定积分概念及应用市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,mathsoft,第六章 定积分概念及应用,第一节 定积分概念,第二节 平面图形面积,第三节 体积,数学分析电子教案 西电科大,第1页,第1页,第四节 平面曲线弧长,第五节 功、水压力和引力,第六节 平均值,习题课,数学分析电子教案 西电科大,第2页,第2页,例1,求曲边梯形面积,一、问题提出（引例）,中学学习过：三角形，圆形，矩形，平行四,边形，梯形等规则图形面积计算。,那么不规则图形面积怎么来求呢?,下面将简介任,一图形面积,计算办法，,比如：,第一节 定积分概念,第3页,第3页,X,A,a,b,a,b,A,2,a,b,曲边梯形（三条直边，一条曲边）,0,y,面积 A=A,1,-A,2,故问题为求出两个曲边梯形面积,如何去求曲边梯形面积呢？下面将展开讨论：,1,第一节 定积分概念,第4页,第4页,设一曲边梯形由直线,x,=a,x,=b,y=0及曲线,解：,step1,：,分割 在a,b中任意插入n-1个分点,把a,b分成n个小区间,x,i-1,x,i,(,i=,1n),区间长度为,(,i,=1n),所围成，求面积A,其中f(,x,)在a,b上连续。,step2:,近似,step3:,求和,第一节 定积分概念,第5页,第5页,step4:,取极限,第一节 定积分概念,第6页,第6页,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越靠近曲边梯形面积,第一节 定积分概念,第7页,第7页,例2,（求变速直线运动路程）,思绪：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段路程再相加，便得到路程近似值，最后通过对时间无限细分过程求得路程准确值,第一节 定积分概念,第8页,第8页,（1）分割,部分路程值,某时刻速度,（2）求和,（3）取极限,路程准确值,第一节 定积分概念,第9页,第9页,上面两例能够看出,：,两个不同问题所求量，,采用了同样计算办法，最后都归结为含有相同,结构和式极限。,抛开这些问题详细意义，在,数学上就抽象出定积分概念。,第一节 定积分概念,第10页,第10页,二、定积分定义,定义,第一节 定积分概念,第11页,第11页,被积函数,被积表示式,积分变量,记为,积分上限,积分下限,积分和,积分符号,第一节 定积分概念,第12页,第12页,注意：,由定积分定义，例1，例2分别为：,1,。,极限存在指：任意分割，任一取点，和式,极限存在且相等。,2,。,定积分是个数，与积分变量符号无关，,即,3,。,要求：,4,。,错误！为何？,第一节 定积分概念,第13页,第13页,定理1,定理2,三、存在定理,且只有有限个间断点,（第一类间断点），,第一节 定积分概念,第14页,第14页,曲边梯形面积,曲边梯形面积负值,四、定积分几何意义,曲边梯形面积代数和,如图：,第一节 定积分概念,第15页,第15页,五、小结练习,定积分实质,：特殊和式极限,定积分思想和办法：,分割,化整为零,求和,积零为整,取极限,准确值定积分,求乘积,近似代替,第一节 定积分概念,第16页,第16页,练习,例1,解：,由几何意义,例2,计算：,计算：,解：,如图,第一节 定积分概念,第17页,第17页,例3,利用定义计算,解：,1,。,将0，1n等分，,2,。,3,。,求和,4,。,即,第一节 定积分概念,第18页,第18页,例4,解：,第一节 定积分概念,第19页,第19页,一.直角坐标系情况,所围图形面积，如图,:,解:,1,。,画图，求出交点；,2,。,选积分变量，,3,。,4,。,尤其:,曲边梯形面积,第二节 平面图形面积,第二节 平面图形面积,第20页,第20页,例1.,解:,画图，求得交点(-1,1)及(3,9),例2.,解:,画图，求得交点(2,-2)及(8,4),选,为积分变量，则,问:若选,x,为积分变量如何？,第二节 平面图形面积,第21页,第21页,二.参数方程情况,例3.,解:,由对称性,普通，,第二节 平面图形面积,第22页,第22页,例4.,解:,第二节 平面图形面积,第23页,第23页,三.极坐标情况,解:,1,。,2,。,3,。,第二节 平面图形面积,第24页,第24页,例5.,解:,另解:,第二节 平面图形面积,第25页,第25页,一.旋转体体积,定义:,由一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周,而成立体，叫旋转体。,第三节 体积,第三节 体积,第26页,第26页,以上旋转体体积在中学已经会计算，下面讨论,普通,旋转体体积,。,例1.,解:,1,。,2,。,3,。,下面将结论推广:,第三节 体积,第27页,第27页,如图:,类似，,若旋转体是曲边梯形绕y轴旋转而成,y=f(,x,),y=g(,x,),第三节 体积,第28页,第28页,例2.,解:,(1),绕,x,轴,(2),绕y轴,第三节 体积,第29页,第29页,例3.,解:,(1),绕,x,轴旋转,第三节 体积,第30页,第30页,(2),绕y轴旋转,第三节 体积,第31页,第31页,(2),绕y=2a旋转,所求体积即是中间喇叭状体积,第三节 体积,第32页,第32页,二.