《10.2-一元二次不等式-第2课时》导学案2.doc

　《10.2 分式不等式及第2课时》导学案
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学习目标
重点难点
1．会解简单的分式不等式；
2．能够求解一些简单的含参数的不等式；
3．能够利用一元二次不等式解决实际问题.
重点：分式不等式和含参数不等式的求解；
难点：含参数不等式的解法；
疑点：含参数不等式的分类讨论.
预习导引
1．分式不等式的求解
预习交流1
怎样求解分式不等式＞0，≥0，＜0，≤0？
预习交流2
形如＞a(a≠0)的不等式能否转化为f(x)＞a·g(x)进行求解？正确的转化方法是什么？
2．含参数不等式的求解
预习交流3
求解含参数不等式的基本思路是分类讨论，那么求解含参数的一元二次不等式时，经常需要对哪些方面进行分类讨论？

在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点

答案：
预习交流1：提示：形如＞0的分式不等式可等价转化为f(x)g(x)＞0求解；
形如≥0的分式不等式应等价转化为求解；
形如＜0的分式不等式可等价转化为f(x)g(x)＜0求解；
形如≤0的分式不等式应等价转化为求解．
预习交流2：提示：不能．正确的方法是移项、通分、化乘积，即＞a⇒－a＞0⇒＞0⇒[f(x)－a·g(x)]·g(x)＞0.
预习交流3：提示：经常从以下几个方面进行分类讨论：
(1)不等式中二次项系数a的正、负需讨论；
(2)对应方程的根的情况即判别式的值需进行讨论；
(3)在方程有根的情况下，两根的大小关系需讨论．

问题导学
一、简单分式不等式的求解
活动与探究
解不等式：①＞0；②≤0；③＜2；④＜1.
思路分析：对于①，可直接转化为整式不等式进行求解；对于②，可转化为整式不等式进行求解，但应注意分母不为零；对于③，可先移项后通分，再转化为整式不等式进行求解；④考虑到2x2＋1＞0，可直接去分母，转化为整式不等式进行求解．
迁移与应用：

1．不等式＞0的解集是__________．
2．不等式≤的解集是__________．
3．函数f(x)＝lg的定义域是__________．
1．分式不等式的求解思路是把分式不等式转化为整式不等式，对于形如＞m的分式不等式，则应遵循“移项——通分——化乘积”的原则进行求解．
2．解不等式＞m时，不要直接在不等式两边同乘以分母g(x)，以达到去分母的目的，化为整式不等式f(x)＞m·g(x)的形式进行求解，因为g(x)的符号不确定，这种变形是不等价的．
二、含参数不等式的求解
活动与探究
解关于x的不等式x2＋3ax－4a2＜0(a∈R)．
思路分析：由于该不等式对应方程x2＋3ax－4a2＝0的两个根a和－4a的大小关系不确定，所以应对两个根的大小分类讨论才能写出不等式的解集．
迁移与应用：

解关于x的不等式x2－2ax＋3≥0(a∈R)．
1．求解含参数一元二次不等式时，如果对应的方程的根的存在性(是否有根，有几个根)不确定时，应首先根据判别式进行分类讨论；若根的存在性确定，但两根的大小不确定时，应按照两根的大小关系进行分类讨论．
2．进行分类讨论时要注意不重不漏．例如本例中不能忘记讨论a＝0这一种情况，也不要因为a＝0时不等式解集为，而不去讨论这种情况或说不等式无意义．
三、一元二次不等式的实际应用
活动与探究
某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一至十月份销售总额至少达7 000万元，试求x的最小值．
思路分析：依题意可得七月份销售额是500(1＋x%)，八月份销售额是500(1＋x%)2，列出不等式即可求得x的最小值．
迁移与应用：

行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)满足下列关系：(n为常数，且n∈N)．做了两次刹车实验，有关实验数据如图所示，其中
(1)求n的值；
(2)要使刹车距离不超过12.6 m，则行驶的最大速度是多少？

用一元二次不等式(组)解决实际问题的一般步骤是：
(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；
(2)建立相应的不等式(组)关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式(组)问题；
(3)解这个一元二次不等式(组)，得到实际问题的解．

1．不等式＞0的解集是(　　)．
A．{x|3＜x＜4} B．{x|x＞4或x＜0}
C．{x|0＜x＜4} D．{x|0≤x＜4}
2．设集合A＝，B＝，则A∩B等于(　　)．
A．
B．
C．∪
D．∪
3．(2012江西高考，文11)不等式＞0的解集是__________．
4．已知x的不等式a(x－a)＞0，其中0＜a＜1，则它的解集是(　　)．
A． B．{x|x＞a}
C． D．
5．＞1的解集是__________．
6．解关于x的不等式＞a.

