【全程复习方略】(广西专用)2013版高中数学-8.2双-曲-线课时提能训练-文-新人教版.doc

【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 8.2双 曲 线课时提能训练 文 新人教版
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)
(A)(，0) (B)(，0) (C)(，0) (D)(，0)
2.(2012·玉林模拟)“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的(　　)
(A)必要而不充分条件
(B)充分而不必要条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
3.(预测题)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)
(A)　　　(B)　　　(C)　　　(D)
4.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为(　　)
(A)－＝1 (B)－＝1
(C)－＝1 (D)－＝1
5.(易错题)设双曲线－＝1(b＞a＞0) 的半焦距为c，直线l在横纵坐标轴上的截距分别为实半轴、虚半轴的长，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为(　　)
(A)2 (B)
(C) (D)2或
6.设F1、F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
(A)3x±4y＝0 (B)3x±5y＝0
(C)4x±3y＝0 (D)5x±4y＝0
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012·防城港模拟)已知双曲线－＝1的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且该双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为　　　　.
8.P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为　　　　.
9.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0).若双曲线上存在一点P使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是　　　.

三、解答题(每小题15分，共30分)
10.已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程.
11.点P是以F1，F2为焦点的双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上的一点，已知PF1⊥PF2，|PF1|＝2|PF2|，O为坐标原点.
(1)求双曲线的离心率e；
(2)过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1，P2两点，且·＝－，2＋＝0，求双曲线E的方程.
【探究创新】
(16分)某飞船返回仓顺利返回地球后，为了及时救出航天员，地面指挥中心在返回仓预计到达的区域内安排了三个救援中心(如图1分别记为A，B，C)，B地在A地正东方向上，两地相距6 km； C地在B地北偏东30°方向上，两地相距4 km，假设P为航天员着陆点，某一时刻A救援中心接到从P点发出的求救信号，经过4 s后，B、C两个救援中心也同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1 km/s.
(1)求A、C两地救援中心的距离；
(2)求P相对A的方向角；
(3)试分析信号分别从P点处和P点的正上方Q点(如图2，返回仓经Q点垂直落至P点)处发出时，A、B两个救援中心收到信号的时间差的变化情况(变大还是变小)，并证明你的结论.

