高考数学一轮复习矩阵与变换课时训练选修4.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学选修 4-2矩阵与变换第 1 课时线性变换、二阶矩阵及其乘法1.已知矩阵A1221，B31满足AXB，求矩阵X.解：设Xab，由1221ab31得a2b3，2a b1，解得a1，b1，所以X11.2.已知变换矩阵A：平面上的点P(2，1)，Q(1，2)分别变换成点P1(3，4)，Q1(0，5)，求变换矩阵A.解：设所求的变换矩阵Aabcd，依题意，可得abcd2134及abcd1205，即2ab3，2cd 4，a 2b0，c 2d5，解得a 2，b1，c 1，d2，所以所求的变换矩阵A2112.3.已知M 2 14 3，N 413 1，求二阶矩阵X，使MXN.解：设Xxyzw，由题意有2143xyzw4131，根据矩阵乘法法则有2xz4，2yw 1，4x3z 3，4y3w1，解得x92，y 1，z5，w 1.X92151.4.曲线 x24xy2y21 在二阶矩阵M1ab1的作用下变换为曲线x22y21，求实数 a，b的值解：设 P(x，y)为曲线 x22y21 上任意一点，P(x，y)为曲线 x24xy2y21 上与 P对应的点，则1ab1xyxy，即x x ay，ybxy，代入 x22y21 得(x ay)22(bxy)21，整理得(12b2)x 2(2a 4b)xy(a22)y 21，又 x24xy2y21，所以12b21，2a4b4，a222，解得a 2，b 0.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学5.(2017扬州中学期初)已知点M(3,1)绕原点按逆时针旋转90后，在矩阵Aa02b对应的变换作用下，得到点N(3，5)，求 a，b 的值解：由题意，01103113，又a02b1335，所以a3，23b5，解得a3，b1.6.已知曲线C:y22x 在矩阵M1002对应的变换作用下得到曲线C1，C1在矩阵N011 0对应的变换作用下得到曲线C2，求曲线C2的方程解：设ANM，则A011 01002021 0，设 P(x，y)是曲线 C上任一点，在两次变换作用下，在曲线C2上的对应点为P(x,y)，则xy021 0 xy2yx，即x 2y，yx，x y，y12x.又点 P(x，y)在曲线 C:y22x 上，12x22y，即曲线C2的方程为y18x2.7.设曲线2x22xyy21 在矩阵Aa0b1(a 0)对应的变换作用下得到的曲线为 x2y21.求实数 a，b 的值解：设曲线 2x22xy y2 1 上任一点P(x，y)在矩阵A对应变换作用下得到点P(x，y)，则a0b1xyaxbxyxy，所以ax x，bxyy.因为 x2y2 1，所以(ax)2(bx y)21，即(a2b2)x22bxyy21，所以a2b22，2b2.解得a1，b1.8.求圆 C：x2y21 在矩阵A5002对应的变换作用下所得的曲线的方程解：设圆 C上任一点(x1，y1)在矩阵A对应的变换作用下得到点(x，y)，则5002x1y1xy，则 x1x5，y1y2，代入 x2y21 得所求曲线的方程为x225y241.9.已知矩阵A1002，B11201.若矩阵AB对应的变换把直线l：xy20变为直线l，求直线l 的方程小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解：A1002，B11201，AB10021120111202.在直线 l 上任取一点P(x，y)，设它是由l 上的点 P0(x0，y0)经矩阵AB所对应的变换作用所得，点 P0(x0，y0)在直线 l：xy20 上，x0 y020.又ABx0y0 xy，即11202x0y0 xy，x012y0 x，2y0 y，x0 x14y，y012y.将代入得x14y12y20，即 4xy80，直线 l 的方程为4xy 80.10.在平面直角坐标系xOy 中，设点P(x，3)在矩阵M1234对应的变换作用下得到点 Q(y4，y2)，求M2xy.解：依题意，1234x3y4y2，即x6y4，3x 12y 2，解得x0，y10，M2123412347101522，所以M2xy7101522010100220.11.已知曲线C1：x2y21，对它先作矩阵A1002对应的变换，再作矩阵B0m10对应的变换，得到曲线C2：x24y21，求实数m的值解：BA0m10100202m10，设 P(x0，y0)是曲线C1上的任一点，它在矩阵BA变换作用下变成点P(x，y)，则xy02m10 x0y02my0 x0，则x 2my0，y x0，即x0y，y012mx.又点 P 在曲线C1上，则 y2x24m21，所以 m21，所以 m 1.第 2 课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量1.