平行截面面积为已知立体体积,如图，,解:,1,。,2,。,3,。,第三节 体积,第33页,第33页,例4.,解:,建立坐标如图，,第三节 体积,第34页,第34页,定积分概念出现和发展都是由实际问题引起和,推动。因此定级分得应用页非常广泛。本章主要介,绍几何上，物理上实际问题应用，比如：计算平面,图形面积，曲线弧长，,旋转体体积，引力，做功等。,基本思想：,实际问题所求量Q,转化为,求Q=,(,积分模型,),转化办法：,元素法（或微元法），即从局部到整体,微元法,第35页,第35页,为了阐明小元素法，我们先往返顾一下曲边梯形,面积转化为定积分计算过程。,step1.,分割：任意划分a,b为n个小区间,step2.,近似：,第一节 定积分元素法(或微元法),微元法,第36页,第36页,step3.,求和：,step4.,取极限：,分析：,在上述问题注意到:所求量(即面积)A满足：,1,。,与区间a,b及a,b上连续函数,f,(,x,)相关;,2,。,对a,b含有可加性，,3,。,事实上，引出A积分表示式关键环节是第,二步，因此求解可简化下列：,微元法,第37页,第37页,step1:,选取积分变量及积分,区间（如,x,属于,a,b,）,step2:,取微区间,x,x,+,dx,求出,step3:,这种办法称为定积分,元素法,或,微元法,。,微元法,第38页,第38页,普通，假如某一实际问题中所求量Q符合条件,:,1,。,Q是与某一变量,x,改变区间a,b相关量；,2,。,Q对于a,b区间含有可加性；,3,。,局部量,那么，将Q用积分来表示环节下列,:,step1.,选取积分变量及积分区间,step2.,取微区间,x,x,+,dx,，求出,step3.,微元法,第39页,第39页,例1.,写出长为,l,非均匀细直棒质量积分表示式,任一点线密度是长度函数。,解:,建立坐标如图,o,x,l,x,x+dx,则任意一点密度为,step1.,step2.,step3.,下面用微元法讨论定积分在几何，物理中,一些应用。,微元法,第40页,第40页,一、曲线弧长概念,（1）分割:,（2）近似:,（3）求和:,总弧长,（4）取极限:,若极限,图1,第四节 弧长,第四节 弧长,第41页,第41页,二、直角坐标情况,解,:,（图一）,弧长微元,第四节 弧长,第42页,第42页,解:,第四节 弧长,第43页,第43页,解,：,第四节 弧长,第44页,第44页,三、参数方程情况,第四节 弧长,第45页,第45页,解,:,第四节 弧长,第46页,第46页,四、极坐标情况,第四节 弧长,第47页,第47页,解,:,第四节 弧长,第48页,第48页,一、变力沿直线所作功,功微元,例1,:,第五节 功、水压力和引力,第五节 功 水压力和引力,第49页,第49页,解,:,功微元,a处电位（场强）,称为电场在,第五节 功 水压力和引力,第50页,第50页,例2,:,解,:,建立坐标如图,动微元,第五节 功 水压力和引力,第51页,第51页,注:,若建立坐标如右图，,则计算较烦,第五节 功 水压力和引力,第52页,第52页,二、水压力（液体侧压力）,解:,压力微元,第五节 功 水压力和引力,第53页,第53页,例3,:,解,:,建立坐标如图,第五节 功 水压力和引力,第54页,第54页,例4,:,若在例3中水位为6m时，侧压力为多少？,解,:,建立坐标如图,第五节 功 水压力和引力,第55页,第55页,第五节 功 水压力和引力,第56页,第56页,三、引力,例5,:,第五节 功 水压力和引力,第57页,第57页,解,:,建立坐标如图,第五节 功 水压力和引力,第58页,第58页,一、函数平均值,例,:,解,:,第六节 平均值,第六节 平均值,第59页,第59页,二、均方根,定义:,函数平方平均值开方成为均方根。,如,:,比如,:,非恒定电流电器上标明电流值就是指电,流均方根。,第六节 平均值,第60页,第60页,例,:,解,:,第六节 平均值,第61页,第61页,小结:,1、几何应用:面积,旋转体,已知平面截 面立体体积,平面曲线弧长,2、物理应用:做功,侧压力,引力,3、平均值,均方根,定积分习题课,定积分习题课,第62页,第62页,例1:,解:,画图，求出交点,定积分习题课,第63页,第63页,例2:,解:,定积分习题课,第64页,第64页,例3:,解:,定积分习题课,第65页,第65页,定积分习题课,第66页,第66页,例4:,解:,办法一:,定积分习题课,第67页,第67页,办法二:,定积分习题课,第68页,第68页,例5:,解:,定积分习题课,第69页,第69页,例6:,解:,定积分习题课,第70页,第70页,例7:,解:,建立坐标如图,积分变量,定积分习题课,第71页,第71页,方向:指向圆弧中点,定积分习题课,第72页,第72页,例8:,洒水车上水箱是一横放椭圆柱体（如图），,当水箱装满水时，计算水箱一个端面所受,压力。,解:,取截面,建立坐标如图,定积分习题课,第73页,第73页,定积分习题课,第74页,第74页,例9:,半径为r球沉入水中,球上部与水相切,球,比重与水相同。现将球从水中取出,需做功?,解:,建立坐标如图,定积分习题课,第75页,第75页,例10:,解:,定积分习题课,第76页,第76页,定积分习题课,第77页,第77页,例11:,解:,定积分习题课,第78页,第78页,