答案解析
1.【解析】选C.∵双曲线方程为x2－＝1，
∴a＝1，b＝，∴c＝＝＝，
∴它的右焦点坐标为(，0)，故C正确.
2.【解析】选A.若ax2＋by2＝c表示双曲线，即：＋＝1表示双曲线，则<0即ab<0，是必要条件，然而若ab<0，c可以等于0，即“ab<0”不是充分条件.
3.【解析】选D.因为焦点在x轴上与焦点在y轴上的离心率一样，所以不妨设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则双曲线的渐近线的斜率k＝±，一个焦点坐标为F(c,0)，一个虚轴的端点为B(0，b)，所以kFB＝－，又因为直线FB与双曲线的一条渐近线垂直，所以k·kFB＝(－)＝－1(－显然不符合)，
即b2＝ac，c2－a2＝ac，所以，c2－a2－ac＝0，
即e2－e－1＝0，解得e＝(负值舍去).
【变式备选】双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则的最小值
为(　　)
(A) (B) (C)2 (D)1
【解析】选A.因为双曲线的离心率为2，所以＝2，
即c＝2a，c2＝4a2；
又因为c2＝a2＋b2，
所以a2＋b2＝4a2，即b＝a，
因此＝＝a＋≥2＝，当且仅当a＝时等号成立.
即的最小值为.
4.【解析】选B.因为抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，
则由题意知，点F(－6,0)是双曲线的左焦点，
所以a2＋b2＝c2＝36，
又双曲线的一条渐近线方程是y＝x，
所以＝，解得a2＝9，b2＝27，
所以双曲线的方程为－＝1，故选B.
5.【解析】选A.由题意得直线l的方程为＋＝1，
∴原点到l的距离d＝＝c.
又∵c2＝a2＋b2，∴ab＝c2，
∴＝，
∴4＝e2.
∴3e4－16e2＋16＝0.
解得e＝2或e＝.
∵0＜a＜b，∴e＝＞，
∴e＝2.
【误区警示】本题易出现选D的情况，原因是求出离心率后，就认为已结束，而忽略了0＜a＜b这一条件.
6.【解析】选C.设PF1的中点为M，因为|PF2|＝|F1F2|，
所以F2M⊥PF1，因为|F2M|＝2a，
在直角三角形F1F2M中，
|F1M|＝＝2b，
故|PF1|＝4b，
根据双曲线的定义得
4b－2c＝2a，即2b－c＝a，
因为c2＝a2＋b2，所以(2b－a)2＝a2＋b2，
即3b2－4ab＝0，即3b＝4a，
故双曲线的渐近线方程是y＝±x，
即4x±3y＝0.
【变式备选】F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，且△F1PF2是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为(　　)
(A)1＋ (B)2＋ (C)3－ (D)3＋
【解析】选A.设双曲线C的焦距为2c，依题设不妨令|F1F2|＝|PF2|，
即2c＝，∴2c＝，
即2ac＝c2－a2，
∴e2－2e－1＝0，
∴e＝＝1±，
又∵e＞1，
∴e＝1＋.
7.【解析】∵y2＝4x的焦点为F(1,0)，
∴c＝1，又∵＝，
∴a＝，又∵c2＝a2＋b2，
∴b2＝，∴双曲线方程为：5x2－y2＝1，
∴渐近线方程为：y＝±2x.
答案：y＝±2x
8.【解析】双曲线的两个焦点F1(－4,0)、F2(4,0)分别为两个圆的圆心，两圆的半径分别为r1＝2，r2＝1.
由题意得
|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)
＝|PF1|－|PF2|＋3＝5.
答案：5
【方法技巧】圆锥曲线上的点到定点距离的和、差的最值的求法
一般不用选变量建立目标函数的方法求解，而是利用该点适合圆锥曲线的定义，将所求转化为与焦点的距离有关的最值问题，再利用数形结合法求解.
9.【解析】方法一：因为在△PF1F2中，由正弦定理得
＝，则由已知得＝，
即a·|PF1|＝c·|PF2|，且知点P在双曲线的右支上(不包含顶点)，设点P(x0，y0)(y0≠0)，则由焦半径公式，得|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝ex0－a，
则a(a＋ex0)＝c(ex0－a)，
解得x0＝＝，
由双曲线的几何性质知x0>a，
即>a，整理得e2－2e－1<0.
解得－＋1<e<＋1，又e∈(1，＋∞)，
故双曲线的离心率e∈(1，＋1).
方法二：由方法一知|PF1|＝|PF2|，且知点P在双曲线的右支上(不包含顶点)，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，则|PF2|－|PF2|＝2a，
即|PF2|＝，由双曲线的几何性质知
|PF2|>c－a，则>c－a，即c2－2ac－a2<0，
所以e2－2e－1<0.以下同方法一.
答案：(1，＋1)
10.【解析】设动圆M的半径为r，则由已知
|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，
∴|MC1|－|MC2|＝2.
又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8，∴2<|C1C2|.
根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支.
∴a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.
∴点M的轨迹方程是－＝1(x≥).
11.【解析】(1)∵|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
∵PF1⊥PF2，∴(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，即5a2＝c2，
∴e＝.
(2)由(1)知双曲线的方程可设为－＝1，渐近线方程为y＝±2x.
设P1(x1,2x1)，P2(x2，－2x2)，P(x，y)，
∵·＝－3x1x2＝－ ⇒x1x2＝，
∵2＋＝0⇒
∵点P在双曲线上，
∴ － ＝1，
化简得x1x2＝，
∴＝⇒a2＝2，
∴双曲线方程为－＝1.
【探究创新】
【解析】(1)以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则
A(－3,0)，B(3,0)，C(5,2)，
则|AC|＝＝2(km)，
即A、C两个救援中心的距离为2 km.

(2)∵|PC|＝|PB|，所以P在BC线段的垂直平分线上.
又∵|PB|－|PA|＝4，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且|AB|＝6，
∴双曲线方程为－＝1(x＜－2).
BC的垂直平分线的方程为x＋y－7＝0，联立两方程解得： x＝－8.
∴P(－8,5)，∴kPA＝tan∠PAB＝－，
∴∠PAB＝120°，
所以P点在A点的北偏西30°方向上.
(3)如图，设
|PQ|＝h，|PB|＝x，|PA|＝y，
∵|QB|－|QA|
＝－
＝
＝(x－y)·，
又∵＜1，
∴|QB| －|QA|＜|PB|－|PA|，
∴－＜－.
即信号从P点的正上方Q点处发出时A、B收到信号的时间差比信号从P点处发出时A、B收到信号的时间差变小.