导数教师版宁龙2011.doc

研究性学习资料 导数复习教师版

一、导数的定义及运用
1．设函数f(x)在处可导，则等于 （ ）
A．— B． C． D．
二、导数与切线：上一点处的切线
（1）斜率 (2) (3) 在切线上
2．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
解：与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A
三、导数与单调性、极值
(1)对应的区间为f(x)的单调增区间；
3.为上为增函数,则a的取值范围为_________
（2）对应的区间为f(x)的单调减区间；
4.函数是减函数的区间为_____（0，2）______
5.(09江苏卷).函数的单调减区间为 .
解：，由得单调减区间为。
6.如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为____．
(3).解得的可能是极值，但极值点导数一定为0
7.有极值的充要条件是（ C ）
A） B） C） D）
8.函数已知时取得极值，则= ( D )
A．2 B．3 C．4 D．5
9.已知函数在x＝－1时有极值0，则m＝___2__；n＝__9__；

10．（06年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（A ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
四，导数与最值：比较可疑点和区间端点处函数值的大小
11．已知函数，其导函数的图象如右图，则：( C )
A．在(-，0)上为减函数
B．在x=0处取得最大值
C．在（4，+）上为减函数
D．在x=2处取得最小值
[析]递增递减，知，当x>4时，，
在（4，+）上递减。
12.函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 3,-17 .
13.点在曲线上，该曲线在点处切线的斜率为，则-3_；函数，的值域为__.
五.含参数的导数问题
(一).利用极值时及往往可以求出参数
14.已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图.求：（Ⅰ）的值；=1;（Ⅱ）的值.
15.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=－1.
(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.
∵x=±1是函数f(x)的极值点，∴x=±1是方程f′(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的两根.
由根与系数的关系，得 又f(1)=－1,∴a+b+c=－1, 解得a=,
(2)f(x)=x3－x,∴f′(x)=x2－=(x－1)(x+1)
当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0当－1＜x＜1时，f′(x)＜0
∴函数f(x)在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数.
∴当x=－1时，函数取得极大值f(－1)=1,当x=1时，函数取得极小值f(1)=－1.
(二).根据单调性求参数范围或分类讨论参数来判断单调区间或极值
16.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值，则a的取值范围是（C）
A.或 B. C.a>2或a<-1 D.
17.已知是R上的单调增函数，则b的取值范围是（D）
A.b<-1或b>2 B. 或 C.-1<b<2 D.
18.若恰有三个单调区间，则的取值范围为___a<0___________.
19.在区间[-1，1]上是增函数。求实数的值组成的集合A。
20.设函数R.
（1）若处取得极值，求常数a的值；（2）若上为增函数，求a的取值范围.
解：（1）
因取得极值， 所以 解得
经检验知当为极值点.
（2）令
当和上为增函数，
故当上为增函数.
当上为增函数，
从而上也为增函数. 综上所述，当上为增函数.
21.已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值
（1） 求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2） 若对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范围。
解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b
由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2
f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：
x
（－¥，－）
－
（－，1）
1
（1，＋¥）
f¢（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
­
极大值
¯
极小值
­
所以函数f（x）的递增区间是（－¥，－）与（1，＋¥）递减区间是（－，1）
（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，xÎ〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c为极大值，
而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。
要使f（x）<c2（xÎ〔－1，2〕）恒成立，只需c2>f（2）＝2＋c解得c<－1或c>2
22.向量在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.
解：依定义

故要使在区间（－1，1）上恒成立
六．导数与不等式
23．设在[0, 1]上的函数f(x)的曲线连续, 且f′(x)>0, 则下列一定成立的是 ( C )
A．f(0)<0 B． f(1)>0 C． f(1)> f(0) D． f(1)<f(0)
24.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 ( D )
A．(-3,0)∪(3,+∞) B．(-3,0)∪(0, 3) C．(-∞,- 3)∪(3,+∞) D． (-∞,- 3)∪(0, 3)
七.解答题(导数与函数；导数与单调区间，极值，最值；导数与数列；导数与三角函数；导数与解析几何；导数与立体几何；导数与不等式；导数与向量；导数的实际应用)
25.已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间.
解：（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以
由在处的切线方程是，知
故所求的解析式是
（Ⅱ）
解得 当当
故是增函数，在内是减函数，在内是增函数.
26.已知函数在处取得极值.
（Ⅰ）讨论和是函数的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点作曲线的切线，求此切线方程.
解：（Ⅰ），依题意，，即
解得.∴.
令，得.若，则，故在上是增函数，在 上是增函数.若，则，故在上是减函数.所以，是极大值；是极小值.
（Ⅱ）曲线方程为，点不在曲线上.设切点为，则点M的坐标满足.因，故切线的方程为注意到点A（0，16）在切线上，有化简得，解得.
所以，切点为，切线方程为.
27.知实数，函数．
(Ⅰ)若函数有极大值32，求实数的值；
(Ⅱ)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）f(x)=ax34ax2+4ax f/(x)=3ax28ax+4a=a(3x2)(x2)=0x=或2
∵f(x)有极大值32，而f(2)=0 ∴f()=32=7,a=27
（2）f/(x)=a(3x2)(x2) 当a>0时，f(x)=[ 2,]上递增在[]上递减，
∴0<a< ，当a<0时，f(x)在[2,]上递减，在[]上递增
f(2)= 32a>f(1)=a ∴ ∴
综上
28.已知是函数的一个极值点，其中，
（I）求与的关系式；（II）求的单调区间；
（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.
解(I)因为是函数的一个极值点,
所以,即，所以
（II）由（I）知，=
当时，有，当变化时，与的变化如下表：

