新教材 人教B版高中数学选择性必修第三册 第五章 数列 学案(知识点考点汇总及配套习题,含解析).docx

“微信朋友圈”中的数学在微信朋友圈，信息的传播速度是惊人的，正所谓“一传十，十传百， 百传千，千传万， ”我们能否用下面一列数来记录这一传播过程：1,10,100,1 000,10 000， 第五章 数列5.1 数列基础5.1.1 数列的概念学 习 目 标1.理解数列的概念 (重点)2 掌握数列的通项公式及应用 (难点)3能根据数列的前几项写出数列的一个通项 公式 (易错点)核 心 素 养 1.通过数列概念的学习，培养数学抽象的素养2通过数列通项公式的学习，提升逻辑推理 的数学素养.1 数列的概念及一般形式思考 1：数列 1,2,3 与数列 2,1,3 相同吗？提示 不同，顺序不一样2 数列的分类按项的个数类别有穷数列含义项数有限的数列项数无限的数列从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列各项都相等的数列无穷数列递增数列按项的变化递减数列趋势常数列3.数列的通项公式一般地，如果数列的第 n 项an 与 n 之间的关系可以用anf(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的通项公式思考 2：数列一定有通项公式吗？提示 不一定4 数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：正整数集 N (或它的有限子集1,2,3， n)数列的通项公式由自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值构成(1)通项公式(解析法)； (2)列表法； (3)图像法定义域解析式值域表示方法思考 3：数列所对应的图像是连续的吗？提示 不连续拓展： (1)解读数列的通项公式数列的通项公式实际上是一个以正整数集 N 或它的有限子集1,2,3， ， n为定义域的函数解析式和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的(2)摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列1 思考辨析(正确的画“ ”，错误的画“”)(1)1,7,0,11，3，1 000 不构成数列 ( )(2)an 与 an 是一样的，都表示数列 ( )(3)数列 1,0,1,0,1,0，是常数列 ( )(4)数列 1,2,3,4 可表示为1,2,3,4 ( )答案 (1) (2) (3) (4)n12 (教材 P7 练习 AT2(3)改编)已知数列an 的通项公式为an n(n1)，那么 a5 ( )3A.202B.151C.41D.6n1 4 2B an n(n1)， a5 56 15，故选 B.3数列 0,1,2,3,4，的一个通项公式可以为( )n nA a n1 B a nC ann1 D ann21 A 结合选项可知， ann1，故选 A.4下列说法正确的是_(填序号)1,1,1,1 是有穷数列；从小到大的自然数构成一个无穷递增数列；数列 1,2,3,4， 2n 是无穷数列 因为 1,1,1,1 只有 4 项，所以正确； 正确；数列 1,2,3,4， ， 2n 共有 2n 项，是有穷数列，所以错误 数列的概念及分类【例 1】 已知下列数列：2 015,2 016,2 017,2 018,2 019,2 020；1 1 11， 2， 4， 2n1，；1，3， 5， 2n1 ，；n2 3 (1)n1n1,0，1， sin 2 ，；2,4,8,16,32，；1，1，1，1.其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，递减数列是 _，常数列是_，摆动数列是_ (填序号) 为有穷数列且为递增数列； 为无穷、递减 数列； 为无穷、摆动数列； 是摆动数列，是无穷数列，也是周期为 4 的周期数列； 为递增数列，也是无穷数列； 为有穷数列，也是常数列 1 与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)； 数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物 2判断数列是哪一种类型时要紧扣概念及数列的特点判断是递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；判断是有穷还是无穷数列则要看项的个数有限还是无限跟进训练1 给出下列数列：2013 2020 年 某 市 普 通 高 中 生 人 数 ( 单 位 ： 万 人 ) 构 成 数 列 82,93,105,119,129,130,132,135.无穷多个 3构成数列 3， 3， 3， 3 ， .2 的 1 次幂， 2 次幂， 3 次幂， 4 次幂，构成数列2,4，8,16，32， .其中，有穷数列是 _ ，无穷数列是 _ ，递增数列是 _ ，常数列是 _，摆动数列是_ 为有穷数列； 是无穷数列，同时也是递增数列； 为常数列； 为摆动数列 由数列的前几项求通项公式【例 2】 (教材 P5 例 2 改编)写出下列数列的一个通项公式：1 9 25(1)2， 2， 2， 8， 2 ，；(2)9,99,999,9 999，；22 1 32 2 42 3 52 4(3) 1 ， 3 ， 5 ， 7 ，；1 1 1 1(4) 1 2， 23， 34， 45， .