2024年中央电大工程数学形成性考核册答案.doc

工程数学作业（一）答案（满分100分）
第2章 矩阵
（一）单项选择题（每题2分，共20分）
⒈设，则（D　）．
A. 4 B. －4 C. 6 D. －6
⒉若，则（A　）．
A. B. －1 C. D. 1
⒊乘积矩阵中元素（C　）．
A. 1 B. 7 C. 10 D. 8
⒋设均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（　B）．
A. B.
C. D.
⒌设均为阶方阵，且，则下列等式正确的是（D　）．
A. B.
C. D.
⒍下列结论正确的是（　A）．
A. 若是正交矩阵，则也是正交矩阵
B. 若均为阶对称矩阵，则也是对称矩阵
C. 若均为阶非零矩阵，则也是非零矩阵
D. 若均为阶非零矩阵，则
⒎矩阵的伴随矩阵为（　C）．
A. B.
C. D.
⒏方阵可逆的充足必要条件是（B　）．
A. B. C. D.
⒐设均为阶可逆矩阵，则（D　）．
A. B.
C. D.
⒑设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D　）．
A. B.
C. D.
（二）填空题（每题2分，共20分）
⒈ 7 ．
⒉是有关的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 ．
⒊若为矩阵，为矩阵，切乘积故意义，则为 5×4 矩阵．
⒋二阶矩阵第一横排 3 5 第二横排 5 8
⒌设，则
⒍设均为3阶矩阵，且，则 72 ．
⒎设均为3阶矩阵，且，则 －3 ．
⒏若为正交矩阵，则 0 ．
⒐矩阵的秩为 2 ．
⒑设是两个可逆矩阵，则．
（三）解答题（每题8分，共48分）
⒈设，求⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹．
答案：

⒉设，求．
解：
⒊已知，求满足方程中的．
解：

⒋写出4阶行列式

中元素的代数余子式，并求其值．
答案：
⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：
⑴ ； ⑵ ； ⑶ ．
解：（1）
（2）(过程略) (3)
⒍求矩阵的秩．
解：
（四）证明题（每题4分，共12分）
⒎对任意方阵，试证是对称矩阵．
证明：
是对称矩阵
⒏若是阶方阵，且，试证或．
证明： 是阶方阵，且

或
⒐若是正交矩阵，试证也是正交矩阵．
证明： 是正交矩阵

即是正交矩阵

工程数学作业（第二次）(满分100分)

第3章 线性方程组
（一）单项选择题(每题2分，共16分)
⒈用消元法得的解为（C　）．
A. B.
C. D.
⒉线性方程组（B　）．
A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解
⒊向量组的秩为（　A）．
A. 3 B. 2 C. 4 D. 5
⒋设向量组为，则（B　）是极大无关组．
A. B. C. D.
⒌与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D）．
A. 秩秩 B. 秩秩
C. 秩秩 D. 秩秩
⒍若某个线性方程组对应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A　）．
A. 也许无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解
⒎如下结论正确的是（D　）．
A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解
B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解
C. 方程个数不小于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解
D. 齐次线性方程组一定有解
⒏若向量组线性有关，则向量组内（A　）可被该向量组内其他向量线性表出．
A. 最少有一个向量 B. 没有一个向量
C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量
9．设A，Ｂ为阶矩阵，既是Ａ又是Ｂ的特性值，既是Ａ又是Ｂ的属于的特性向量，则结论（　　）成立．
Ａ．是AB的特性值 Ｂ．是A+B的特性值
Ｃ．是A－B的特性值 Ｄ．是A+B的属于的特性向量
10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为阶矩阵，若等式（Ｃ　）成立，则称Ａ和Ｂ相同．
Ａ．　　Ｂ．　　　Ｃ．　　Ｄ．
（二）填空题(每题2分，共16分)
⒈当 １ 时，齐次线性方程组有非零解．
⒉向量组线性 有关 ．
⒊向量组的秩是 ３ ．
⒋设齐次线性方程组的系数行列式，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量是线性 有关 的．
⒌向量组的极大线性无关组是．
⒍向量组的秩与矩阵的秩 相同 ．
⒎设线性方程组中有5个未知量，且秩，则其基础解系中线性无关的解向量有 ２ 个．
⒏设线性方程组有解，是它的一个特解，且的基础解系为，则的通解为．
9．若是Ａ的特性值，则是方程　　的根．
　10．若矩阵Ａ满足　，则称Ａ为正交矩阵．
（三）解答题(第1小题9分，其他每题11分)
1．用消元法解线性方程组

解：　　方程组解为
２．设有线性方程组

为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?
解：］
当且时，，方程组有唯一解
当初，，方程组有无穷多解

３．判断向量能否由向量组线性表出，若能，写出一个表出方式．其中

解：向量能否由向量组线性表出，当且仅当方程组有解
这里　

方程组无解
不能由向量线性表出
４．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性有关

解：
该向量组线性有关
５．求齐次线性方程组

的一个基础解系．
解：

方程组的一般解为　　令，得基础解系　
６．求下列线性方程组的所有解．

解：　　方程组一般解为
令，，这里，为任意常数，得方程组通解

７．试证：任一４维向量都可由向量组
，，，
线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式．
证明：　　　
任一４维向量可唯一表示为

