高等数学隐函数求导公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

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1、第八章第五节机动目录上页下页返回结束一、一个方程所拟定隐函数一、一个方程所拟定隐函数及其导数及其导数二、方程组所拟定隐函数组二、方程组所拟定隐函数组及其导数及其导数隐函数求导办法第1页第1页本节讨论:1)方程在什么条件下才干拟定隐函数.比如,方程当 C 0 时,不能拟定隐函数;2)在方程能拟定隐函数时,研究其连续性、可微性及求导办法问题.机动目录上页下页返回结束第2页第2页一、一个方程所拟定隐函数及其导数一、一个方程所拟定隐函数及其导数定理定理1.1.设函数则方程单值连续函数 y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证实从略，仅就求导公式推导下列：含有

2、连续偏导数;某邻域内某邻域内可唯一拟定一个在点某一邻域内满足满足条件机动目录上页下页返回结束导数第3页第3页两边对 x 求导在某邻域内则机动目录上页下页返回结束第4页第4页若F(x,y)二阶偏导数也都连续,二阶导数:则尚有机动目录上页下页返回结束第5页第5页例例1.验证方程在点(0,0)某邻域可拟定一个单值可导隐函数解解:令连续,由定理1 可知,导隐函数则在 x=0 某邻域内方程存在单值可且机动目录上页下页返回结束并求第6页第6页机动目录上页下页返回结束第7页第7页两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x=0,注意此时导数另一求法

3、导数另一求法利用隐函数求导机动目录上页下页返回结束第8页第8页定理定理2.若函数某邻域内含有连续偏导数连续偏导数,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z=f(x,y),定理证实从略,仅就求导公式推导下列:满足在点满足:某一邻域内可唯一确机动目录上页下页返回结束第9页第9页两边对 x 求偏导同样可得则机动目录上页下页返回结束第10页第10页例例2.设解法解法1 利用隐函数求导机动目录上页下页返回结束再对 x 求导第11页第11页解法解法2 利用公式设则两边对 x 求偏导机动目录上页下页返回结束第12页第12页例例3.设F(

4、x,y)含有连续偏导数,解法解法1 利用偏导数公式.拟定隐函数,则已知方程机动目录上页下页返回结束故第13页第13页对方程两边求微分:解法解法2 微分法.机动目录上页下页返回结束第14页第14页二、方程组所拟定隐函数组及其导数二、方程组所拟定隐函数组及其导数隐函数存在定理还能够推广到方程组情形.由 F、G 偏导数构成行列式称为F、G 雅可比雅可比(Jacobi)行列式.以两个方程拟定两个隐函数情况为例,即雅可比目录上页下页返回结束第15页第15页定理定理3.3.某一邻域内含有连续偏设函数则方程组单值连续函数单值连续函数且有偏导数公式:在点某一邻域内可唯一唯一

5、拟定一组满足条件满足:导数；机动目录上页下页返回结束第16页第16页定理证实略.仅推导偏导数公式下列：(P34-P35)机动目录上页下页返回结束第17页第17页有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组在点P 某邻域内公式目录上页下页返回结束故得系数行列式第18页第18页同样可得机动目录上页下页返回结束第19页第19页例例4.设解解:方程组两边对 x 求导，并移项得求练习练习:求机动目录上页下页返回结束答案答案:由题设故有第20页第20页例例5.5.设函数在点(u,v)某一1)证实函数组(x,y)某一邻域内2)求解解:1)令对 x,y 偏

6、导数.在与点(u,v)相应点邻域内有连续偏导数,且唯一拟定一组单值、连续且含有连续偏导数反函数机动目录上页下页返回结束第21页第21页式两边对 x 求导,得机动目录上页下页返回结束则有由定理 3 可知结论 1)成立.2)求反函数偏导数.第22页第22页机动目录上页下页返回结束从方程组解得同理,式两边对 y 求导,可得第23页第23页机动目录上页下页返回结束从方程组解得同理,式两边对 y 求导,可得第24页第24页例例5应用应用:计算极坐标变换反变换导数.同样有因此由于机动目录上页下页返回结束第25页第25页内容小结内容小结1.隐函数

7、(组)存在定理2.隐函数(组)求导办法办法1.利用复合函数求导法则直接计算;办法2.利用微分形式不变性;办法3.代公式思考与练习思考与练习设求机动目录上页下页返回结束第26页第26页提醒提醒:机动目录上页下页返回结束第27页第27页解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.作业作业 P37 3,6，7,9,10(1);(3)，11第六节目录上页下页返回结束由d y,d z 系数即可得第28页第28页备用题备用题分别由下列两式拟定:又函数有连续一阶偏导数,1.设解解:两个隐函数方程两边对 x 求导,得(考研考研)机动目录上页下页返回结束解得因此第29页第29页2.设是由方程和所拟定函数,求解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导,得(99考研考研)机动目录上页下页返回结束第30页第30页解法解法2 微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去机动目录上页下页返回结束可得第31页第31页

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