1

0

0

调调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
故有上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.
（III）由已知得，即
又所以即①
设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
所以解之得又所以的取值范围为
29.已知函数的图像过点P（-1，2），且在点P处的切线恰好与直线垂直。(1)求函数的解析式；(2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围。
解：（1）,
由题意有，
(2)令，得或，在区间和上均是增函数，
由题意，有或，或，
30.已知定义在R上的函数，其中a为常数.
（I）若x=1是函数的一个极值点，求a的值；
（II）若函数在区间（－1，0）上是增函数，求a的取值范围；
解：（I）
的一个极值点，；
（II）①当a=0时，在区间（－1，0）上是增函数，符合题意；
②当；
当a>0时，对任意符合题意；
当a<0时，当符合题意；
综上所述，
31．设函数
（1）用a表示；（2）若f(x)的图象上有两条与y轴垂直的切线，求实数a的取值范围；
（3）当a=2时，求f(x)在[0，3]上的最大值与小值.
解：（1）f′(x)=x2－(3a－1)x+2a2－f′(2a) 则f′(2a)=4a2－6a2+2a+2a2－f′(2a) 得f′(2a)=a
（2）由（1）得f′(x)=x2－(3a－1)x+2a2－a由题可知x2－(3a－1)x+2a2－a=0有两个不相等的实数根
△=(3a－1)2－4(2a2－a)=(a－1)2>0a≠1
（3）a=2 f(x)= x3－x2+6x+5 f′(x)=(x－2)(x－3) f′(x)=0x1=2 x2=3
x
0
(0,2)
2
(2,3)
3
y′

+
0
－

y
5

极大

∴fmax(x)=f(2)= fmix(x)=f(0)=5
32．已知函数，（1）求曲线的平行于直线的切线方程；
（2）若函数在上有最大值3，求常数的值及此此函数的最小值。
解：（1）设所求切线的切点为，则其斜率为或当时切点为，切线方程为
当时切点为，切线方程为即
（2）函数的导数为，
令有或的符号和的单调性和极值如下表：
X
-2
(-2,0)
0
(0,2)
2

0
+
0
-
0

m-40
增函数
M
减函数
m-8
可知故，当时取最小值
33.已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
解：（1）求导：
当时，，，在上递增,当，求得两根为
即在递增，递减，递增
（2），且解得：
34．设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.
解:（Ⅰ）,∵曲线在点处与直线相切，
∴
（Ⅱ）∵,
当时，，函数在上单调递增，此时函数没有极值点.
当时，由，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，∴此时是的极大值点，是的极小值点.
35．已知函数且
（Ⅰ）试用含的代数式表示；（Ⅱ）求的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解：（Ⅰ）依题意，得 由得
（Ⅱ）由（Ⅰ）得故
令，则或①当时，
当变化时，与的变化情况如下表：

+
—
+

单调递增
单调递减
单调递增
由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为
②由时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R
③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为
综上：
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为R；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为
36.已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设点P在曲线上，若该曲线在点P处的切线通过坐标原点，求的方程
解：（Ⅰ） 令得或；
令得或
因此，在区间和为增函数；在区间和为减函数。
（Ⅱ）设点，由过原点知，的方程为，
因此，即，
整理得，解得或因此切线的方程为或
37．设函数，其中常数
(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)若当≥0时，恒成立，求的取值范围。
解：（Ⅰ）
由知，当时，，故在区间是增函数；
当时，，故在区间是减函数；
当时，，故在区间是增函数。
综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在或处取得最小值。

由假设知 即 解得故的取值范围是（1，6）
38.（09陕西）已知函数 求的单调区间；
若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。
解：（1）当时，对，有
当时，的单调增区间为
当时，由解得或；由解得，
当时，的单调增区间为；的单调减区间为。
（2）在处取得极大值，
由解得。
由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值。
直线与函数的图象有三个不同的交点，又，，
结合的单调性可知，的取值范围是。
20090423
39.已知函数 ．
（I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；
（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．
解：（Ⅰ）由题意得
又 ，解得，或
Ⅱ）函数在区间不单调，等价于导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数，即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有，
即：
整理得：，解得
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