资源描述
综合题
西城、解答题
1．在平面直角坐标系xOy中， A，B两点在函数的图象上，
其中．AC⊥轴于点C，BD⊥轴于点D，且 AC=1．
(1) 若=2，则AO的长为 ，△BOD的面积为 ；
(2) 如图1，若点B的横坐标为，且，当AO=AB时，求的值；
(3) 如图2，OC=4，BE⊥轴于点E，函数的图象分别与线段BE，
BD交于点M，N，其中．将△OMN的面积记为，△BMN的面积记为，若，求与的函数关系式以及的最大值．
图2
图1
2．在△ABC中，AB=AC，AD，CE分别平分∠BAC和∠ACB，且AD与CE交于点M．点N在射线AD上，且NA=NC．过点N作NF⊥CE于点G，且与AC交于点F，再过点F作FH∥CE，且与AB交于点H．
(1) 如图1，当∠BAC=60°时，点M，N，G重合．
①请根据题目要求在图1中补全图形；
②连结EF，HM，则EF与HM的数量关系是__________；
(2) 如图2，当∠BAC=120°时，求证：AF=EH；
图1
图2
备用图
(3) 当∠BAC=36°时，我们称△ABC为“黄金三角形”，此时．若EH=4，
直接写出GM的长．
3．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线和抛物线W交于A，B两点，其中点A是抛物线W的顶点．当点A在直线上运动时，抛物线W随点A作平移运动．在抛物线平移的过程中，线段AB的长度保持不变．
图1
应用上面的结论，解决下列问题：
如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知直线．点A是直线上的一个动点，且点A的横坐标为．以A为顶点的抛物线与直线的另一个交点为点B．
(1) 当时，求抛物线的解析式和AB的长；
(2) 当点B到直线OA的距离达到最大时，直接写出此时点A的坐标；
(3) 过点A作垂直于轴的直线交直线于点C．以C为顶点的抛物线与直线的另一个交点为点D．
①当AC⊥BD时，求的值；
②若以A，B，C，D为顶点构成的图形是凸四边形，直接写出满足条件的的取值范围．
图2
备用图
海淀4．已知：抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线在直线下方的部分沿直线翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为．点在图象上，且．
①求的取值范围；
②若点也在图象上，且满足恒成立，则的取值范围为 ．
5．如图1，在△ABC中，AB＝AC，. 过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
图1 图2
（1）求证：；
（2）点为线段延长线上一点，将射线GC绕着点G逆时针旋转，与射线BD交于点E．
①若，，如图2所示，求证：；
②若,，请直接写出的值（用含的代数式表示）．
6. 在平面直角坐标系xOy中，点的坐标是，过点作直线垂直轴，点是直线上异于点的一点，且.过点作直线的垂线，点在直线上，且在直线的下方，.设点的坐标为.
（1） 判断△的形状，并加以证明；
（2） 直接写出与的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（3） 延长交（2）中所求函数的图象于点.求证：.
东城7. 已知：关于的一元二次方程（m为实数）.
（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）求证：抛物线总过轴上的一个定点；
（3）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根时，把抛物线向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．
8. 在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点.
（1）如图1，当点与点重合时，求的长；
（2）如图2，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）连结，当以点E，F，H为顶点的三角形与△AEC相似时，求线段的长.
9．定义：P，Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离. 已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角坐标系中的四点.
（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____；
当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离是______ .
（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，求线段BC与线段OA的距离d.
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，若线段BC的中点为M，直接写出点M随线段BC运动所形成的图形的周长 .
朝阳10．已知关于x的一元二次方程x2+(4-m)x+1-m = 0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）此方程有一个根是-3，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2+(4-m)x+1-m
向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线y=x+b与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b的值．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= ax2+bx+4与x轴交于点A(-2，0)、
B(6，0)，与y轴交于点C，直线CD∥x轴，且与抛物线交于点D，P是抛物线上一动
备用图
点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作PQ⊥CD于点Q，将△CPQ绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0º﹤α﹤90º），当cosα=，且旋转后点P的对应点恰好落在x轴上时，求点P的坐标．
12. 在□ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG.
（1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG =AG+BG；
（2）如图2，当EF与AB相交时，若∠EAB= α（0º﹤α﹤90º），请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；
（3）如图3，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论.