⒏试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充足必要条件是：对应的齐次线性方程组只有零解．
证明：设为含个未知量的线性方程组
　　　该方程组有解，即
从而有唯一解当且仅当
而对应齐次线性方程组只有零解的充足必要条件是
有唯一解的充足必要条件是：对应的齐次线性方程组只有零解
9．设是可逆矩阵Ａ的特性值，且，试证：是矩阵的特性值．
证明：是可逆矩阵Ａ的特性值
　　　 存在向量，使

即是矩阵的特性值
10．用配措施将二次型化为标准型．
解：

　令，，，
即
则将二次型化为标准型　
工程数学作业（第三次）(满分100分)
第4章 随机事件与概率
（一）单项选择题
⒈为两个事件，则（　B）成立．
A. B.
C. D.
⒉假如（　C）成立，则事件与互为对立事件．
A. B.
C. 且 D. 与互为对立事件
⒊ C
4. 对于事件，命题（D　）是正确的．
A. 假如互不相容，则互不相容
B. 假如，则
C. 假如对立，则对立
D. 假如相容，则相容
⒌某随机试验的成功率为,则在3次重复试验中最少失败1次的概率为（D　）．
A. B. C. D.
6.设随机变量，且，则参数与分别是（A　）．
A. 6, 0.8 B. 8, 0.6 C. 12, 0.4 D. 14, 0.2
7.设为连续型随机变量的密度函数，则对任意的，（A　）．
A. B.
C. D.
8.在下列函数中能够作为分布密度函数的是（B　）．
A. B.
C. D.
9.设连续型随机变量的密度函数为，分布函数为，则对任意的区间，则（　D）．
A. B.
C. D.
10.设为随机变量，，当（C　）时，有．
A. B.
C. D.
（二）填空题
⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为．
2.已知，则当事件互不相容时， 0.8 ， 0.3 ．
3.为两个事件，且，则．
4. 已知，则．
5. 若事件相互独立，且，则．
6. 已知，则当事件相互独立时， 0.65 ， 0.3 ．
7.设随机变量，则的分布函数．
8.若，则 6 ．
9.若，则．
10.称为二维随机变量的 协方差 ．
（三）解答题
1.设为三个事件，试用的运算分别表示下列事件：
⑴ 中最少有一个发生；
⑵ 中只有一个发生；
⑶ 中至多有一个发生；
⑷ 中最少有两个发生；
⑸ 中不多于两个发生；
⑹ 中只有发生．
解:(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
2. 袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率：
⑴ 2球恰好同色；
⑵ 2球中最少有1红球．
解:设=“2球恰好同色”，=“2球中最少有1红球”

3. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，假如第一道工序出次品则此零件为次品；假如第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率．
解：设“第i道工序出正品”（i=1,2）

4. 市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率．
解：设

5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止．已知他每发命中的概率是，求所需设计次数的概率分布．
解：

…………

…………
故X的概率分布是

6.设随机变量的概率分布为

试求．
解：

7.设随机变量具备概率密度

试求．
解：

8. 设，求．
解：

9. 设，计算⑴；⑵．
解：

10.设是独立同分布的随机变量，已知，设，求．
解：

工程数学作业（第四次）

第6章 统计推断
（一）单项选择题
⒈设是来自正态总体（均未知）的样本，则（A）是统计量．
A. B. C. D.
⒉设是来自正态总体（均未知）的样本，则统计量（D）不是的无偏估量．
A. B.
C. D.

（二）填空题
1．统计量就是 不含未知参数的样本函数 ．
2．参数估量的两种措施是 点估量 和 区间估量 ．常用的参数点估量有 矩估量法 和 最大似然估量 两种措施．
3．比较估量量好坏的两个重要标准是 无偏性 ， 有效性 ．
4．设是来自正态总体（已知）的样本值，按给定的明显性水平检查，需选用统计量．
5．假设检查中的明显性水平为事件（u为临界值）发生的概率．

（三）解答题
1．设对总体得到一个容量为10的样本值
4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0
试分别计算样本均值和样本方差．
解：

2．设总体的概率密度函数为

试分别用矩估量法和最大似然估量法估量参数．
解：提示教材第214页例3
矩估量：
最大似然估量：

，
3．测两点之间的直线距离5次，测得距离的值为（单位：m）：
108.5 109.0 110.0 110.5 112.0
测量值能够以为是服从正态分布的，求与的估量值．并在⑴；⑵未知的情况下，分别求的置信度为0.95的置信区间．
解：
（1）当初，由1－α＝0.95， 查表得：
故所求置信区间为：
（2）当未知时，用替代，查t (4, 0.05 ) ，得
故所求置信区间为：
4．设某产品的性能指标服从正态分布，从历史资料已知，抽查10个样品，求得均值为17，取明显性水平，问原假设是否成立．
解：，
由 ，查表得：
因为 > 1.96 ，因此拒绝

5．某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为（单位：cm）：
20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5
问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（）．
解：由已知条件可求得：

∵ | T | < 2.62 ∴ 接收H0

即用新材料做的零件平均长度没有变化。