单元评估检测(八).doc

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单元评估检测(八)
第八章
(120分钟　160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上)
1.已知双曲线的标准方程为-y2=1，则它的焦点坐标为　　　　.
【解析】因为a=，b=1，所以c==，且焦点在x轴上，所以它的焦点坐标是(±，0).
答案：(±，0)
2.(2015·肇庆模拟)已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程是　　　　.
【解析】根据题意直线x-y+1=0与x轴的交点为⇒(-1，0)，
因为圆与直线x+y+3=0相切，
所以半径为圆心到切线的距离，即r=d==，
则圆的方程为(x+1)2+y2=2.
答案：(x+1)2+y2=2
3.已知点F1，F2是双曲线C的两个焦点，过点F2的直线交双曲线C的一支于A，B两点，若△ABF1为等边三角形，则双曲线C的离心率为　　　　.
【解析】△ABF1为等边三角形，所以F1F2⊥AB.
设△ABF1的边长为x，所以=sin60°，所以x=.
由双曲线的定义知2a=x-x==，即a=，
所以双曲线C的离心率为e===.
答案：
4.命题p：4<r<7，命题q：圆(x-3)2+(y+5)2=r2(r>0)上恰好有2个点到直线4x-3y=2的距离等于1，则p是q的　　　　　　　　条件.(填“充分必要”“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)
【解析】因为圆心(3，-5)到直线4x-3y=2的距离等于5，
所以圆(x-3)2+(y+5)2=r2上恰好有2个点到直线4x-3y=2的距离等于1时，4<r<6，所以p是q的必要不充分条件.
答案：必要不充分
5.(2015·聊城模拟)若F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，M是椭圆上的任意一点，且△MF1F2的内切圆的周长为3π，则满足条件的点M的个数为　　　　.
【解题提示】由内切圆的周长为3π可确定内切圆的半径，然后利用面积相等确定点M的纵坐标，进而确定M点的个数.
【解析】由△MF1F2的内切圆的周长为3π得，
内切圆的半径r=，
所以△MF1F2的面积为(MF1+MF2+F1F2)r=F1F2×|yM|，
即(10+6)×=6×|yM|，得|yM|=4，
所以满足条件的点M是短轴的2个端点，个数有2个.
答案：2
6.已知点P是双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交于M，N两点(如图)，点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是　　　　.

【解析】在△F1F2P中，点N恰好平分线段PF2，点O恰好平分线段F1F2，所以ON∥PF1，
又ON的斜率为，
所以tan∠PF1F2=，
在△F1F2P中，设PF2=bt，PF1=at，
根据双曲线的定义可知PF2-PF1=2a，
所以bt-at=2a　①，
在Rt△F1F2P中，P+P=4c2　②，
由①②消去t，得(a2+b2)·=4c2，
又c2=a2+b2，所以a2=(b-a)2，
即b=2a，双曲线的离心率是==.
答案：
7.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线-=1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于两点A，B(A，B异于原点)，抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2，AF=7，则p=　　　　.
【解题提示】由双曲线的离心率可求出双曲线的渐近线方程，从而可求出A，B两点的坐标，然后利用抛物线的定义可求p的值.
【解析】因为双曲线的离心率为2，
所以e2===4，即b2=3a2，
所以双曲线-=1(a>0，b>0)的两条渐近线方程为y=±x，代入y2=2px(p>0)，
得x=p或x=0，故xA=xB=p，
又AF=xA+=p+=7，所以p=6.
答案：6
8.(2015·衡水模拟)若双曲线-=1(a>0，b>0)与椭圆+=1(m>b>0)的离心率之积等于1，则以a，b，m为边长的三角形一定是　　　　三角形.
【解析】设双曲线离心率为e1，椭圆离心率为e2，
所以e1=，e2=，
故e1·e2==1
(m2-a2-b2)b2=0，
即a2+b2-m2=0，
所以，以a，b，m为边长的三角形为直角三角形.
答案：直角
9.(2015·兰州模拟)已知双曲线-=1(a>0，b>0)与抛物线y2=2px(p>0)有一个共同的焦点F，点M是双曲线与抛物线的一个交点，若MF=p，则此双曲线的离心率等于　　　　.
【解析】因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点F，
所以由题意知双曲线-=1的一个焦点为F(c，0)，
所以c=>a，(1)
即p>2a.
所以双曲线方程为-=1，
因为点M是双曲线与抛物线的一个交点，
若MF=p，则M点横坐标xM=-=，
代入抛物线y2=2px得M，
把M代入双曲线-=1，
得9p4-148p2a2+64a4=0，
解得p=4a或p=a，
因为p>2a，所以p=a舍去，
故p=4a.(2)
联立(1)(2)两式得c=2a，即e=2.
答案：2
10.已知P为椭圆+=1上任意一点，过椭圆的右顶点A和上顶点B分别作x轴和y轴的垂线，两垂线交于点C，过P作BC，AC的平行线交BC于点M，交AC于点N，交AB于点D，E，矩形PMCN的面积是S1，三角形PDE的面积是S2，则=　　　　.

