模煳控制的数学基础1.pptx

12:48:57人工智能与模糊控制1/1502.1 清晰向模糊的转换一、一、一、一、模糊控制的提出模糊控制的提出模糊控制的提出模糊控制的提出 以往的各种传统控制方法均是建立在被控对象精以往的各种传统控制方法均是建立在被控对象精以往的各种传统控制方法均是建立在被控对象精以往的各种传统控制方法均是建立在被控对象精确数学模型基础上的，然而，随着系统复杂程度确数学模型基础上的，然而，随着系统复杂程度确数学模型基础上的，然而，随着系统复杂程度确数学模型基础上的，然而，随着系统复杂程度的提高，将难以建立系统的精确数学模型。的提高，将难以建立系统的精确数学模型。的提高，将难以建立系统的精确数学模型。的提高，将难以建立系统的精确数学模型。在在在在工程实践中，人们发现，一个复杂的控制系统可工程实践中，人们发现，一个复杂的控制系统可工程实践中，人们发现，一个复杂的控制系统可工程实践中，人们发现，一个复杂的控制系统可由一个操作人员凭着丰富的实践经验得到满意的由一个操作人员凭着丰富的实践经验得到满意的由一个操作人员凭着丰富的实践经验得到满意的由一个操作人员凭着丰富的实践经验得到满意的控制效果。这说明，如果通过模拟人脑的思维方控制效果。这说明，如果通过模拟人脑的思维方控制效果。这说明，如果通过模拟人脑的思维方控制效果。这说明，如果通过模拟人脑的思维方法设计控制器，可实现复杂系统的控制，由此产法设计控制器，可实现复杂系统的控制，由此产法设计控制器，可实现复杂系统的控制，由此产法设计控制器，可实现复杂系统的控制，由此产生了模糊控制。生了模糊控制。生了模糊控制。生了模糊控制。12:48:57人工智能与模糊控制2/1502.1 清晰向模糊的转换二、模糊控制的特点二、模糊控制的特点二、模糊控制的特点二、模糊控制的特点（1 1）模糊控制不需要被控对象的数学模型。模糊）模糊控制不需要被控对象的数学模型。模糊）模糊控制不需要被控对象的数学模型。模糊）模糊控制不需要被控对象的数学模型。模糊控制是以人对被控对象的控制经验为依据而设计控制是以人对被控对象的控制经验为依据而设计控制是以人对被控对象的控制经验为依据而设计控制是以人对被控对象的控制经验为依据而设计的控制器，故无需知道被控对象的数学模型。的控制器，故无需知道被控对象的数学模型。的控制器，故无需知道被控对象的数学模型。的控制器，故无需知道被控对象的数学模型。（2 2）模糊控制是一种反映人类智慧的智能控制方）模糊控制是一种反映人类智慧的智能控制方）模糊控制是一种反映人类智慧的智能控制方）模糊控制是一种反映人类智慧的智能控制方法。模糊控制采用人类思维中的模糊量，如法。模糊控制采用人类思维中的模糊量，如法。模糊控制采用人类思维中的模糊量，如法。模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高高高高”、“中中中中”、“低低低低”、“大大大大”、“小小小小”等，控制等，控制等，控制等，控制量由模糊推理导出。这些模糊量和模糊推理是人量由模糊推理导出。这些模糊量和模糊推理是人量由模糊推理导出。这些模糊量和模糊推理是人量由模糊推理导出。这些模糊量和模糊推理是人类智能活动的体现。类智能活动的体现。类智能活动的体现。类智能活动的体现。12:48:57人工智能与模糊控制3/1502.1 清晰向模糊的转换（3）模糊控制易于被人们接受。模糊控制）模糊控制易于被人们接受。模糊控制的核心是控制规则，模糊规则是用语言来的核心是控制规则，模糊规则是用语言来表示的，如表示的，如“今天气温高，则今天天气暖今天气温高，则今天天气暖和和”，易于被一般人所接受。，易于被一般人所接受。（4）构造容易。模糊控制规则易于软件实）构造容易。模糊控制规则易于软件实现。现。（5）鲁棒性和适应性好。通过专家经验设）鲁棒性和适应性好。通过专家经验设计的模糊规则可以对复杂的对象进行有效计的模糊规则可以对复杂的对象进行有效的控制。的控制。12:48:57人工智能与模糊控制4/1502.1 清晰向模糊的转换 为为了了对对事事物物进进行行识识别别，必必须须对对事事物物按按不不同同的的要要求求进进行行分分类类。许许多多事事物物可可以以依依据据一一定定的的标标准准进进行行分分类类。用用于于这这种种分分类类的的数数学学工具就是工具就是集合论集合论。解解决决精精确确性性的的集集合合问问题题可可以以用用经经典典集集合合论论。世世界界上上大大多多数数事事物物具具有有模模糊糊性性。