图3
图1
图2
房山13.已知二次函数．
（1）求证：不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）若该二次函数的图象与x轴的两个交点在点A（1，0）的两侧，且关于x的一元二次方程k2x2＋(2k＋3)x＋1=0有两个不相等的实数根，求k的整数值；
（3）在（2）的条件下，关于x的另一方程 x2＋2(a＋k)x＋2a－k2＋6 k－4=0 有大于0且小于3的实数根，求a的整数值．
14.（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE=CF，联结AE、BF交于点H..请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系；
（2）如图2，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，联结BF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，联结GF、HD.
求证：①FG+BE≥BF;
②∠HGF=∠HDF.
第21题图3
第24题图2
第24题图1
15.已知抛物线的最低点A的纵坐标是3，直线经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C.
（1）求抛物线与直线AB的解析式.
（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求sin∠BDE的值.
（3）过B点作x轴的平行线BG,点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6，设点N在直线BG上，请你直接写出使得∠AMB+∠ANB=450的点N的坐标.
第25题图
门头沟16． 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点O， 点B(-2,n)在这条抛物线上.
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线沿y轴向下平移b个单位后得到直线l， 若直线l经过B点，求n、b的值；
x
y
1
1
O
（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，直线l与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点E.若P是抛物线上一点，且PB=PE，求P点的坐标.
17．已知：在△AOB与△COD中，OA＝OB，OC＝OD，．
（1）如图1，点C、D分别在边OA、OB上，连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM，则线段AD与OM之间的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）如图2，将图1中的△COD绕点逆时针旋转，旋转角为 ()．连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，将图1中的 △COD绕点 O逆时针旋转到使 △COD的一边OD恰好与
△AOB的边OA在同一条直线上时，点C落在OB上，点M为线段BC的中点．
请你判断（1）中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．
18． 如图，在平面直角坐标系xOy中， 已知矩形ABCD的两个顶点B、C的坐标分别是B（1，0）、C（3，0）．直线AC与y轴交于点G（0，6）．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点 Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
（1）求直线AC的解析式；
（2）当t为何值时，△CQE的面积最大？最大值为多少？
（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使得以C、Q、E、H为顶点的四边形是菱形？
怀柔19． 已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点.
（1）求C1的顶点坐标；
（2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（—3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；
（3）若直接写出实数n的取值范围.
解：
20. 如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，连结AM、CM.
（1） 当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
（2）当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.
解： （1）
21.如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，
抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）b= ,c= ；
（2）点E是Rt△ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线
交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下,抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三
角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.
21题图 21题备用图
解：（1）b= ， c= ；
（2）
（3）
大兴22．已知：如图，抛物线L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）直接写出点A和抛物线L1的顶点坐标；
（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会因k值的变化而发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．
23．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB =，AD = 3，BC = 4，以点D为旋转中心，将腰DC逆时针旋转а至DE.
（1）当а=90°时，连结AE，则△EAD的面积等于___________（直接写出结果）；
（2）当0°<а< 180°时，连结BE，请问BE能否取得最大值，若能，请求出BE的最大值；若不能，请说明理由；
（3）当0°<а< 180°时，连结CE，请问а为多少度时，△CDE的面积是.
24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A．C．D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．
（1）求过A．C．D三点的抛物线的解析式；
（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；
（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．
丰台
25．已知关于的方程.
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）设抛物线与轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=-x的对称点恰好是点M，求的值.
26．在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．
（1）当点O为AC中点时，
①如图1， 三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；
②如图2， 三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）当点O不是AC中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若，求的值．
C
O
B
A
O
E
图1
F
B
A
O
C
E
F
A
B
C
E
F
图2
图3
27．如图，把△OAB放置于平面直角坐标系xOy中，，，把△OAB沿轴的负方向平移2OA的长度后得到△DCE.
（1）若过原点的抛物线经过点B、E，求此抛物线的解析式；
（2）若点在该抛物线上移动，当点P在第一象限内时，过点作轴于点，连结.若以、、为顶点的三角形与以B、C、E为顶点的三角形相似，直接写出点的坐标；
（3）若点M(-4，n) 在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点M的对应点为M′，点B的对应点为B′．
A
O
x
B
C
D
y
E
当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形M′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
石景山28．如图，抛物线过点A（-1，0），B（3，0），其对称轴与x轴的交点为C, 反比例函数（x>0，k是常数）的图象经过抛物线的顶点D．
（1）求抛物线和反比例函数的解析式．
y
x
O
（2）在线段DC上任取一点E，过点E作轴平行线，交y轴于点F、交双曲线于点G，联结DF、DG、FC、GC．
①若△DFG的面积为4，求点G的坐标；
②判断直线FC和DG的位置关系，请说明理由；
③当DF=GC时，求直线DG的函数解析式．
解：
29．如图，四边形、是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形．其中，正方形可以绕中心旋转,正方形静止不动．
（1）如图1，当四点共线时，四边形的面积为 __；
（2）如图2，当三点共线时，请直接写出= _________；
（3）在正方形绕中心旋转的过程中，直线与直线的位置关系是______________,请借助图3证明你的猜想．
图1
图2
图3
解：
30．（1）如图1，把抛物线平移后得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则抛物线的解析式为____________；图中阴影部分的面积为_____．
（2）若点为抛物线上的动点，我们把时的△称为抛物线的内接直角三角形.过点做轴的垂线，抛物线的内接直角三角形的两条直角边所在直线、与直线分别交于、两点，以为直径的⊙与轴交于、两点,如图2.请问：当点在抛物线上运动时，线段的长度是否会发生变化？请写出并证明你的判断．
图2
图1
解：
昌平31. 已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上.