已知变换T：xyxyx 2yy，试写出变换T 对应的矩阵A，并求出其逆矩阵A小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学1.解：由 T：xyxy1201xy，得A1201.设A1abcd，则AA11201abcda2cb2dcd1001，所以a2c1，b2d0，c0，d1，解得a1，b 2，c0，d1.所以A1120 1.2.(2017苏北四市期末)已知矩阵A1a1b的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为 21.求实数 a，b 的值解：由条件知，A 2，即1a1b21221，即 2 a2 b42，所以2a4，2b2，解得a2，b4.3.(2017扬州期末)已知 a，bR，若点 M(1，2)在矩阵Aa1b4对应的变换作用下得到点N(2，7)，求矩阵A的特征值解：由题意得a1b41227，即a22，b8 7，解得a4，b1，所以A4114，所以矩阵A的特征多项式为f()41142815.令 f()0，解得 5 或 3，即矩阵A的特征值为5 和 3.4.已知二阶矩阵Aabcd，矩阵A属于特征值1 1 的一个特征向量为1 11，属于特征值24 的一个特征向量为232，求矩阵A.解：由特征值、特征向量定义可知，A111，即abcd 111 11，得ab 1，cd1.同理可得3a2b12，3c2d8.解得a 2，b 3，c2，d1.因此矩阵A2321.5.已知矩阵A302a，A的逆矩阵A1130b1，求A的特征值小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解：AA11001,302a130b11001，则23ab0，a1，解得a1，b23，A3021，A的特征多项式f()3021(3)(1)令 f()0，解得 3 或 1.A的特征值为3 和 1.6.已知矩阵Aa2b1.若矩阵A属于特征值3 的一个特征向量为11，求该矩阵的另一个特征值解：因为a2b111311，则a23，b13，解得a1，b2，所以A1221.由 f()1221(1)24 0，所以(1)(3)0，解得 1 1，23.所以另一个特征值是1.7.已知 a，bR，矩阵Aab14，若矩阵A属于特征值1 的一个特征向量为131，属于特征值5 的一个特征向量为211.求矩阵A，并写出A的逆矩阵解：由矩阵A属于特征值1 的一个特征向量为131，得ab143131，3a b3.由矩阵A属于特征值5 的一个特征向量为211，得ab1411511，a b5.联立，解得a2，b3，即A2314.A的逆矩阵A145351525.8.设23是矩阵Ma232的一个特征向量(1)求实数 a 的值；(2)求矩阵M的特征值小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解：(1)设23是矩阵M属于特征值 的一个特征向量，则a2322323，故2a62，123，解得4，a1.a 1.(2)令 f()123 2(1)(2)60，解得14，2 1.9.已知矩阵A 2113将直线 l：x y10 变换成直线l.(1)求直线 l 的方程；(2)判断矩阵A是否可逆 若可逆，求出矩阵A的逆矩阵A1；若不可逆，请说明理由解：(1)在直线 l 上任取一点P(x0，y0)，设它在矩阵A 2113对应的变换作用下变为 Q(x，y)21 13x0y0 xy，x 2x0y0，y x03y0，即x03xy7，y0 x2y7.点 P(x0，y0)在直线 l：x y10 上，3x y7x2y710，即直线 l 的方程为4xy70.(2)det(A)21 1370，矩阵A可逆设A1acbd，AA11001，2ab 1，2cd 0，a3b0，c3d1，解得a37，b17，c17，d27，A137171727.10.在平面直角坐标系xOy 中，设点P(x，5)在矩阵M1234对应的变换作用下得到点 Q(y2，y)，求M1xy.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解：依题意，1234x5y2y，即x10y2，3x20y，解得x 4，y8，由逆矩阵公式知，矩阵M1234的逆矩阵M12 13212，所以M1xy 2 13212 4 8 16 10.11.(2017南通、泰州期末)已知向量11是矩阵A属于特征值1的一个特征向量 在平面直角坐标系xOy中，点 P(1，1)在矩阵A对应的变换作用下变为P(3，3)，求矩阵A.解：设Aa bc d，因为向量11是矩阵A的属于特征值1 的一个特征向量，所以a bc d11(1)1 111.所以ab 1，cd1.因为点 P(1，1)在矩阵A对应的变换作用下变为P(3，3)，所以a bc d1133，所以ab3，cd3，解得a 1，b 2，c 2，d 1，所以A1 22 1.