为为了了描描述述具具有有模模糊糊性性的的事事物物，引引入入模模糊糊集集合合的的概念。概念。12:48:57人工智能与模糊控制5/1502.1 清晰向模糊的转换经典集合经典集合：具有某种特性的所有元素的总：具有某种特性的所有元素的总和。和。模糊集合模糊集合：在不同程度上具有某种特性的在不同程度上具有某种特性的所有元素的总和。所有元素的总和。12:48:57人工智能与模糊控制6/150 模糊集合论的诞生，解决了数值和模糊概念间的相互映射问题。以模糊集合论为基础的模糊数学，在经典数学和充满模糊性的现实世界之间，架起了一座桥梁，使得模糊性事物有了定量表述的方法，从而可以用数学方法揭示模糊性问题的本质和规律。2.1 清晰向模糊的转换12:48:57人工智能与模糊控制7/1502.1 清晰向模糊的转换三类数学模型三类数学模型第一类是确定性数学模型确定性数学模型确定性数学模型往往用于描述具有清晰的确定性、归属界线分明、相互间关系明确的事物。对这类事物可以用精确的数学函数予以描述，典型的代表学科就是“数学分析”、“微分方程”、“矩阵分析”等常用的重要数学分支。第二类是随机性数学模型随机性数学模型随机性数学模型常用于描述具有或然性或者随机性的事物，这类事物本身是确定的，但是它的发生与否却不是确定的。概率论、随机过程第三类是模糊性数学模型模糊性数学模型模糊性数学模型适用于描述含义不清晰、概念界线不分明的事物，它的外延不分明，在概念的归属上不明确。模糊数学、模糊逻辑、粗糙集、熵空间等12:48:57人工智能与模糊控制8/1502.1 清晰向模糊的转换模糊数学模糊数学(模糊集）是模糊控制的数学基础，它是由美国加模糊集）是模糊控制的数学基础，它是由美国加利福尼亚大学利福尼亚大学ZadehZadeh教授最先提出的。他将模糊性和集合论教授最先提出的。他将模糊性和集合论统一起来，在不放弃集合的数学严格性的同时，使其吸取人统一起来，在不放弃集合的数学严格性的同时，使其吸取人脑思维中对于模糊现象认识和推理的优点。脑思维中对于模糊现象认识和推理的优点。“模糊模糊”，是指客观事物彼此间的差异在中间过渡时，界，是指客观事物彼此间的差异在中间过渡时，界限不明显，呈现出的限不明显，呈现出的“亦此亦彼亦此亦彼”性。性。“模糊模糊”是相对于是相对于“精确精确”而言的。而言的。“精确精确”：“老师老师”、“学生学生”、“工人工人”“模糊模糊”：“高个子高个子”、“热天气热天气”、“年年轻人轻人”模糊数学并不是让数学变成模模糊糊的东西，而是用数学工模糊数学并不是让数学变成模模糊糊的东西，而是用数学工具对模糊现象进行描述和分析。模糊数学是对经典数学的扩具对模糊现象进行描述和分析。模糊数学是对经典数学的扩展，它在经典集合理论的基础上引入了展，它在经典集合理论的基础上引入了“隶属函数隶属函数”的概念，的概念，来描述事物对模糊概念的从属程度。来描述事物对模糊概念的从属程度。12:48:57人工智能与模糊控制9/1502.1.1 普通集合集合是数学中最基本的概念之一。集合是数学中最基本的概念之一。任何一个概念都有它的内涵和外沿。任何一个概念都有它的内涵和外沿。概念的内涵概念的内涵 指这一指这一概念的本质属性概念的本质属性；概念的外沿概念的外沿 指这一指这一概念的全体对象概念的全体对象，即一个集合即一个集合。讨讨论论某某一一概概念念的的外外沿沿时时总总离离不不开开一一定定的的范范围围。这这个个讨讨论论的的范范围围，称称为为“论论域域”，论论域域中中的的每每个个对象称为对象称为“元素元素”。12:48:57人工智能与模糊控制10/1501）集合的概念*集合 具有特定属性的对象的全体，称为集合。例如：“湖南大学的学生”可以作为一个集合。集合通常用大写字母A，B，Z来表示。*元素 组成集合的各个对象，称为元素，也称为个体。通常用小写字母a，b，z来表示。*论域 所研究的全部对象的总和，叫做论域，也叫全集合。*空集 不包含任何元素的集合，称为空集，记做。*子集 集合中的一部分元素组成的集合，称为集合的子集。若元素 a 是集合 A 的元素，则称元素 a 属于集合 A，记为aA；反之，称a不属于集合A，记做 。*属于*包含 若集合A是集合B的子集，则称集合A包含于集合B，记为 ；或者集合B包含集合A，记为 。对于两个集合A和B，如果 和 同时成立，则称A和B相等，记做A=B。此时A和B有相同的元素，互为子集。*相等*有限集 如果一个集合包含的元素为有限个，就叫做有限集；否则，叫做无限集。