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）当a=1时，求△ABC的面积；
（3）是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，请说明理由.
32．（1）如图1，以AC为斜边的Rt△ABC和矩形HEFG摆放在直线l上（点B、C、E、F在直线l上），已知BC=EF=1，AB=HE=2. △ABC沿着直线l向右平移，设CE=x，△ABC与矩形HEFG重叠部分的面积为y（y≠0）. 当x=时，求出y的值；
（2）在（1）的条件下，如图2，将Rt△ABC绕AC的中点旋转180°后与Rt△ABC形成一个新的矩形ABCD，当点C在点E的左侧，且x =2时，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将矩形HEFG绕着点E逆时针旋转相同的角度. 若旋转到顶点D、H重合时，连接AG，求点D到AG的距离；
（3）在（2）的条件下，如图3，当α=45°时，设AD与GH交于点M，CD与HE交于点N，求证：四边形MHND为正方形.
33. 如图，已知半径为1的与轴交于两点，为的切线，切点为，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求切线的函数解析式；
（3）线段上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
密云34．已知：关于的一元二次方程（m为实数）
（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论取何值，抛物线总过轴上的一个固定点；
（3）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，把抛物线向右平移3个单位长度，求平移后的
解析式．
35．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边
上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．
36．概念：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与
线段b的距离． 已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐
标系中四点．
（1）根据上述概念，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是 2；
当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）为 ；
（2）图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，
求d关于m的函数解析式．
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，
①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；
②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MN⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值
使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在 请 说明理由．
顺义37．已知抛物线．
（1）求证：无论为任何实数，抛物线与x轴
总有两个交点；
（2）若为整数，当关于x的方程的两个有理数根都在与之间
（不包括-1、）时，求的值．
（3）在(2）的条件下，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象，再将图象向上平移个单位，若图象与过点（0，3）且与x轴平行的直线有4个交点，直接写出n的取值范围是 ．
38．如图，直线与线段相交于点, 点和点在直线上，且.
(1) 如图1所示，当点与点重合时 ，且，请写出与的数量关系和位置关系；
（2）将图1中的绕点顺时针旋转到如图2所示的位置，，（1）中的与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）将图2中的拉长为的倍得到如图3，求的值．
39． 已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连结，是线段上一动点，以为一边向右侧作正方形，连结．若，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：；
（3）求的度数；
（4）当点沿轴正方向移动到点时，点也随着运动，则点所走过的路线长 是 ．
综合题答案
1．解：(1) AO的长为，△BOD的面积为 1； ………………………… 2分
(2) ∵A，B两点在函数的图象上，
∴点A，B的坐标分别为，. ………………… 3分
∵AO=AB，
由勾股定理得，，
∴.
解得或. …………………………………………… 4分
∵，
∴. ………………… 5分
(3) ∵OC=4，
∴点A的坐标为.
∴.
设点B的坐标为，
∵BE⊥轴于点E，BD⊥轴于点D，
∴四边形ODBE为矩形，且，
点M的纵坐标为，点N的横坐标为.
∵点M，N在函数的图象上，
∴点M的坐标为，点N的坐标为.
∴.
∴.
∴.
∴， ………………………… 6分
其中.
∵，而，
∴当时，的最大值为1. …………………………………… 7分
图1
2．解：(1)补全图形见图1， ………1分
EF与HM的数量关系是EF=HM ； ………2分
(2)连接MF（如图2）.
∵AD，CE分别平分∠BAC和∠ACB，
且∠BAC=120°，
∴∠1=∠2=60°，∠3=∠4.
∵AB=AC，
图2
∴AD⊥BC.
