“解析几何中的定点问题”的教学研究.pdf

数学教学通讯投稿邮箱：问题探索“解析几何中的定点问题”的教学研究周茜江苏省海门中学2 2 6 10 0摘要长期以来，关于高三复习的教学研究非常多，其中“解析几何中的定点问题备受关注，它蕴含了动静结合的辩证关系，体现了数学学科独有的魅力，文章从“精选例题，以低起点启发思维”“巩固训练，合作交流提炼思想”“变式拓展，深化理解促进提升”“课堂小结，适时反思形成能力”四方面展开阐述.【关键词解题教学；数学思维；定点问题“解析几何中的定点问题”在历年数学高考卷中都有它的身影，这是一类开放性问题,着重考查学生的“四基”“四能”以及探索能力，解决这一类问题的常规思维是先求出方程，而后通过消参法获得定点.但消参过程涉及的运算量较大,对于高考这种争分夺秒的时刻，想要顺利完成实属不易为此，笔者针对“解析几何中的定点问题”的教学进行了研究，现以“动直线(曲线)过定点问题”的教学为例展开阐述，与同行交流.精选例题，以低起点启发思维学生的思维发展需经历一个由浅人深的过程,因此教师在例题教学时，应照顾大部分学生的认知水平，从“低起点 开始，让每一个学生都能积极参与到思考与交流中来.若在课堂起始阶段就提出难度较高的问题，则会令不少认知水平一般的学生望而却步，严重挫伤他们的学习信心，影响后续教学.本节课的教学背景为高三二轮专题复习,具有时间紧、任务重的情况，因此教师在教学设计上，应多下功夫，实现课堂教学效益最大化.结合本节课教学内容的特点，从激发学生的参与热情出发，笔者选择了一道题干简洁、难度一般、结构清晰且具有典型代表意义的填空题作为教学起点.问题1已知动直线(a+2)x+(3-4)y+2a-1=0,且aER,则该动直线恒过定点学生独立思考并解题，笔者巡视，并挑选出两种具有代表意义的解题方法进行展示.解法1特殊化思想.取a的两个特殊值，可获得两条直线，找出这两条特殊直线的交点，即可解决问题.如a=0,可得直线l：2x-4y-1=0;如a=1,可得直线l2:3x-y+1=1分知识的应用能力.0.联立两条直线的方程，可得x=2，1，由此可确定该动直线恒过定211点22解法2 恒成立思想.把直线方程整理成关于字母a的等式,可得式子a(+3y+2)+2x-4y-1=0,则原问题改成 a(x+3y+2)+2x-4y-1=0对一切实数a恒成立，求x,y的值”(2x-4y-1=0,12由此可确定该动直线恒过定12点1.1)22从学生的解题思路来看，大部分都比较清晰，基本上都是从“特殊化思想”与“恒成立思想”两个角度进行分析的为了巩固学生对这部分知识深度与宽度的理解，可在本题基础上设计新的问题,以提高学生对这部二轮复习的重点在于强化学生对主干知识的认识,因此教师常将复习内容划分为若干个版块，再结合考纲要求与高频考点来细化成小专题，这种教学设计针对性强,能有效突破作者简介：周茜（19 8 7 一），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.2023年8 月（下旬）2023年8 月（下旬）二1或-2,解得(y=-5(y=-2,a,x2+a,x=0对一切xe R恒成立,得到a,=a,=a,=0,从而解决问题.问题1和问题2 的主要作用在于帮助学生巩固此类问题的两种数学思想方法，因此引导学生进行提炼总结时，主要从数学思想方法出发，并应用现代化的教学手段（投影），缩短学生表述与板演的时间，提高课堂教学效率。变式拓展，深化理解促进提升众所周知，变式是通过变换同类事物的非本质特征，让学生从另一个角度来观察该事物，从而突出事物本质特征的一种教学方法学生通过变式，常能拓宽思维的广度,挖掘思维的深度，掌握事物的本质.本节课的变式拓展，意在让学生从本源上掌握“动曲线过定点问题 的解决方法，在原有认知的基础上实现思维的升华。变式的特点在于它有一个“根”，变式的设计都需要紧紧围绕这个“根 进行，而后通过由浅人深、由易到难的顺序以问题串的形式呈现出来.呈现的问题与“根”相比,虽说有所拓展与延伸,但所涉及的知识本质并不会发生变化.本节课的变式设计,需要紧紧围绕问题1进行,在顺应学生思维的基础上，设计拾级而上的问题串来深化学生对知识的理解，实现自我突破.变式题1已知圆C:(+1)+(y+1)2-1=0,C2:(x-2)2+(y-1)2-1=0,若点P是一个平面上的某个定点,且满足：存在过点P的无数对互相垂直的直线l与l2,这些直线分别与圆Ct,C,相交，同时直线1,被圆C,所截的弦长等于直线l,被圆C,所截的弦长.求满足以上条件的点P的坐标.学生审题、画图（见图1)、分析，大约过了5 分钟，有了如下解题思路.P图1生1：一般涉及由圆截直线获弦长的问题,可结合垂径定理L=2VR2-d（弦长为L,圆的半径为R,圆心到直线的距离为d)进行分析本题两圆的半径R是相等的关系，若要让所截的弦长L相等，仅需d相等即可.如此,可将原问题转化为求d的问题。