2.1.1 普通集合12:48:57人工智能与模糊控制11/1502）集合的表示法 将集合中的所有元素都列在大括号中表示出来，该方法只能用于有限集的表示。例如10-20之间的偶数组成集合A，则A可表示为 A=10，12，14，16，18，20*表征法 表征法将集合中所有元素的共同特征列在大括号中表征出来。上例中的集合A也可用表征法表示为A=a|a为偶数，10a 20*特征函数法：设A是论域X上的一个集合，定义论域X上的函数称 A（x）为集合A的特征函数。可简记为A（x）。*列举法2.1.1 普通集合12:48:58人工智能与模糊控制12/150*集合交设X，Y为两个集合，由既属于X又属于Y的元素组成的集合P称为X，Y的交集，记作P=XY*集合并设X，Y为两个集合，由属于X或者属于Y的元素组成的集合Q称为X，Y的并集，记作Q=XY *集合补在论域Y上有集合X，则X的补集为3）集合的运算 2.2 普通集合普通集合12:48:58人工智能与模糊控制13/150具体算法是：在X，Y中各取一个元素组成序偶（x，y），所有序偶组成的集合，就是X，Y的直积。*集合的直积 设X，Y为两集合，定义X，Y的直积为4）集合的特征函数设x为论域X中的元素，A为论域X中定义的一个集合，则x和A的关系可以用集合A的特征函数来表示。它的值域是0，1，它表示元素x是否属于集合A。如果x属于集合A，那么的值为1；如果x不属于集合A，那么的值为0。即2.2 普通集合普通集合*幂集：对于给定集合A，以它的全体子集为元素组成的集合，T（A）12:48:58人工智能与模糊控制14/150经典集合：清晰确定，彼此可以区分，边界周延明确，非此即彼。自然界：亦此亦彼，模糊性沙堆悖论：问题：计算机如何识别、刻画模糊现象1965年L.A.Zadeh Fuzzy Set特征函数取值0,1扩充到闭区间0,1，描述亦此亦彼现象。2.1.2 2.1.2 模糊集合模糊集合 12:48:58人工智能与模糊控制15/150(1)(1)模糊集合的定义：模糊集合的定义：2.1.2 2.1.2 模糊集合模糊集合 例例2.1.1 2.1.1 论域为论域为1515到到3535岁之间的人，模糊集岁之间的人，模糊集 表示表示“年轻人年轻人”，则模糊集，则模糊集的隶属函数可定义为的隶属函数可定义为则年龄为则年龄为3030岁的人属于岁的人属于“年轻人年轻人”的程度为：的程度为：给定论域给定论域E E中的一个模糊集中的一个模糊集 ，是指任意元素，是指任意元素xExE，都不同程度地属于这个集，都不同程度地属于这个集合，元素属于这个集合的程度可以用隶属函数合，元素属于这个集合的程度可以用隶属函数 00，11来表示。来表示。12:48:58人工智能与模糊控制16/150 经典集合和模糊集合在数轴上的映射，即它们的特征函数或隶属函数取值可以形象地画在图2-2中，左侧图中的A为模糊集合，右侧图中的A为经典集合。12:48:58人工智能与模糊控制17/15012:48:58人工智能与模糊控制18/150(2)模糊数1）F集合的支集、核和正规F集设 ,记集合SuppA=x,xU,A(x)0,称SuppA为F集合A的支集(Supporter);KerA=x,xU,A(x)=1,称KerA为F集合A的核(Kernel）正规F集：KerA 的F集合。F集合A的支集和核，都是经典集合2）数 与集合A的数积设 ，称 12:48:59人工智能与模糊控制19/15012:48:59人工智能与模糊控制20/1503）凸F集：凸F集的实际意义在于它是实数域上满足下述条件的F集合：任何中间元素的隶属度，都大于两边元素隶属度中的小者。如图2-5所示。为什么这样规定？12:48:59人工智能与模糊控制21/1504)F数12:48:59人工智能与模糊控制22/15012:48:59人工智能与模糊控制23/150(3)模糊集合的表示法：1）Zadeh表示法当论域上的元素为有限个时，定义在该论域上的模糊集可表示为：注意：式中的“”和“/”，仅仅是分隔符号，并不代表“加”和“除”。例2.3.2 假设论域为5个人的身高，分别为172cm、165cm、175cm、180cm、178cm，他们的身高对于“高个子”的模糊概念的隶属度分别为0.8、0.78、0.85、0.90、0.88。