∵NG⊥EC，
∴∠MDC =∠NGM =90°.
∴∠4+∠6=90°，∠5+∠6=90°.
∴∠4=∠5.
∴∠3=∠5.
∵NA=NC，∠2=60°，
∴△ANC是等边三角形.
∴AN=AC.
在△AFN和△AMC中，
∴△AFN≌△AMC. …………………………………………… 3分
∴AF=AM.
∴△AMF是等边三角形.
∴AF=FM，∠7=60°.
∴∠7=∠1.
∴FM∥AE.
∵FH∥CE，
∴四边形FHEM是平行四边形. ……………………………………… 4分
∴EH=FM.
∴AF=EH. …………………………………………… 5分
(3) GM的长为. …………………………………………… 7分
3．解：(1) ∵点A在直线上，且点A的横坐标为0，
∴点A的坐标为.
∴抛物线的解析式为. …………………………… 1分
∵点B在直线上，
∴设点B的坐标为.
∵点B在抛物线:上，
∴.
解得或.
∵点A与点B不重合，
∴点B的坐标为. …………………………… 2分
∴由勾股定理得AB=. …………………… 3分
(2) 点A的坐标为. …………………………… 4分
(3) ①方法一：设AC，BD交于点E，直线分别与轴、轴交于点P和Q（如图1）.则点P和点Q的坐标分别为， .
图1
∴OP=OQ=2.
∴∠OPQ =45°.
∵AC⊥轴，
∴AC∥轴.
∴∠EAB =∠OPQ =45°.
∵∠DEA =∠AEB=90°，AB =，
∴EA=EB =1.
∵点A在直线上，且点A的横坐标为，
∴点A的坐标为.
∴点B的坐标为.
∵AC∥轴，
∴点C的纵坐标为.
∵点C在直线上，
∴点C的坐标为.
∴抛物线的解析式为.
∵BD⊥AC，
∴点D的横坐标为.
∵点D在直线上，
∴点D的坐标为. …………………………………………… 5分
∵点D在抛物线：上，
∴.
解得或.
∵当时，点C与点D重合，
∴. …………………………………………… 6分
图2
方法二：设直线与轴交于点P，过点A作轴的平行线，过点B作轴的平行线，交于点N.（如图2）
则∠ANB=90°，∠ABN=∠OPB.
在△ABN中，BN=ABcos∠ABN，AN=ABsin∠ABN.
∵在抛物线随顶点A平移的过程中，
AB的长度不变，∠ABN的大小不变，
∴BN和AN的长度也不变，即点A与点B的横坐标
的差以及纵坐标的差都保持不变.
同理，点C与点D的横坐标的差以及纵坐标的差也保持不变.
由(1)知当点A的坐标为时，点B的坐标为，
∴当点A的坐标为时，点B的坐标为.
∵AC∥轴，
∴点C的纵坐标为.
∵点C在直线上，
∴点C的坐标为.
令，则点C的坐标为.
∴抛物线的解析式为.
∵点D在直线上，
∴设点D的坐标为.
∵点D在抛物线：上，
∴.
解得或.
∵点C与点D不重合，
∴点D的坐标为.
∴当点C的坐标为时，点D的坐标为.
∴当点C的坐标为时，点D的坐标为. …… 5分
∵BD⊥AC，
∴.
∴. …………………………………………… 6分
②的取值范围是或. ………………………………… 8分
说明：设直线与交于点M.随着点A从左向右运动，从点D与点M重合，到点B与点M重合的过程中，以A，B，C，D为顶点构成的图形不是凸四边形.
4解：（1）∵抛物线过点，
∴．
解得 ．
∴抛物线的解析式为． --------------2分
（2）①当时，．
∴或.
∴抛物线与轴交于点， .-----3分
当时，．
∴或．
∴抛物线与直线交于点, .
∴,关于直线的对称点，.----4分
∴根据图象可得≤≤0或≤≤．----------------5分
②的取值范围为≥4或≤．----------------7分
5．解:(1) ∵平分，
∴．
∵∥，
∴．
∴．---------------1分
∴．
∵，
∴．---------------2分
（2）①证明：过作于点．
∴．
∵，，
∴．
∴．
由（1）得．
∴点、、在以为圆心，为半径的圆上．
∴．
∴.----------3分
∵==，
∴．
∴．
∴△∽△．------------------4分
∵，，
∴=4．
∵∥，
∴．
图1
∴．----------------------5分
②． -------------------------7分
6．解：（1）△为等腰三角形．---------1分
证明：如图1，∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
图2
∴．
∴ △为等腰三角形．---------------2分
（2）与的函数关系式为．----4分
（3）过作于，于交直线于.