思路点拨 先观察各项的特点， 注意前后项间的关系， 分子与分母的关系， 项与序号的 关系，每一项符号的变化规律，然后归纳出通项公式1 4 9解 (1)数列的项， 有的是分数， 有的是整数， 可将各项都统一成分数再观察： 2， 2， 2，16 25 n22， 2， ，所以，它的一个通项公式为 an 2(nN )(2)各项加 1 后，变为 10,100,1 000,10 000， 此数列的通项公式为 10n ，可得原数列的通项公式为 an10n1(nN)(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从 1 开始的奇数列，可用 2n1表示；分子的前 一部分是从 2 开始的自然数的平方，可用(n1)2 表示，分子的后一部分是减去一个从 1 开始的自然数，可用 n 表示，综上，原数列的通项公式为an 2n1 (nN)(n1)2n(4)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是 an (1)nnN)1 根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号特征并对此进行归纳、联想2观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与序号之间的关系、规 律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(1)n 或(1)n1 来调整跟进训练2 写出下列数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，；(2)1，3,5，7,9，；1 2 3 4(3)12， 23， 34， 45 ，；(4)1,11,111,1 111， .解 (1)观察数列中的数，可以看到 011,341,891,15161,24251，n 所以它的一个通项公式是 a n21(nN )(2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9， ，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数 项为负，所以它的一个通项公式为 an (1)n1(2n1)(nN)n1(3)此数列的整数部分为 1,2,3,4， 恰好是序号 n，分数部分与序号 n 的关系为 n ，故所求的数列的一个通项公式为 annn1 n1 (nN)n n22n1 1 1 1(4)原数列的各项可变为9 9， 9 99， 9 999， 9 9 999， ， 易知数列 9,99,999,9 999， 1的一个通项公式为 an10n1.所以原数列的一个通项公式为 an 9(10n1)(nN )数列通项公式的应用探究问题n n1 已知数列a 的通项公式为 a n22n1，该数列的图像有何特点？试利用图像说明该数列的单调性及所有的正数项n提示 由数列与函数的关系可知，数列 a 的图像是分布在二次函数 yx22x1图像上的离散的点，如图所示，从图像上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第 3 项往后各项为负数项2 若数列an 满足 an1an0，nN 都成立，则该数列an 是递增数列吗？提示 是因为 an1an0，故 an1an ，所以数列an 是递增数列1【例 3】 已知函数f(x)xx .数列an 满足f(an) 2n，且 an0.(1)求数列an 的通项公式；(2)判断数列an 的增减性思路点拨 先根据已知条件解方程求 an，再利用作差法或作商法判断数列an 的增减性1解 (1)f(x)xx， f(an) 2n，1an an 2n，即 an(2)2nan10，解得 an n n21，an0， an n21n.(2)法一： (作差法)an1an (n1)21(n1)( n21n) (n1)21 n211 1 (n1)21 n21 (n1)21 n21(n1)21 n21 1，(n1)n(n1)21 n21又 (n1)21n1， n21n， 1.(n1)n(n1)21 n21an1an0，即 an10，(n1)21(n1)n21nn21n 1.(n1)21(n1)an10， an1an .数列an 是递增数列.1 an 与 an 是含义不同的两种表示， an 表示数列 a1， a2， an ，是数列的一种 简记形式而 an 只表示数列an 的第 n 项， an 与an 是“个体”与“整体”的从属关系2 要注意以下两个易错点：(1)并非所有的数列都有通项公式，例如， 的不同近似值，依据精确的程度可形成一个 数列 3,3. 1,3. 14,3. 141，它没有通项公式(2)如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式3由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系具 体方法为： (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等； (2)分析这一结构中变化的部分与不 变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式； (3)对于符号交替出现的情况， 可先观察其绝对值， 再以(1)n 或(1)n1 处理符号； (4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.1下列叙述正确的是( )A数列 1,3,5,7 与 7,5,3,1 是相同的数列B数列 0,1,2,3，可以表示为nC数列 0,2,0,2，是常数列D数列 是递增数列n n 1 n 1D 令 an n1，则 an1 an n2 n1 (n1)(n2)0，an1an， 1 即数列an 是递增数列，故选 D.2已知数列an 的通项公式为 an 2 ，则该数列的前 4 项依次为( )1(1)n1A 1,0,1,01 12 2C.