则模糊集“高个子”可以表示为 高个子 2.3 2.3 模糊集合模糊集合 12:48:59人工智能与模糊控制24/1502 2）序偶表示法）序偶表示法 当论域上的元素为有限个时，定义在该论域上的模糊集还可用序偶的当论域上的元素为有限个时，定义在该论域上的模糊集还可用序偶的形式表示为：形式表示为：或简化为：对于上例的模糊集“高个子”可以用序偶法表示为 高个子或 高个子2.3 2.3 模糊集合模糊集合 12:48:59人工智能与模糊控制25/1504 4）隶属函数描述法）隶属函数描述法 论域论域U U上的模糊子集可以完全由其隶属函数表示。上的模糊子集可以完全由其隶属函数表示。假设年龄的论域为U=15，35，则模糊集“年轻”可用隶属函数表征为：该隶属函数的形状如图 2.3 2.3 模糊集合模糊集合 12:49:00人工智能与模糊控制26/1503）向量法12:49:00人工智能与模糊控制27/15012:49:01人工智能与模糊控制28/15012:49:01人工智能与模糊控制29/1502.2隶属函数12:49:01人工智能与模糊控制30/1502.2.1确定隶属函数的基本方法凸F集，单峰，单调12:49:01人工智能与模糊控制31/1502.2.1确定隶属函数的基本方法12:49:01人工智能与模糊控制32/1502.2.1确定隶属函数的基本方法12:49:01人工智能与模糊控制33/1502.2.2 常用隶属函数在在Matlab中中已已经经开开发发出出了了11种种隶隶属属函函数数，即即双双S形形隶隶属属函函数数（dsigmf）、联联合合高高斯斯型型隶隶属属函函数数（gauss2mf）、高高斯斯型型隶隶属属函函数数（gaussmf）、广广 义义 钟钟 形形 隶隶 属属 函函 数数（gbellmf）、II型型隶隶属属函函数数(pimf)、双双S形形乘乘积积隶隶属属函函数数（psigmf）、S状状隶隶属属函函数数（smf）、S形形隶隶属属函函数数（sigmf）、梯梯形形隶隶属属函函数数（trapmf）、三三角角形形隶隶属属函函数数（trimf）、）、Z形隶属函数（形隶属函数（zmf）。）。12:49:01人工智能与模糊控制34/1502.2.2 常用隶属函数在模糊控制中应用较多在模糊控制中应用较多在模糊控制中应用较多在模糊控制中应用较多的隶属函数有以下的隶属函数有以下的隶属函数有以下的隶属函数有以下6 6种种种种隶属函数。隶属函数。隶属函数。隶属函数。（1 1）高斯型隶属函数）高斯型隶属函数）高斯型隶属函数）高斯型隶属函数 高斯型隶属函数由两高斯型隶属函数由两高斯型隶属函数由两高斯型隶属函数由两个参数个参数个参数个参数 和和和和c c确定：确定：确定：确定：其中参数其中参数其中参数其中参数b b通常为正，通常为正，通常为正，通常为正，参数参数参数参数c c用于确定曲线的用于确定曲线的用于确定曲线的用于确定曲线的中心。中心。中心。中心。MatlabMatlab表示为表示为表示为表示为12:49:01人工智能与模糊控制35/150图图 高斯型隶属函数（高斯型隶属函数（M=1）12:49:02人工智能与模糊控制36/150fisMat=newfis(tipper);fisMat=addvar(fisMat,input,service,0 10);fisMat=addmf(fisMat,input,1,poor,gaussmf,1.5 0);fisMat=addmf(fisMat,input,1,good,gaussmf,1.5 5);fisMat=addmf(fisMat,input,1,excellent,gaussmf,1.5 10);plotmf(fisMat,input,1);12:49:02人工智能与模糊控制37/150(2)(2)广义钟型隶属函数广义钟型隶属函数广义钟型隶属函数广义钟型隶属函数 广义钟型隶属函数由广义钟型隶属函数由广义钟型隶属函数由广义钟型隶属函数由三个参数三个参数三个参数三个参数a a，b b，c c确定：确定：确定：确定：其中参数其中参数其中参数其中参数b b通常为正，通常为正，通常为正，通常为正，参数参数参数参数c c用于确定曲线的用于确定曲线的用于确定曲线的用于确定曲线的中心。中心。中心。中心。