0计算方法及MATLAB实现简明讲义课件PPS2-1插值.pps

1,第2章 插 值 法,第1节 引言第2节 拉格朗日插值第3节 均差与牛顿插值多项式第4节 埃尔米特插值第5节 分段低次插值第6节 三次样条插值,2,2.1 引 言,（1.1）,设函数 在区间 上有定义，且已知在点 上的值 ，若存在一简单函数 ，使,成立，就称 为 的插值函数，点 称为插值节点，包含节点的区间 称为插值区间，求插值函数 的方法称为插值法.,2.1.1 插值问题的提出,(简单函数与复杂函数在给定节点等值!),(以简近繁，点点相等!),3,从几何上看，插值法就是确定曲线 ，使其通过给定的 个点 ，并用它近似已知曲线 .,图2-1,(给定插值节点，函数值点点精确相等!),4,（1.2）,若 是次数不超过 的代数多项式，,其中 为实数，就称 为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值.,本章只讨论多项式插值与*分段插值.,若 为分段的多项式，就称为分段插值.,若 为三角多项式 ，就称为三角插值.,即,5,由此可以得到关于系数 的 元线性方程组,上的函数值 ,求次数不超过 的多项式 ，使,2.1.2 多项式插值,（1.3）,设在区间 上给定 个点,(基本插值条件!),(n+1个方程!),6,（1.4）,此方程组的系数矩阵为,称为范德蒙德（Vandermonde）矩阵,因,（1.5）,未知元为,互异，故方程组的系数行列式,7,因此线性方程组（1.4）的解 存在且唯一.,定理1 满足条件（1.3）的插值多项式 是存在唯一的.,(Cramer法则!),(请参阅线性代数!),问题是求解高阶方程组本身就很复杂，怎样才能,更快地构造出插值多项式来呢？,8,2.2.1 线性插值与抛物插值,对给定的插值点，可以用多种不同的方法求得形如(1.2)的插值多项式.,先讨论 的简单情形.,问题：,给定区间 及端点函数值 ，,要求线性插值多项式 ，,2.2 拉格朗日插值,使它满足,(构造线性函数与复杂函数在给定2个节点等值!),9,其几何意义就是通过两点 的直线.,图2-2,如图2-2.,10,11,(拆项!),(通分合并同类项!),12,标准正交条件：基函数在同名下标点取值为1，其他异名下标点取值为0!,(关于2函数值的线性组合!),13,14,15,(关于3函数值的线性组合!),(构造二次函数与复杂函数在给定3个节点等值!),16,标准正交条件:基函数在同名点取值为1，异名点取值为0!,异名下标点为基函数的零点或根!,二次函数顶多只有两个零点或根!,17,(二次函数图像为抛物线!),分子为动点减去异名点，分母为同名点减去异名点!,18,抛物插值基函数,19,20,(先算2函数值!),21,（2）抛物插值,22,练习,23,解:,24,2.2.2 拉格朗日插值多项式,将前面的方法推广到一般情形，讨论如何构造通过 个节点 的 次插值多项式 .,（2.6）,根据插值的定义 应满足,先定义 次插值基函数.,为构造 ，,25,定义1 若 次多项式 在 个节点 上满足条件,（2.7）,标准正交条件:基函数在同名点取值为1，异名点取值为0!,26,显然它满足标准正交条件（2.7）.,于是，满足条件（2.6）的插值多项式 可表示为,（2.9）,（2.8）,与前面的推导类似， 次插值基函数为,分子为动点减去异名点，分母为同名点减去异名点!,(关于n+1函数值的线性组合!),27,由 的定义，知,形如（2.9）的插值多项式 称为拉格朗日插值多项式，,容易求得,（2.10）,若引入记号,(线性与抛物线插值是其特例!),(正交条件推出来。一串变一个!),28,（2.10）,根据函数乘积的求导法则，一式求导，其余不动，相乘再相加,于是公式可改写成,(多一项，除掉!),29,定理2 设 在 上连续， 在 内存在，节点 是满足条件(2.6)的插值多项式，则对任何 ，插值余项,2.2.3 插值余项与误差估计,这里 且依赖于 ， 是（2.10）所定义的.,（2.14）,(闭连续，开可导!),30,当 时，线性插值余项为,（2.15）,当 时，抛物插值余项为,（2.16）,31,例2 设 ，试证,其中,证明 通过两点 及 的线性插值为,于是,32,2.3 均差与牛顿插值公式,2.3.1 插值多项式的逐次生成,利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数 均要随之变化，整个公式也将发生变化，甚为不便.为了计算方便可重新设计一种逐次生成插值多项式的方法.,(牵一发，动全身!),33,称 为函数 关于点 的一阶均差.,定义2,2.3.2 均差(差商)及其性质,称为 的二阶均差.,（均差也称为差商）.,一阶差商的差商,34,（3.3）,一般地，称,为 的 阶均差.,35,均差有如下的基本性质：,（3.4）,这个性质可用归纳法证明.,（1） 阶均差可表为函数值 的线性组合，,这性质也表明均差与节点的排列次序无关，称为均差的对称性.,即,36,（3） 若 在 上存在 阶导数，且节点,（3.5）,这公式可直接用罗尔定理证明.,（2） 由性质（1）及（3.3）可得,即任意交换节点次序，其值不变：,则 阶均差与导数关系如下：,(导数差商联络公式!),37,代入得,38,差商与导数联系公式,（3.7）为牛顿插值余项，由插值多项式唯一性知，它与拉格朗日插值多项式的余项应该是等价的.,（3.7）,（2.14）,比较两余项得,由此得n阶差商与导数联系公式,(降为n阶!),(去掉x!),39,均差计算可列均差表如下（表2-1）.,40,(先算各点函数值!),(再算各阶差商!),41,42,(差商表中主对角线上就是牛顿插值多项式的系数!),43,练习,44,