北京市石景山区2012届高三数学第一学期期末考试试卷理北师大版.doc

北京市石景山区2012届高三第一学期期末考试数学（理）试卷
考生须知
本试卷共6页，150分.考试时间长120分钟．请将所有试题答案答在答题卡上．

题号
一
二
三
总分
15
16
17
18
19
20
分数

第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，,,则（ ）
A．
B．
C．
D．
2． 已知复数，则复数的模为（　　）
A． 2
B．
C．1
D． 0
3．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（ 　）
A．
B．
C．
D．
正视图
侧视图
俯视图
4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图
为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角
边长为2，那么这个几何体的体积为（　　）
A．
B．
C．4
D．
5．执行右面的框图，若输出结果为，
则输入的实数的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

6.设抛物线上一点P到轴的距离是4，则点P到该抛物线准线的距离为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12
7.以下四个命题中，真命题的个数是（ ）
①命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；
②若为假命题，则、均为假命题；
③命题：存在,使得，则：任意,都有；④在中,是的充分不必要条件.
A．1
B．2
C．3
D．4

8.对于使成立的所有常数中，我们把的最小值1叫做的
上确界,若，且，则的上确界为（ ）
A．
B．
C．
D．-4

第Ⅱ卷 非选择题

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
9．在中，若，则 ．
P
A
B
C
O
•
10．如图，从圆外一点引圆的切线和
割线，已知，，
圆心到的距离为，则圆的
半径为 ．

11．已知向量，，，若与垂直，则 ．
12．已知等差数列的前项和为，若，则 ．
13．若把英语单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 种．
14.已知函数，当且时，
函数的零点，则 ．
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．

16．（本小题满分13分）
甲、乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下：
甲

乙

1
8
6 0 0
2
4 4
2
3
0
（Ⅰ）求乙球员得分的平均数和方差；
（Ⅱ）分别从两人得分中随机选取一场的得分，求得分和Y的分布列和数学期望．

（注：方差
其中为，，的平均数）

17．（本小题满分14分）
如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，，∥，，，为的中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

18．（本小题满分14分）
已知
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在处有极值，求的单调递增区间；
（Ⅲ）是否存在实数，使在区间的最小值是3，若存在，求出的值；
若不存在，说明理由.

19．（本小题满分13分）
已知椭圆（）过点（0，2），离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过定点（2，0）的直线与椭圆相交于两点，且为锐角（其中为坐标原点),求直线倾斜角的取值范围.

20．（本小题满分13分）
对于给定数列，如果存在实常数,使得对于任意都成立，我们称数列是 “类数列”．
（Ⅰ）若，，，数列、是否为“类数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；
（Ⅱ）证明：若数列是“类数列”，则数列也是“类数列”；
（Ⅲ）若数列满足，，为常数．求数列前2012项的和．并判断是否为“类数列”，说明理由．
石景山区2011—2012学年第一学期期末考试试卷
高三数学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
B
D
B
C
B

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
题号
9
10
11
12
13
14
答案

-3
72
11
2

三、解答题：本大题共6个小题，共80分．
15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）

……………5分
……………7分

（Ⅱ）因为，所以 …………9分
当时，即时，的最大值为,………11分
当时，即时，的最小值为. ………13分

16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由茎叶图可知，乙球员四场比赛得分为18,24,24,30，所以平均数
； ……………………2分
……5分
（Ⅱ）甲球员四场比赛得分为20,20,26,32，分别从两人得分中随机选取一场的 得分，共有16种情况：
（18，20）（18，20）（18，26）（18，32）
（24，20）（24，20）（24，26）（24，32）
（24，20）（24，20）（24，26）（24，32）
（30，20）（30，20）（30，26）（30，32） …………8分
得分和可能的结果有：38,44,50,56,62 …………9分
得分和Y的分布列为：
Y
38
44
50
56
62

…………11分
数学期望
………………13分

17．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）证明：取中点，连结．
在△中，分别为的中点，
所以∥，且．
由已知∥，，
所以∥，且．
所以四边形为平行四边形． ………2分
所以∥．
又因为平面，且平面，
所以∥平面． ………………………………4分
（Ⅱ）证明：在矩形中，．
又因为平面平面，
且平面平面，
所以平面．
所以． ………………………………5分
在直角梯形中，，，可得．
在△中，，
因为，所以．
因为,所以平面．………………………7分
又因为平面，
所以平面平面．…………………………………………8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面，且．
以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．
． …………………………………9分

易知平面的一个法向量为．…………………………10分
设为平面的一个法向量，
因为
所以，
令，得．
所以为平面的一个法向量． …………………………12分
设平面与平面所成锐二面角为．
则．
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．………14分

3． （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知得的定义域为，
因为，所以
当时，，所以
因为，所以 ……………………2分
所以曲线在点处的切线方程为
，即 …………………………4分
（Ⅱ）因为在处有极值，所以，
由（Ⅰ）知，所以
经检验，时在处有极值． …………………………6分
所以，令解得；
因为的定义域为，所以的解集为，
即的单调递增区间为. …………………………………………8分

（Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3，
① 当时，因为，所以 ，
所以在上单调递减，
，，舍去. …………………………10分
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
，，满足条件. ………………………12分
③ 当时，因为，所以，
所以在上单调递减，，，舍去.
综上，存在实数，使得当时有最小值3. ……………14分

19．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意得
结合，解得
所以，椭圆的方程为. ………………4分
（Ⅱ） 设，则.
①当时，不妨令
，当斜率不存在时，为锐角成立 ………………6分
②当时，设直线的方程为：
由 得
即.
所以， ………………8分

………………10分

解得. ……………………12分
综上，直线倾斜角的取值范围是 . …………………13分

20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为则有
故数列是“类数列”，对应的实常数分别为 …………… 1分
因为，则有，.
故数列是“类数列”，对应的实常数分别为. …………… 3分
（Ⅱ）证明：若数列是“类数列”，则存在实常数，
使得对于任意都成立，
且有对于任意都成立，
因此对于任意都成立，
故数列也是“类数列”．
对应的实常数分别为． ……………6分

（Ⅲ）因为 则有，，
故数列前2012项的和
+++
……………9分
若数列是 “类数列”， 则存在实常数
使得对于任意都成立，
且有对于任意都成立，
因此对于任意都成立，
而，且，
则有对于任意都成立，可以得到
，
当时，，，，经检验满足条件.
当 时，，，经检验满足条件.
因此当且仅当或时，数列是“类数列”.
对应的实常数分别为或． ………………… 13分

注：若有其它解法，请酌情给分．

草 稿 纸

12
用心 爱心 专心