MatlabMatlab表示为表示为表示为表示为12:49:02人工智能与模糊控制38/150图图 广义钟形隶属函数广义钟形隶属函数（M=2）12:49:02人工智能与模糊控制39/150(3)S(3)S形隶属函数形隶属函数形隶属函数形隶属函数 尽管尽管尽管尽管GaussGauss隶属函数和钟型隶属函数具有平滑性，但它们隶属函数和钟型隶属函数具有平滑性，但它们隶属函数和钟型隶属函数具有平滑性，但它们隶属函数和钟型隶属函数具有平滑性，但它们不能规定非对称的隶属函数，因此模糊逻辑工具箱中内置了不能规定非对称的隶属函数，因此模糊逻辑工具箱中内置了不能规定非对称的隶属函数，因此模糊逻辑工具箱中内置了不能规定非对称的隶属函数，因此模糊逻辑工具箱中内置了sigmoidalsigmoidal隶属函数，它是左开或右开的。非对称的隶属函隶属函数，它是左开或右开的。非对称的隶属函隶属函数，它是左开或右开的。非对称的隶属函隶属函数，它是左开或右开的。非对称的隶属函数可以由两个数可以由两个数可以由两个数可以由两个S S形函数结合构成。形函数结合构成。形函数结合构成。形函数结合构成。S S形函数形函数形函数形函数sigmf(x,a c)sigmf(x,a c)由由由由参数参数参数参数a a和和和和c c决定：决定：决定：决定：其中参数其中参数其中参数其中参数a a的正负符号决定了的正负符号决定了的正负符号决定了的正负符号决定了S S形隶属函数的开口朝左或朝右，形隶属函数的开口朝左或朝右，形隶属函数的开口朝左或朝右，形隶属函数的开口朝左或朝右，用来表示用来表示用来表示用来表示“正大正大正大正大”或或或或“负大负大负大负大”的概念。的概念。的概念。的概念。MatlabMatlab表示为表示为表示为表示为 sigmf(x,a c)sigmf(x,a c)12:49:02人工智能与模糊控制40/150图图 S形隶属函数（形隶属函数（M=3）12:49:03人工智能与模糊控制41/150（4 4）梯形隶属函数）梯形隶属函数）梯形隶属函数）梯形隶属函数 梯形曲线可由四个参数梯形曲线可由四个参数梯形曲线可由四个参数梯形曲线可由四个参数a a，b b，c c，d d确定：确定：确定：确定：其中参数其中参数其中参数其中参数a a和和和和d d确定梯形的确定梯形的确定梯形的确定梯形的“脚脚脚脚”，而参数，而参数，而参数，而参数b b和和和和c c确定梯确定梯确定梯确定梯形的形的形的形的“肩膀肩膀肩膀肩膀”。MatlabMatlab表示为：表示为：表示为：表示为：trapezoid 12:49:03人工智能与模糊控制42/150(5)(5)三角形隶属函数三角形隶属函数三角形隶属函数三角形隶属函数 三角形曲线的形状由三个参数三角形曲线的形状由三个参数三角形曲线的形状由三个参数三角形曲线的形状由三个参数a a，b b，c c确定：确定：确定：确定：其中参数其中参数其中参数其中参数a a和和和和c c确定三角形的确定三角形的确定三角形的确定三角形的“脚脚脚脚”，而参数，而参数，而参数，而参数b b确定三确定三确定三确定三角形的角形的角形的角形的“峰峰峰峰”。MatlabMatlab表示为表示为表示为表示为triangle 12:49:03人工智能与模糊控制43/150图图 三角形隶属函数（三角形隶属函数（M=5）12:49:03人工智能与模糊控制44/150（6 6）Z Z形隶属函数形隶属函数形隶属函数形隶属函数 这是基于样条函数的曲线，因其呈现这是基于样条函数的曲线，因其呈现这是基于样条函数的曲线，因其呈现这是基于样条函数的曲线，因其呈现Z Z形状而得形状而得形状而得形状而得名。参数名。参数名。参数名。参数a a和和和和b b确定了曲线的形状。确定了曲线的形状。确定了曲线的形状。确定了曲线的形状。MatlabMatlab表示为表示为表示为表示为 有关隶属函数的有关隶属函数的有关隶属函数的有关隶属函数的MATLABMATLAB设计，见著作：设计，见著作：设计，见著作：设计，见著作：楼顺天，胡昌华，张伟，基于楼顺天，胡昌华，张伟，基于MATLABMATLAB的系统分析的系统分析与设计与设计-模糊系统，西安：西安电子科技大学出版社，模糊系统，西安：西安电子科技大学出版社，2001200112:49:03人工智能与模糊控制45/150图图 Z形隶属函数形隶属函数（M=6）12:49:03人工智能与模糊控制46/15012:49:03人工智能与模糊控制47/15012:49:03人工智能与模糊控制48/15012:49:03人工智能与模糊控制49/150模糊集合与普通集合一样也有交、并、补的运算。假设和为论域U上的两个模糊集，它们的隶属函数分别为和n 模糊集交n 模糊集并n 模糊集补n 相等若，总有成立，则称和相等，记作。n 包含若，总有成立，则称包含，记作。