∵为抛物线上异于顶点的任意一点，且，
∴．-------------------------5分
设，,
图3
则，.
①当点在轴下方时，如图2,
∵,
∴.
∵∥，
∴△∽△．
∴．
图 4
∴．
∴．
∴.------------------------7分
②当点在轴上方时，如图3,，.同理可证.
③当点在轴上时，如图4,.
∴.
综上所述，.------------------8分
7．解：（1）.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴.……………………………………………………………………………1分
∵，
∴m的取值范围是.………………………………………………………2分
（2）证明：令得，.
∴.
∴，. …………………………………4分
∴抛物线与x轴的交点坐标为（），（）.
∴无论m取何值，抛物线总过定点（）.……5分
（3）∵是整数 ∴只需是整数.
∵是整数，且,
∴.…………………………………………………………………………6分
当时，抛物线为．
把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为
.…………………………………………………7分
8．解：（1）∵，
∴.
∵，
∴.
∵，∴.
∵，∴.…………………2分
（2）过点作，垂足为点.
∴.∵∥，∴，.
∵，∴.∴.
∴.
∵，，，
∴.…………………4分
（3）∵矩形ABCD，
∴.∴.
∵ ，∴.
∴.∴.
当以点E，F，H为顶点的三角形与相似时，
ⅰ）若，
∵，，∴
.∴.
∴，∴.∴.∴.
ⅱ)若，如图所示，记与交于点.
∵，∴.
∴.
∵，， ∴.
∵∥，∴.∴.
∴. ∴.
设，则，
∴. ∴.
∴，. ∴.
综上所述，线段的长为或1. ………………7分
9.解：（1）2，； ………………4分
（2）当时，；
当时，. ………………6分
（3）. ………………8分
10. （1）证明：∵△=.……………………………………………… 1分
=
=…………………………………………………………2分
∴△＞0. …………………………………………………………………3分
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根.
（2）把x=-3代入原方程，解得m=1. …………………………………………………4分
∴.
即.
依题意，可知新的抛物线的解析式为. ………………………5分
即
∵抛物线与直线只有一个公共点，
∴..…………………………………………………………………6分
即.
∵△=0.
∴.
解得b= -4. ……………………………………………………………………7分
11. 解：（1）根据题意得
…………………………………………………………1分
解得
所以抛物线的解析式为.………………………………2分
（2）如图1，过点Q的对应点作EF⊥CD于点E，交x轴于点F.
设P(x，y)，则CQ= x，PQ=4- y.
由题意可知= CQ= x，=PQ=4- y，∠CQP =∠C=90°.
∴=90°.
∴.……………………………………………………3分
又∵cosα=，
∴，.
∴.
∵，
整理可得.
∴，（舍去）.
∴.………………………………………………………………5分
如图2，过点Q的对应点作EF⊥CD于点E，交x轴于点F.
设P(x，y)，则CQ=- x，PQ=4- y.
可得.……………………………………………………6分
又∵cosα=，
∴，.
∴.
∵，
整理可得.
∴（舍去），.
∴.……………………………………………………………7分
∴或.
12. 解：（1）证明：如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.
∴∠GAB=∠HAE. ………………………………………………………………1分
∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，
∴∠ABG=∠AEH.
∵又AB=AE，
∴△ABG≌△AEH. ………………2分
∴BG=EH，AG=AH.
∵∠GAH=∠EAB=60°，
∴△AGH是等边三角形.
∴AG=HG.
∴EG =AG+BG. …………………………………………………………………3分
(2) …………………………………………………………5分
（3）……………………………………………………………6分
如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.
∴∠GAB=∠HAE.
∵∠EGB=∠EAB=90°，
∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH =180°.
∴∠ABG=∠AEH.
∵又AB=AE，
∴△ABG≌△AEH. ………………7分
∴BG=EH，AG=AH.
∵∠GAH=∠EAB=90°，
∴△AGH是等腰直角三角形.
∴AG=HG.
∴…………………………………………………………8分
13.（1）证明：△1=
＞0
∴不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点 -------------1分
（2）∵二次函数的图象与x轴的两个交点在点（1，0）的两侧，
且二次函数开口向上
∴当x=1时，函数值y＜0,
即＜0，解得k＜ -----------------------------2分
∵关于x的一元二次方程k2x2＋(2k＋3)x＋1=0有两个不相等的实数根
∴k≠0且△2=＞0
∴k＞且k≠0
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
