圆的概念教案.doc

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龙文教育个性化辅导教案提纲(第 次课）
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课 题
圆的概念
教学目标与
考点分析
圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题；了解圆心角的概念 圆的概念是学习圆的基础，圆是中考必考内容，必须熟练掌握
教学重点
难点
重点：垂径定理及其运用．
难点：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
教学方法
探究法、讲练结合、归纳总结
教学过程
一、圆的概念
★ 概念回顾
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
圆的新定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．
同时，我们又把
①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；
②经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB；
③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作”，读作“圆弧”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示叫做优弧），小于半圆的弧（如图所示）或叫做劣弧．

④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
请回答下面两个问题．
1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
2．你是用什么方法解决上述问题的？
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．

★ 垂径定理
按下面要求完成下题：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．

（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．
（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．
（2）AM=BM，，，即直径CD平分弦AB，并且平分及．
这样，我们就得到下面的定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
证明过程：
已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M
求证：AM=BM，，.

进一步，还可以得到结论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
★ 例题讲解
【例1】 如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中，点O是的圆心，其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．
分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
解：如图，连接OC
设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m
∵OE⊥CD
∴CF=CD=×600=300（m）
根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2
即R2=3002+（R-90）2 解得R=545
∴这段弯路的半径为545m．

【例2】 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m，是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R．
解：不需要采取紧急措施
设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18
R2=302+（R-18）2 R2=900+R2-36R+324
解得R=34（m）
连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16
342=162+（34-x）2
162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0
解得x1=4，x2=64（不合设）
∴DE=4
∴不需采取紧急措施．

★ 及时训练
Ｏ
Ａ
Ｃ
Ｂ
Ｅ
Ｄ
1、如图，的直径垂直于弦，，相交于点，，求，的度数．

2、如图，的直径，、是圆周上关于对称的两个不同点，．
（1）在、、、、、六点中，能构成矩形的四个点有哪些？请一一列出（不要求证明）；
（2）求证：四边形是菱形．
C
D
A
B
E
F
O
N
M

二 、圆心角
★ 概念回顾
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？

=，AB=A′B′
理由：∵半径OA与O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′
∴半径OB与OB′重合
∵点A与点A′重合，点B与点B′重合
∴与重合，弦AB与弦A′B′重合
∴=，AB=A′B′
在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
我们进而可以得到
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
★ 例题讲解
【例3】 如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？

分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可．
（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中，
又有AO=CO是半径，∴Rt△AOE≌Rt△COF，
∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到=
★ 及时训练
1、如图24-11，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD，分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由．

2、如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上．
（1）求证：=；
（2）若C、D分别为OA、OB中点，则成立吗？
_
O
_
B
_
A
_
C
_
D
_
N
_
M

3、如图，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若∠D=50°，求的度数和的度数．
_
B
_
A
_
C
_
E
_
D
_
F

4、如图，∠AOB=90°，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD．
_
O
_
B
_
A
_
C
_
E
_
D
_
F

5、AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC的度数．

★ 及时诊断
1．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上．
（1）求证：=；
（2）若C、D分别为OA、OB中点，则成立吗？

2．如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若∠D=50°，求的度数和的度数．

1． 如图，∠AOB=90°，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD．

教学反思

三、 本次课后作业：

四、学生对于本次课的评价：
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学生签字：
五、教师评定：
1、学生上次作业评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化
2、学生本次上课情况评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化
教师签字：

班主任签字：
龙文教育教务处
教务主任签字： ___________
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