同济六版高等数学公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、平面图形面积,二、体积,6.2 定积分在几何学上应用,三、平面曲线弧长,上页,下页,铃,结束,返回,首页,第1页,第1页,f,上,(,x,),f,下,(,x,),dx,它也就是面积元素.,一、平面图形面积,设平面图形由上下两条曲线,y,f,上,(,x,)与,y,f,下,(,x,)及左右两条直线,x,a,与,x,b,所围成,.,因此平面图形面积为,在点,x,处面积增量近似值为,1.直角坐标情形,下页,第2页,第2页,讨论：,由左右两条曲线,x,j,左,(,y,)与,x,j,右,(,y,)及上下两条直线,y,d,与,y,c,所围成平面图形面积如何表示为定积分？,提醒：,面积为,面积元素为,j,右,(,y,),j,左,(,y,),dy,下页,第3页,第3页,例1,计算抛物线,y,2,x,与,y,x,2,所围成图形面积,.,解,(2)拟定在,x,轴上投影区间,:,(4)计算积分,0,1,;,(1)画图,;,下页,第4页,第4页,例2,计算抛物线,y,2,2,x,与直线,y,x,4所围成图形面积,.,(2)拟定在,y,轴上投影区间,:,(4)计算积分,(3)拟定左右曲线,:,-,2,4,.,解,(1)画图,;,下页,第5页,第5页,例3,由于椭圆参数方程为,x,a,cos,t,y,b,sin,t,因此,解,椭圆面积是椭圆在第一象限部分四倍,.,于是,ydx,椭圆在第一象限部分面积元素为,下页,第6页,第6页,曲边扇形,曲边扇形面积元素,曲边扇形是由曲线,(,)及射线,所,围成图形,.,曲边扇形面积,2.,极坐标情形,下页,第7页,第7页,例4,计算阿基米德螺线,a,(,a,0)上相应于,从0变到2,一段弧与极轴所围成图形面积,.,解,例5,计算心形线,a,(1,cos,)(,a,0)所,围成图形面积,.,解,首页,曲边扇形面积：,第8页,第8页,二、体积,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成立体,.,这直线叫做旋转轴,.,下页,1.旋转体体积,第9页,第9页,旋转体都能够看作是由连续曲线,y,f,(,x,)、直线,x,a,、,a,b,及,x,轴所围成曲边梯形绕,x,轴旋转一周而成立体,.,下页,二、体积,1.旋转体体积,旋转体体积元素,考虑旋转体内点,x,处垂直于,x,轴厚度为,dx,切片,用圆柱体体积,f,(,x,),2,dx,作为切片体积近似值,旋转体体积,于是,体积元素为,dV,f,(,x,),2,dx,.,第10页,第10页,例6,连接坐标原点,O,及点,P,(,h,r,)直线、直线,x,h,及,x,轴围成一个直角三角形,.,将它绕,x,轴旋转构成一个底半径为,r,、高为,h,圆锥体,.,计算这圆锥体体积,.,旋转体体积：,解,下页,第11页,第11页,解,轴围成图形绕,x,轴旋转而成立体,.,旋转椭球体体积为,下页,旋转体体积：,例7,计算由椭圆 所成图形绕,x,轴旋转而成,旋转体(旋转椭球体)体积,.,第12页,第12页,例8,计算由摆线,x,a,(,t,sin,t,),y,a,(1,cos,t,)一拱,直线,y,0所围成图形分别绕,x,轴、,y,轴旋转而成旋转体体积,.,解,所给图形绕,x,轴旋转而成旋转体体积为,下页,第13页,第13页,例8,计算由摆线,x,a,(,t,sin,t,),y,a,(1,cos,t,)一拱,直线,y,0所围成图形分别绕,x,轴、,y,轴旋转而成旋转体体积,.,解,下页,设曲线左半边为,x,=,x,1,(,y,),右半边为,x,=,x,2,(,y,),.,所给图形绕,y,轴旋转而成旋转体体积为,6,3,a,3,.,第14页,第14页,设置体在,x,轴上投影区间为,a,b,立体内垂直于,x,轴截面面积为,A,(,x,),.,立体体积元素为,立体体积为,下页,2.,平行截面面积为已知立体体积,A,(,x,),dx,.,A,(,x,),第15页,第15页,截面面积为,A,(,x,),立体体积：,例9,一平面通过半径为,R,圆柱体底圆中心,并与底面交成角,.,计算这平面截圆柱所得立体体积,.,建立坐标系如图,则,底圆方程为,x,2,y,2,R,2,.,所求立体体积为,解,下页,立体中过点,x,且垂直于,x,轴截面为直角三角形,其,面积为,第16页,第16页,三、平面曲线弧长,设曲线弧由直角坐标方程,y,f,(,x,)(,a,x,b,),给出,其中,f,(,x,)在区间,a,b,上含有一阶连续导数,.,现在来计算这曲线弧长度,.,在曲率一节中,我们已经知道弧微分表示式为,这也就是弧长元素.,因此,曲线弧长度为,下页,直角坐标情形,第17页,第17页,例11,长度,.,因此,所求弧长为,解,曲线,y,f,(,x,)(,a,x,b,)弧长：,下页,第18页,第18页,设曲线弧由参数方程,x,(,t,)、,y,(,t,)(,t,)给出,其中,(,t,)、,(,t,)在,上含有连续导数,.,于是曲线弧长为,下页,曲线,y,f,(,x,)(,a,x,b,)弧长：,参数方程情形,第19页,第19页,曲线,x,(,t,)、,y,(,t,)(,t,)弧长：,例13,求摆线,x,a,(,q,sin,q,),y,a,(1,cos,q,)一拱(0,2,)长度,.,解,于是所求弧长为,曲线,y,f,(,x,)(,a,x,b,)弧长：,弧长元素为,下页,第20页,第20页,设曲线弧由极坐标方程,(,)(,)给出,其中,(,)在,上含有连续导数,.,由于,x,(,q,)cos,q,y,(,q,)sin,q,(,),因此弧长元素为,曲线弧长为,下页,极坐标情形,曲线,y,f,(,x,)(,a,x,b,)弧长：,曲线,x,(,t,)、,y,(,t,)(,t,)弧长：,第21页,第21页,曲线,(,)(,)弧长：,例14,求阿基米德螺线,a,(,a,0)相应于,从0到2,一段弧长,.,解,于是所求弧长为,结束,弧长元素为,曲线,y,f,(,x,)(,a,x,b,)弧长：,曲线,x,(,t,)、,y,(,t,)(,t,)弧长：,第22页,第22页,内容小结,1.平面图形面积,边界方程,极坐标方程,2.平面曲线弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,直角坐标方程,注意:,求弧长时积分上下限必须,上大下小,第23页,第23页,3.,已知平行截面面面积函数立体体积,旋转体体积,绕,x,轴:,第24页,第24页,作业,P284 2(1),(2);8(1);12,第25页,第25页,