2.32.3模糊集合的运算模糊集合的运算 12:49:04人工智能与模糊控制50/150例2.3.1：设论域U=a,b,c,d,e上有两个模糊集分别为：求 2.3 2.3 模糊集合模糊集合 12:49:05人工智能与模糊控制51/15012:49:05人工智能与模糊控制52/15012:49:05人工智能与模糊控制53/15012:49:05人工智能与模糊控制54/150n交换率，n结合率，n分配率n传递率，则，n幂等率n摩根率，n复原率2.3.2 2.3.2 模糊集合的运算规律模糊集合的运算规律n幂等率n同一率12:49:06人工智能与模糊控制55/15012:49:06人工智能与模糊控制56/1502.3.3 2.3.3 模糊集合运算的其它定义模糊集合运算的其它定义12:49:06人工智能与模糊控制57/15012:49:07人工智能与模糊控制58/1502.4 2.4 模糊关系及其运算模糊关系及其运算“关系”是集合论中的一个重要概念，它反映了不同集合的元素之间的关联。普通关系是用数学方法描述不同普通集合中的元素之间有无关联。例2.4.1 举行一次东西亚足球对抗赛，分两个小组A=中国，日本，韩国，B=伊朗，沙特，阿联酋。抽签决定的对阵形势为：中国-伊朗，日本-阿联酋，韩国-沙特。用R表示两组的对阵关系，则R可用序偶的形式表示为：R=（中国，伊朗），（日本，阿联酋），（韩国，沙特）2.4.1 2.4.1 经典关系经典关系12:49:07人工智能与模糊控制59/150可见关系可见关系R R是是A A，B B的直积的直积ABAB的子集。也可将的子集。也可将R R表示为矩阵形表示为矩阵形式，假设式，假设R R中的元素中的元素r(i,j)r(i,j)表示表示A A组第组第i i个球队与个球队与B B组第组第j j个球个球队的对应关系，如有对阵关系，则队的对应关系，如有对阵关系，则r(i,j)r(i,j)为为1 1，否则为，否则为0 0，则，则R R可表示为：可表示为：该矩阵称为A和B的关系矩阵。2.5 2.5 模糊关系模糊关系由普通关系的定义可以看出：在定义了某种关系之后，两个集合的元素对于这种关系要么有关联，r(i,j)1；要么没有关联，r(i,j)0。这种关系是很明确的。直积：设任意两个集合A B，从A、B中各取一个元素x，y，按先A后B的顺序搭配成元素对（x，y），称它们为序偶。所有以序偶（x，y）为元素组成的集合，称为集合A到B 的直积 1 集合的直积12:49:07人工智能与模糊控制60/1502.经典二元关系及其表示方式12:49:07人工智能与模糊控制61/15012:49:08人工智能与模糊控制62/15012:49:08人工智能与模糊控制63/15012:49:08人工智能与模糊控制64/150人和人之间关系的“亲密”与否？儿子和父亲之间长相的“相像”与否？家庭是否“和睦”？这些关系就无法简单的用“是”或“否”来描述，而只能描述为“在多大程度上是”或“在多大程度上否“。这些关系就是模糊关系。我们可以将普通关系的概念进行扩展，从而得出模糊关系的定义。2.4.2 2.4.2 模糊关系模糊关系12:49:08人工智能与模糊控制65/1501 1 模糊关系的定义模糊关系的定义 假设x是论域U中的元素，y是论域V中的元素，则U到V的一个模糊关系是指定义在上的一个模糊子集，其隶属度代表x和y对于该模糊关系的关联程度。例2.4.2 我们用模糊关系来描述子女与父母长相的“相像”的关系，假设儿子与父亲的相像程度为0.8，与母亲的相像程度为0.3；女儿与与父亲的相像程度为0.3，与母亲的相像程度为0.6。则可描述为：2.5 2.5 模糊关系模糊关系12:49:08人工智能与模糊控制66/150模糊关系常常用矩阵的形式来描述。假设xU，yV，则U到V的模糊关系可以用矩阵描述为则上例中的模糊关系又可以用矩阵描述为：2.5 2.5 模糊关系模糊关系12:49:09人工智能与模糊控制67/1502 模糊关系的表示方法模糊关系的表示方法 12:49:09人工智能与模糊控制68/15012:49:10人工智能与模糊控制69/15012:49:10人工智能与模糊控制70/15012:49:10人工智能与模糊控制71/15012:49:10人工智能与模糊控制72/150假设R和S是论域上UV的两个模糊关系，分别描述为：那么，模糊关系的运算规则可描述如下：模糊关系的相等：模糊关系的包含：模糊关系的并：2.4.3 