺时针旋转到的位置．
在与中，
∵
，
∴．
E
D
H
C
F
B
M
G
A
P
24题（2）图
∴．
∵，
∴．
证明2：延长至点，使，连结．
在与中，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
（3）设，则，．（）
在中，．
∵的周长为1，
∴．
即．
即．
整理得． （*）
求矩形的面积给出以下两种方法：
方法1：由（*）得． ①
∴矩形的面积 ②
将①代入②得

．
∴矩形的面积是．
方法2：由（*）得，
∴矩形的面积

∴矩形的面积是．

4、已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．

（1） 如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC,四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC= 4545° ；
（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长．
（3）如图3，若∠ACD是锐角，作AH⊥BC于H，当BD2=4AH2+BC2时，∠DAC=2∠ABC是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。

考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
分析：（1）由AC=AD得∠D=∠ACD，根据△ACB≌△DAC，可得∠ACB=2∠ABC，在△ABC中，由内角和定理求解；
（2）如图2，在△ABC外作等边△BAE，连接CE，利用旋转法证明△EAC≌△BAD，可证∠EBC=90°，BE=AB=3，在Rt△BCE中，由勾股定理求CE，由三角形全等得BD=CE．
解答：解：（1）∵AC=A，
∴∠D=∠ACD，
∵△ACB≌△DAC，
∴∠DAC=∠ACB，∠B=∠BAC，
∵∠DAC=2∠ABC，
∴∠ACB═2∠ABC，
∴∠ABC=45°；
（2）如图，以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAE=60°，
并在AE上取AE=AB，连接BE和CE．
∵△ACD是等边三角形，
∴AD=AC，∠DAC=60°．
∵∠BAE=60°，
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC．即∠EAC=∠BAD．
∴△EAC≌△BAD．∴EC=BD．
∵∠BAE=60°，AE=AB=3，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠EBA=60°，EB=3．
∵∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4，
∴EC=5
∴BD=5．
（3）∠DAC=2∠ABC成立，
以下证明：
如图3，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK．
∵AH⊥BC于H，
∴∠AHC=90°．
∵BE∥AH，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，BE=2AH，
∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2．
∵BD2=4AH2+BC2，
∴EC=BD．
∵K为BE的中点，BE=2AH，
∴BK=AH．
∵BK∥AH，
∴四边形AKBH为平行四边形．
又∵∠EBC=90°，
∴四边形AKBH为矩形．
∴∠AKB=90°．
∴AK是BE的垂直平分线．
∴AB=AE．
∵AB=AE，EC=BD，AC=AD，
∴△EAC≌△BAD．
∴∠EAC=∠BAD．
∴∠EAC-∠EAD=∠BAD-∠EAD．
即∠EAB=∠DAC．
∵∠EBC=90°，∠ABC为锐角，
∴∠ABC=90°-∠EBA．
∵AB=AE，
∴∠EBA=∠BEA．
∴∠EAB=180°-2∠EBA．
∴∠EAB=2∠ABC．
∴∠DAC=2∠ABC
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是根据已知条件构造全等三角形．

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