【解析】由题意知AB的方程为+=1，
设P(x，y)在第一象限，所以D，
所以S△ADN=×y×=，
因为E，
所以S四边形ACME=××(5-x)
=(25-x2)，
因为P(x，y)在椭圆上，
所以+=1，
所以y2=9-，
所以y2=(25-x2)，
所以S△ADN=S四边形ACME，
因为矩形PMCN的面积是S1，三角形PDE的面积是S2，
所以S2+S四边形ANPE=S1+S四边形ANPE，故=1.
答案：1
11.若A，B为椭圆C：+=1(a>b>0)长轴的两个端点，垂直于x轴的直线与椭圆交于点M，N，且kAM·kBN=，则椭圆C的离心率为　　　　　.
【解析】设M(x，y)，则N(x，-y)，
所以kAM·kBN====，
即=1-e2=，解得离心率e=.
答案：
12.(2015·银川模拟)设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线的左支于A，B两点，则BF2+AF2的最小值为　　　　.
【解析】由题意可得AF2-AF1=2a=4，
BF2-BF1=2a=4，
两式相加得AF2+BF2-AB=8，
所以AF2+BF2=8+AB≥8+=8+=11，
当且仅当AB⊥x轴时取等号，
所以BF2+AF2的最小值为11.
答案：11
13.(2015·嘉兴模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为2，A，B分别为左、右顶点，点P为双曲线C在第一象限的任意一点，点O为坐标原点，若PA，PB，PO的斜率分别为k1，k2，k3，m=k1k2k3，则m的取值范围为　　　.
【解析】由双曲线C：-=1的离心率为2，得b=a，
设P(x0，y0)，则-=1，k1k2=·===3，
又双曲线的渐近线方程为y=±x，
所以0<k3<，所以0<m<3.
答案：(0，3)
14.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F与双曲线-=1的右焦点重合，过定点P(2，0)且斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，则弦AB的中点到抛物线的准线的距离为　　　　　.
【解析】由题意，设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，
因为双曲线-=1的右焦点坐标为(3，0)，
所以=3，即p=6，
所以抛物线的标准方程为y2=12x.
过定点P(2，0)且斜率为1的直线l的方程为y=x-2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
消去y可得x2-16x+4=0，
所以x1+x2=16，线段AB的中点到抛物线的准线的距离为
+===11.
答案：11
二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(14分)(2015·盐城模拟)已知半径为6的圆C与x轴相切，圆心C在直线3x+y=0上且在第二象限，直线l过点P(2，14).
(1)求圆C的方程.
(2)若直线l与圆C相交于A，B两点且AB=4，求直线l的方程.
【解析】(1)由题意，设圆心C(m，-3m)(m<0)，圆C的半径r为6，
又圆C和x轴相切，则r=6=|-3m|，
即m=±2，又因为m<0，所以m=-2，
所以圆C的方程为(x+2)2+(y-6)2=36.
(2)当直线l斜率存在时，设l方程为y-14=k(x-2)，
由题意知d===4，
解得k=，又l方程为x=2时也符合题意，
故所求直线l的方程为x=2或3x-4y+50=0.
16.(14分)(2015·连云港模拟)已知抛物线C：y2=2px(p>0)，直线l过定点A(4，0)且与抛物线C交于P，Q两点，若以弦PQ为直径的圆E过原点O.
(1)求抛物线C的方程.
(2)当圆E的面积最小时，求E的方程.
【解析】(1)设直线l的方程为x=my+4，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由题意知：OP⊥OQ，
所以·=x1x2+y1y2=0，
由得y2-2mpy-8p=0，
所以Δ=4m2p2+32p>0，
y1+y2=2mp，y1y2=-8p，
所以x1x2+y1y2=(my1+4)(my2+4)+y1y2
=(m2+1)y1y2+4m(y1+y2)+16
=-8p(m2+1)+8pm2+16=0，
所以-8p+16=0，p=2，符合Δ>0，
所以抛物线方程为y2=4x.
(2)PQ=
=
=
=4
=4≥8，
m=0时取“=”，
此时圆心为(4，0)，半径为4，
所以圆E面积最小时，其方程为(x-4)2+y2=16.
17.(14分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F，右顶点A在圆F：(x-1)2+y2=r2(r>0)上.
(1)求椭圆C和圆F的方程.
(2)已知过点A的直线l与椭圆C交于另一点B，与圆F交于另一点P.请判断是否存在斜率不为0的直线l，使点P恰好为线段AB的中点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
【解析】(1)由题意可得c=1，
又由题意可得=，所以a=2，
所以b2=a2-c2=3，
所以椭圆C的方程为+=1，
所以椭圆C的右顶点为A(2，0)，
代入圆F的方程，可得r2=1，
所以圆F的方程为(x-1)2+y2=1.
(2)假设存在直线l：y=k(x-2)(k≠0)满足条件，
由
得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.
设B(x1，y1)，则2+x1=，
可得中点P，
由点P在圆F上可得+=1，
化简整理得k2=0，
又因为k≠0，
所以不存在满足条件的直线l.