2.4.3 模糊关系的运算模糊关系的运算1 F矩阵的运算12:49:11人工智能与模糊控制73/150模糊关系的交：模糊关系的补：2.5 2.5 模糊关系模糊关系12:49:11人工智能与模糊控制74/150例2.4.3 已知 求：解：根据模糊关系的运算规则得：2.5 2.5 模糊关系模糊关系12:49:11人工智能与模糊控制75/1502 F矩阵的运算的性质12:49:11人工智能与模糊控制76/15012:49:11人工智能与模糊控制77/15012:49:11人工智能与模糊控制78/1502.4.4 模糊关系的合成1 经典关系的合成关系的合成本质上是建立一个新的映射12:49:12人工智能与模糊控制79/15012:49:13人工智能与模糊控制80/15012:49:13人工智能与模糊控制81/1502 F关系合成定义12:49:14人工智能与模糊控制82/15012:49:14人工智能与模糊控制83/15012:49:14人工智能与模糊控制84/15012:49:15人工智能与模糊控制85/15012:49:15人工智能与模糊控制86/15012:49:15人工智能与模糊控制87/15012:49:15人工智能与模糊控制88/150 x1=-20:0.2:0;x2=0.01:0.2:100;plot(x1,x1-x1,x2,(1+100./x2.2)-1)holdplot(x1,x1-x1,x2,(1+100./(0.5*x2).2)-1);gridx1=-20:0.2:0;x2=0.001:0.2:100;plot(x1,x1-x1,x2,(1+100./x2.2).-1);hold;plot(x1,x1-x1,x2,(1+100./(0.5*x2).2).-1);grid12:49:15人工智能与模糊控制89/1502.5 2.5 模糊关系向清晰的转换模糊关系向清晰的转换自然语言自然语言量化量化模糊的模糊的执行机构执行机构清晰化清晰化12:49:15人工智能与模糊控制90/1502.5.1 模糊集合的截集模糊集合的截集1.模糊集合与经典集合间的转换考试成绩：正态分布，及格与不及格12:49:16人工智能与模糊控制91/15012:49:16人工智能与模糊控制92/1502.模糊集合的截集12:49:16人工智能与模糊控制93/15012:49:16人工智能与模糊控制94/15012:49:17人工智能与模糊控制95/15012:49:17人工智能与模糊控制96/1502.5.2 模糊关系矩阵的截矩阵12:49:17人工智能与模糊控制97/15012:49:18人工智能与模糊控制98/1502.5.3 模糊集合转化为数值的常用方法由v（包含于R）上的模糊集B（模糊推理机的输出）向清晰点y（属于V）的一种映射。三条准则：言之有据：点y可直观地代表B；例如，它可能位于B的支撑集的中心附近或在B中有很大的隶属度值计算简便连续性：B的微小变化不会造成y的大幅度波动代表性12:49:18人工智能与模糊控制99/1501.面积中心（重心）法（centroid）12:49:18人工智能与模糊控制100/1502.面积平分法（bisector）12:49:19人工智能与模糊控制101/1503.最大隶属度法（maximum）12:49:19人工智能与模糊控制102/15012:49:19人工智能与模糊控制103/15012:49:20人工智能与模糊控制104/15012:49:20人工智能与模糊控制105/15012:49:20人工智能与模糊控制106/15012:49:20人工智能与模糊控制107/15012:49:20人工智能与模糊控制108/15012:49:20人工智能与模糊控制109/15012:49:20人工智能与模糊控制110/15012:49:20人工智能与模糊控制111/150本章结束12:49:20人工智能与模糊控制112/150例例2.5.6 艺术学院招生，对考生所需考察的素质有：艺术学院招生，对考生所需考察的素质有：歌舞，表演，外在歌舞，表演，外在。对。对各种素质的评语分为四个等级各种素质的评语分为四个等级好，较好，一般，差好，较好，一般，差。某学生表演完毕后，评委对其评价为：某学生表演完毕后，评委对其评价为：好较好一般差歌舞30302020表演10205020外在40401010如果考察学生培养为电影演员的潜质，则对表演的要求较高，其它较低。