提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
知识精华
技能要领

答案：
活动与探究1：解：①原不等式可化为(2x＋3)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜－，所以不等式的解集为.
②原不等式可化为解得－＜x≤3，所以不等式的解集为.
③原不等式即－2＜0，所以＜0，因此＞0，可化为(2x＋3)(5x＋4)＞0，解得x＞－或x＜－，
故原不等式解集为.
④由于2x2＋1＞0，所以去分母得3x＜2x2＋1，即2x2－3x＋1＞0，解得x＞1或x＜，故原不等式的解集为.
迁移与应用：
1．{x|－3＜x＜2}　解析：不等式＞0可化为(x－2)(x＋3)＜0，解得－3＜x＜2.
2．　解析：不等式≤可化为－≤0，即≤0，
所以2x＋1＞0，解得x＞－.
3．{x|x＞3或x＜－1}　解析：要使函数有意义，应有＞0，解得x＞3或x＜－1，故定义域为.
活动与探究2：解：由于x2＋3ax－4a2＜0可化为(x－a)(x＋4a)＜0，且方程(x－a)(x＋4a)＝0的两个根分别是a和－4a.
当a＝－4a即a＝0时，不等式的解集为∅；
当a＞－4a即a＞0时，不等式的解集为{x|－4a＜x＜a}；
当a＜－4a即a＜0时，不等式的解集为{x|a＜x＜－4a}．
综上所述：当a＝0时，不等式的解集为∅；当a＞0时，不等式的解集为{x|－4a＜x＜a}；当a＜0时，不等式的解集为{x|a＜x＜－4a}．
迁移与应用：
解：当Δ＝4a2－12＞0，即a＞或a＜－时，方程x2－2ax＋3＝0有两个不相等的实数根x1＝＝a－，x2＝＝a＋，且x1＜x2，所以不等式的解集为{x|x≤a－或x≥a＋}；
当Δ＝4a2－12≤0，即－≤a≤时，方程x2－2ax＋3＝0没有实数根，所以不等式的解集为R.
综上所述：当a＞或a＜－时，不等式的解集为{x|x≤a－或x≥a＋}，当－≤a≤时，不等式的解集为R.
活动与探究3：解：由题意可得七月份销售额是500(1＋x%)，八月份销售额是500(1＋x%)2，所以
3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000.
整理得x2＋300x－6 400≥0，解得x≥20或x≤－320(舍去)，
所以x的最小值是20.
迁移与应用：
解：(1)依题意得
所以故n＝6；
(2)s＝＋≤12.6⇒v2＋24v－5 040≤0⇒－84≤v≤60，因为v≥0，所以0≤v≤60，即行驶的最大速度为60 km/h.
当堂检测
1．C　解析：不等式可化为3x(4－x)＞0，即3x(x－4)＜0，
所以解集是{x|0＜x＜4}．
2．B　解析：∵＜2，＞0，∴x＞或x＜0，
即A＝，而B＝，
∴A∩B＝.
3．(－3，2)∪(3，＋∞)　解析：不等式＞0可化为(x－2)(x－3)(x＋3)＞0，
由穿根法 (如图)得，

所求不等式的解集为(－3，2)∪(3，＋∞)．
4．A　解析：因为a＞0，不等式可化为(x－a)＞0，又0＜a＜1，所以a＜，于是不等式解集为.
5．{x|x＜－2}　解析：原不等式可化为－1＞0，即＞0，所以－3(x＋2)＞0，解得x＜－2，
故不等式的解集为{x|x＜－2，x∈R}．
6．解：原不等式可化为－a＞0，
即＞0，
所以(x－1)[(1－a)x＋a]＞0.
当1－a＝0，即a＝1时，不等式可化为x－1＞0，则x＞1；
当1－a＞0，即a＜1时，不等式可化为(x－1)＞0，
由于1－＝＞0，所以x＞1或x＜；
当1－a＜0，即a＞1时，不等式可化为(x－1)＜0，
由于1－＝＜0，所以1＜x＜.
综上所述，当a＝1时，不等式的解集为(1，＋∞)；当a＜1时，不等式的解集为(1，＋∞)∪；当a＞1时，不等式的解集为.