【一题多解】解决本题(2)还有如下方法：
假设存在直线l满足题意，
由(1)可得OA是圆F的直径，
所以OP⊥AB.
由点P是AB的中点，可得OB=OA=2.
设点B(x1，y1)，则由题意可得+=1.
又因为直线l的斜率不为0，所以<4，
所以OB2=+=+3=3+<4，
这与OA=OB矛盾，所以不存在满足条件的直线l.
18.(16分)已知A，B是抛物线W：y=x2上的两个点，点A的坐标为(1，1)，直线AB的斜率为k(k>0).设抛物线W的焦点在直线AB的下方.
(1)求k的取值范围.
(2)设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D，判断四边形ABDC是否为梯形，并说明理由.
【解析】(1)抛物线y=x2的焦点为.
由题意，得直线AB的方程为y-1=k(x-1)，
令x=0，得y=1-k，
即直线AB与y轴相交于点(0，1-k).
因为抛物线W的焦点在直线AB的下方，
所以1-k>，解得k<.
因为k>0，所以0<k<.
(2)结论：四边形ABDC不可能为梯形.
理由如下：
假设四边形ABDC为梯形.
由题意，设B(x1，)，C(x2，)，D(x3，y3)，
联立方程
消去y，得x2-kx+k-1=0，
由根与系数的关系，得1+x1=k，所以x1=k-1.
同理，得x2=--1.
对函数y=x2求导，得y′=2x，
所以抛物线y=x2在点B处的切线BD的斜率为2x1=2k-2，
抛物线y=x2在点C处的切线CD的斜率为2x2=--2.
由四边形ABDC为梯形，得AB∥CD或AC∥BD.
若AB∥CD，则k=--2，即k2+2k+2=0，
因为方程k2+2k+2=0无解，
所以AB与CD不平行，
若AC∥BD，则-=2k-2，即2k2-2k+1=0，
因为方程2k2-2k+1=0无解，
所以AC与BD不平行，
所以四边形ABDC不是梯形，与假设矛盾.
因此四边形ABDC不可能为梯形.
19.(16分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+=0相切，A，B是椭圆的左、右顶点，直线l过B点且与x轴垂直.

(1)求椭圆C的标准方程.
(2)设G是椭圆C上异于A，B的任意一点，作GH⊥x轴于点H，延长HG到点Q使得HG=GQ，连结AQ并延长交直线l于点M，N为线段MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系，并证明你的结论.
【解析】(1)由题意可得e==.
因为以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+=0相切，
所以=b，解得b=1.
由a2=b2+c2，可得a=2.
所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)直线QN与以AB为直径的圆O相切，证明如下：
由(1)可知A(-2，0)，B(2，0)，直线l的方程为x=2.
设G(x0，y0)(y0≠0)，
于是H(x0，0)，Q(x0，2y0)，且有+=1，即4=4-.
连结BQ，设直线AQ与直线BQ的斜率分别为kAQ，kBQ，
因为kAQ·kBQ=·===-1，
即AQ⊥BQ，
所以点Q在以AB为直径的圆上.
因为直线AQ的方程为y=(x+2).
由
解得
即M，所以N.
所以直线QN的斜率为kQN====，
所以kOQ·kQN=·=-1，
于是直线OQ与直线QN垂直，
所以直线QN与以AB为直径的圆O相切.
20.(16分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设经过点M(0，2)作直线AB交椭圆C于A，B两点，求△AOB面积的最大值.
(3)设椭圆的上顶点为N，是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，使点F为△PQN的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)设F(c，0)，则=，知a=c.
过点F且与x轴垂直的直线方程为x=c，
代入椭圆方程，有+=1，
解得y=±b.
于是b=，解得b=1.
又a2-c2=b2，从而a=，c=1.
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由题意可设直线AB的方程为y=kx+2.
由消去y并整理，
得(2k2+1)x2+8kx+6=0，
由Δ=(8k)2-24(2k2+1)>0，得k2>.
由根与系数的关系，
得x1+x2=-，x1x2=.
因为点O到直线AB的距离为d=，
AB=，
所以S△AOB=AB·d=
=.
设t=2k2-3，由k2>，知t>0.
于是S△AOB==.
由t+≥8，得S△AOB≤，
当且仅当t=4，即k2=时等号成立.
所以△AOB面积的最大值为.
(3)假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQN的垂心.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
因为N(0，1)，F(1，0)，
所以kNF=-1.
由NF⊥PQ，知kPQ=1.
设直线l的方程为y=x+m，
由
得3x2+4mx+2m2-2=0.
由Δ>0，得m2<3，
且x1+x2=-，x1x2=.
由题意，有·=0.
因为=(x1，y1-1)，=(x2-1，y2)，
所以x1(x2-1)+y2(y1-1)=0，
即x1(x2-1)+(x2+m)(x1+m-1)=0，
所以2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0，
于是2×-m(m-1)+m2-m=0，
解得m=-或m=1.
经检验，当m=1时，△PQN不存在，故舍去m=1.
当m=-时，所求直线l存在，且直线l的方程为y=x-.
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