如果考察学生培养为电影演员的潜质，则对表演的要求较高，其它较低。定义加权模糊集为：定义加权模糊集为：A0.25 0.5 0.25试根据模糊变换来得到评委对该学生培养为电影演员的最终结论。试根据模糊变换来得到评委对该学生培养为电影演员的最终结论。2.5 模糊关系12:49:20人工智能与模糊控制113/150 解：根据模糊变换可以得到评委对该学生培养为电影演员的决策集：解：根据模糊变换可以得到评委对该学生培养为电影演员的决策集：综合评判：选取隶属度最大的元素作为最终的评语，评委的评语为综合评判：选取隶属度最大的元素作为最终的评语，评委的评语为“一般一般”2.5 模糊关系12:49:21人工智能与模糊控制114/1502.6 语言规则中蕴涵的模糊关系“天气很冷，快要下雪了”气温-下雪概率(1)语言变量 语言变量是自然语言中的词或句，它的取值不是通常的数，而是用模糊语言表示的模糊集合。例如“年龄”就可以是一个模糊语言变量，其取值为“年幼”，“年轻”，“年老”等模糊集合。12:49:21人工智能与模糊控制115/1502.4 水平截集水平截集的定义水平截集的定义 在论域U中，给定一个模糊集合A，由对于A的隶属度大于某一水平值（阈值）的元素组成的集合，叫做该模糊集合的水平截集。用公式可以描述如下：其中其中xUxU，0,10,1。显然，。显然，A A是一个普通集合。是一个普通集合。例例2.4.1 2.4.1 已知已知，求求A0.1、A0.2、A0.7 12:49:21人工智能与模糊控制116/1502.4 水平截集水平截集的性质 1 1）ABAB的的水平截集是水平截集是A A和和B B的并集：的并集：2 2）ABAB的的水平截集是水平截集是A A和和B B的交集：的交集：3 3）如果）如果0,1,0,10,1,0,1且且 ，则，则12:49:21人工智能与模糊控制117/150定义一个语言变量需要定义以下4个方面的内容：定义变量名称 定义变量的论域 定义变量的语言值（每个语言值是定义在变量论域上的一个模糊集合）定义每个模糊集合的隶属函数。例2.6.1：试根据定义语言变量的4要素来定义语言变量“速度”。首先，定义变量名称为“速度”，记做x；其次，定义变量“速度”的论域为0，200km/h；再次，在论域0，200上定义变量的语言值为 慢，中，快；最后，在论域上分别定义各语言值的隶属函数为 2.6 语言规则中蕴涵的模糊关系12:49:21人工智能与模糊控制118/150定义的隶属函数形状如图(2)模糊蕴含关系 人类在生产实践和生活中的操作经验和控制规则往往可以用自然语言来描述。譬如，在汽车驾驶速度的控制过程中，控制规则可以描述为“如果速度快了，那么减小油门；如果速度慢了，那么加大油门。”下面就来介绍如何利用模糊数学从语言规则中提取其蕴涵的模糊关系。2.6 语言规则中蕴涵的模糊关系12:49:21人工智能与模糊控制119/1501）简单条件语句的蕴涵关系 2.6 语言规则中蕴涵的模糊关系“如果那么”或“如果那么，否则”n假设u，v 是已定义在论域U U和V的两个语言变量，人类的语言控制规则为“如果u是A，则v是B”，其蕴涵的模糊关系R为：式中，AB称作A和B的笛卡儿乘积，其隶属度运算法则为：所以，R的运算法则为：12:49:22人工智能与模糊控制120/15012:49:22人工智能与模糊控制121/15012:49:22人工智能与模糊控制122/15012:49:22人工智能与模糊控制123/15012:49:23人工智能与模糊控制124/15012:49:23人工智能与模糊控制125/1502.6 语言规则中蕴涵的模糊关系n假设u，v 是已定义的两个语言变量，人类的语言控制规则为“如果u是A，则v是B；否则，v是C”则该规则蕴涵的模糊关系R为：12:49:23人工智能与模糊控制126/1502.6 语言规则中蕴涵的模糊关系例2.6.2：定义两语言变量“误差u”和“控制量v”；两者的论域：U=V=1,2,3,4,5；定义在论域上的语言值为：小，大，很大，不很大=A，B，G，C；定义各语言值的隶属函数为：分别求出控制规则“如果u 是小，那么 v 是大”蕴涵的模糊关系R1和规则“如果u 是小，那么 v 是大；否则，v 是不很大”蕴涵的模糊关系R2。12:49:23人工智能与模糊控制127/1502.6 语言规则中蕴涵的模糊关系解：（1）求解R1（2）求解R2 12:49:24人工智能与模糊控制128/1502）多重条件语句的蕴涵关系由多个简单条件