重庆市第49中学2012届高三下期第一次质量抽测数学(理)试题.doc

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重庆市第49中学2012届高三下期第一次质量抽测数学试题（理科）
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

2.已知集合,且A中的至多有一个偶数,则这样的集合A共有 （ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
3.6个人站成一排,甲,乙,丙三人必须站在一起的排列的种数为 （ ）

4. 已知为等差数列，，，以表示的前项和，则使得达到最大值的是
A．21 B．20 C．19 D．18

5. 已知函数（其中）的图象如右图所示，则函数的图象是（ ）

A． B． C． D．
6 .已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
7. 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1的导函数为f′(x)，f′(0)＞0，f(x)与x轴恰有一个交点，则的最小值为 (　　 )
A. 2 B. C. 3 D.
8. 已知双曲线过点(4，)，渐近线方程为y＝±x，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是 (　 )
A. B. C．4 D.
9．在中，，若点为的内心，则的值为( )
A．2 B． C．3 D．
10．已知，且，若，
则的取值范围是（　　　）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二．填空题.本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上
11.若是偶函数,是奇函数,且,则= .
12.如果的展开式中,第三项含,则自然数n为 .
13.如图，在半径为3的球面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是 .
14. 设直线与圆相交于，两点，且弦的长为，则实数的值是 .
15.在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点.若函数的图象恰好经过k个格点，则称函数为k阶格点函数. 已知下列函数：①；②；③；④．则其中为一阶格点函数的序号为 ．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：本题共6小题，共75分．各题解答必须答在答题卡II上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）．
（本小题共13分）

17. （本小题共13分）盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）. 记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ.
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列；
（Ⅱ）求随机变量ξ的期望Eξ.

18.（本小题共13分）
如图，在三棱锥中，底面，
点，分别在棱上，且
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；
（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.

19. （本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意,都有成立，试求的取值范围；
（Ⅲ）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.

20．（本小题满分12分）
设椭圆C: 的左、右焦点分别为，若 是椭圆上的一点，，离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若是第一象限内该椭圆上的一点，，求点的坐标；
（3）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．

21. （本小题满分12分）
已知为正整数，在数列中，在数列中，当时，
（1）求数列的通项公式；
（2）求 的值；
（3）当时，证明：

重庆市第49中学高2012级高三下期第一学月考试数学试题(文科)
一.选择题(50分)
A,D,D,B,A C,A,D,D,D
二,填空题(25分)
11、　　　　１２、8　　　１３、
１４、 15、2,4
三、解答题：本题共6小题，共75分．各题解答必须答在答题卡II上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）．
16、（1）
的最大值为5；最小值为3.
　　　（２）３<m<5
17、解：（Ⅰ）由题意可得,随机变量ξ的取值是2、3、4、6、7、10.
当ξ=2时，P（ξ=2）=（3/10）*（3/10）=9/100
当ξ=3时，P（ξ=3）=（3/10）*（4/10）*2=24/100
当ξ=4时，P（ξ=4）=（4/10）*（4/10）=16/100
当ξ=6时，P（ξ=6）=（3/10）*（3/10）*2=18/100
当ξ=7时，P（ξ=7）=（4/10）*（3/10）*2=24/100
当ξ=10时，P（ξ=10）=（3/10）*（3/10）=9/100
随机变量ξ的分布列如下
ξ
2
3
4
6
7
10
P
0.09
0.24
0.16
0.18
0.24
0.09
（Ⅱ）随机变量ξ的数学期望
Eξ=2×0.09+3×0.24+4×0.16+6×0.18+7×0.24+10×0.09
=5.2.
1８.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，
∴，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，∴，
∴在Rt△ABC中，，∴.
∴在Rt△ADE中，，
∴与平面所成的角的大小.
（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，
故存在点E使得二面角是直二面角.
【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，
设，由已知可得
.
（Ⅰ）∵， ∴，∴BC⊥AP.
又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，
∴，
∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵，
∴.
∴与平面所成的角的大小.
（Ⅲ）同解法1.
１９.
解: (I) 直线的斜率为1. 函数的定义域为，
因为，所以，所以.
所以. .由解得；由解得.
所以的单调增区间是,单调减区间是. ……………………4分
(II) ，由解得；由解得.
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
所以当时，函数取得最小值，.
因为对于都有成立，所以即可.
则. 由解得.所以的取值范围是.…8分
(III)依题得，则.由解得；由解得.所以函数在区间为减函数，在区间为增函数.
又因为函数在区间上有两个零点，所以解得.
所以的取值范围是. ………………………………………12分

２１.
解：（1∵
∴
∴是以2为首项，2为公比的等比数列。
∴，即
（2∵ ∴
∴当时，
当时，∵
∴
∴……
综上可知：当时，；当时，。
（3）由（2）知：，即。
当时，，即
∴当时，

∴当时，

本卷第10页（共10页）