师：设点P(a,b),k为直线l,的斜率,-一为直线,的斜率,d,为圆C,与直线l,的距离，d,为圆C,与直线l,的距离，请大家尝试用点到直线的距离公式来求d,和d2生2:设直线l,的方程为y-b=k(x-a),即kx-y+b-ak=0,则C(-1,-1)与l,的距离d,=I-k+b+1-ak:VK2+1为y-b=-二(x-a),即x+ky-bk-a=0,则2+k-bk-alC,(2,1)与l,的距离d2=Vk2+1所以 11-h+b-ak l_ 1212+k-a-bk lV2+1VF2+1师：题中有这样一句话，“存在过点P的无数对互相垂直的直线l，与l”,我们该如何理解此类“存在性 问题？一般如何转化此类问题？生3：这句话可以理解成关于k的;设1,的方程数学教学通讯投稿邮箱： 1-k+b-ak l _ 方程Vk2+1无数个根.学生自主解题，笔者巡视.巡视中发现部分学生在去绝对值方法的应用上存在一定障碍，如有的学生通过两边平方去绝对值，出现了大量烦琐的计算为此,笔者特别选择了一种具有代表性的解法投影出来.1-k+b-ak l投影3 可将方程Vk2+12+k-a-bk-转化成方程|1-k+b-ak|=Vk2+112+k-a-bkl.若1-k+b-ak=2+k-a-bk,经整理,可得k(a-b+2)-a-b+1=0.因为关于h的方程存在无数个根，所以(a-b+2=0,解得 a=-1,6=3-a-b+1=0,2若1-k+b-ak=-2-k+a+bk,经整理,可得k(a+b)+a-b-3=0.因为关于ka+b=0,的方程存在无数个根,所以la-b-3=0,33解得a=-,b=-22由此可以确定，定点P的坐标是3_3与1.32222师：这种解法充分利用了“方程存在无数个根 这个条件（关于x的方程ax+b=0有无数个根与=b=0等价），从本质上来讲,是恒成立法如果在平面直角坐标系中画出这两定点，那么这两定点和两圆圆心存在什么联系呢？有兴趣的同学，可以在课后尝试用平面几何思想去分析.之所以有很多人认为解析几何难，很大一部分是针对运算而言为此，笔者为学生呈现了投影3 供其参考,不仅如此,还留了一个“悬案 让学生课后探索.这种方式能有效启发学生思维，增强学生的探索欲变式题2 如图2 所示，过椭圆兰+兰=1的左侧顶点A作两根互相43垂直的直线，并与椭圆分别相交于点M,N.求证：直线MN恒过某一定点，并写出其坐标问题探索2+k-a-bk l存在VK2+1解题思路：直线MN为一条动直线，其“动 的原因在于直线AM的斜率,若k为直线AM的斜率,则-一就是直线AN的斜率.联立椭圆与直线AM的方程，可得点M的坐标，同理可得点N的坐标，而后易得动直线MN的方程为含变量的方程，结合之前的处理方法，不难获得它恒过定点.笔者邀请一位学生板演，其余学生自主解题，要求书写规范、条理清2晰.笔者巡视，必要时加以点拨，生4（板演）：设k为直线AM的斜率,则直线AM的方程为y=k(+2),联y=k(x+2),立化与间的方程,-1,消143去y可得(4 h2+3)x2+16k3x+16k2-12=0.根据根与系数的关系，可得xAm=16k:2-12因为x,=-2,所以x=4h:2+3将其代人直线AM的方程中，可得ym=12k6-8k:212k,因此点M4h:2+34k:24+3 4h:2+3把点M坐标中的替换为-11，可6k:2-8-12k得点N,因此kMN=3k:2+431:2+412k12k4h:2+331:2+46-8k:26k:2-84k:2+33k:2+4方程为y12k4k:2+34(1-k:2)7k经整理,可得y=4(1-k:2)此直线MN过定点师：这种解法的运算量比较大，我看到有些同学求点N的坐标时，并没有应用联立方程的方法，而是通过类比思想简化了运算现在请大家M分析一下，生4 的解题过程是否存在什么问题？0生5：他所表述的解题过程,并没有考虑到直线MN的斜率“不存在的N情况.当k=1时,M,N两点的位置恰图2巧关于x轴对称,直线MN的斜率“不基于上述探索，学生很快就有了212存在,点M一72直线MN为x=-,也过定点77笔者提出“生4 的解题过程是否存在什么问题”,犹如点晴之笔，体现教学“不愤不启，不排不发”的原则.这个问题的提出，学生很快就发现了生4 解题的漏洞，从此更加注重了这种情况。课堂小结，适时反思形成能力课堂小结对于一节课来说有着梳理、巩固与总结的功效不论教师所择取的例题多么典型，解题方法分析多么透彻，拓展多么到位，若少了课堂小结，教学效果必然大打折扣.总结与反思不仅是学生获取思想方法的升华，更是建构学生完整认知结6-81:2构的基础。4h:2+3纵观本节课的教学，笔者以一道题干简洁、难度一般、结构清晰且具有典型代表意义的填空题为起点，成功激发了学生的探究欲，而后随着课堂探究的逐渐深入与变式拓展的应用，学生进人了积极思考的状态。学生在低起点、小步子的过程中，思维经历了循序渐进的过程,因此不会有突元感这种顺应学生认知发展规7k故MN的4(1-k:2)7kx+7212律的教学方法，不仅能深化学生对专题知识的认识,还能激发学生的学习6-8k2情感，增强学生的学习信心，4h:243总之，高三二轮复习的重点在于深化学生对各个模块知识的认识,强2，因化知识间的联系，绝不可应用“题海战术”增加学生的学业负担精选例题，并通过适当的课堂训练与变式拓展从真正意义上实现知识点的融会贯通，可以达到提升学生解题能力的目的.2023年8 月（下旬）63