， 0， ， 0B 0,1,0,1D 2,0,2,0A 当 n 分别等于 1,2,3,4 时， a11， a20， a31， a40.3数列an 满足 an log2(n23)2，则 log23 是这个数列的第_项 3 令 an log2(n23)2log23，解得 n3.4观察数列 1,3,6,10， x,21,28，的特点，则 x 的值为_15 结合数字特征可知 312,633,1064,28217， x105,21x6， x15.5已知数列a 的通项公式为 a 3n228n.n n(1)写出数列的第 4 项和第 6 项；(2)49 和 68 是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由n解 (1)a 3n228n，a434228464，a636228660.(2)令 3n228n49，即 3n228n490，7n7 或 n 3(舍)49 是该数列的第7 项，即 a7 49.令 3n228n68，即 3n228n680，34n2 或 n 3 .342N， 3 N，68 不是该数列的项5.1.2 数列中的递推核 心 素 养 1.通过数列递推公式的学习，培养逻辑推理的素养2借助递推公式的应用学习，提升数据分 析的素养.学 习 目 标1.理解递推公式的含义 (重点)2 掌握递推公式的应用 (难点)3会利用 an 与 Sn 的关系求通项公式 (易错点)古希腊的毕达哥拉斯学派将 1,3,6,10 等数称为三角形数，因为这些数目的点总可以摆成一个三角形，如图所示把所有的三角形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列an 问题： a2 与 a1， a3 与 a2， a4 与 a3 之间分别存在怎样的等量关系？1 数列的递推公式如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式)拓展：数列递推公式与通项公式的关系递推公式 通项公式表示 an 与它的前一项 an1(或前几项)之间的关系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式表示 an 与 n 之间的关系区别联系2.数列的前 n 项和(1)一般地，给定数列an ，称 Sna1a2a3 an 为数列an 的前 n 项和(2)Sn 与 an 的关系(|S1 n1)，an |Sn Sn1 n2).1 思考辨析(正确的画“ ”，错误的画“”)(1)递推公式是表示数列的一种方法 ( )(2)所有的数列都有递推公式 ( )(3)若数列an 的前 n 项和为 Sn ，则 anSnSn1， nN . ( )(4)若数列an 的前 n 项和为 Sn ，则 a1S1 . ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 1 1 12 (教材 P9 例 1 改编)数列 1， 2， 4， 8 ，的递推公式可以是( )1A an 2n1B an 2n1C an12an D an12an C 由题意可知 C 选项符合，故选 C.3已知数列an 的前 n 项和 Snn2 ，则 a2 _. 3 a2S2S1413.1 14已知数列an 中， a1 2， an11a ，则 a2_. n1 13 因为 a1 2， an11 a ，n1所以 a21 a 123.1由递推关系写出数列的项【例 1】 (1)已知数列an 满足关系 anan11an1(nN)且 a2 0192，则 a2 020 ( )1 1 1 1A3 B.3 C 2 D.2(2)已知数列an 满足 a11， an2an6，则 a11 的值为( )A 31 B 32 C 61 D 62(1)B (2)A (1)由 anan11an1， 得 an1，又a2 0192，1a2 020 3 ，故选 B.(2)数列an 满足 a11， an2an6，a3617， a56713， a761319， a961925， a1162531，故选4 52a 1A.(由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算 即可.(2)若知道的是末项， 通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式， 如 an2an11.(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如 an1n 2 .跟进训练1已知数列an 的第 1 项 a11，以后的各项由公式 an1给出，试写出这个数列的前 5 项解 a11， an1，2a 2a2 3，22a 23 1a3 a 2 2 2，2 3 212a 22 2a4 a 2 1 5，3 2 222a 25 145 a 2 2 3a .2 1 2 1故该数列的前 5 项为 1， 3， 2， 5， 3.已知 Sn 求通项公式 an【例 2】 (教材 P12 例 3 改编)已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，求an 的通项公式：(1)Sn2n23n；(2)Sn3n2.思路点拨 应用 anSnSn1(n2)求解，注意检验 n1 时 a1 是否满足 an(n2) 解 (1)当 n1 时， a1S1231；当 n2 时， anSnSn1(变条件)若把本例(1)中的 Sn 换为 Sn2n23n1，再求an 的通项公式|23n1， n2.2n23n2(n1)23(n1)4n5.(*)当 n1 时， a1 满足(*)式，故 an4n5.(2)当 n1 时， a1S1321.当 n2 时， anSnSn1(3n2)(3n12)23n1 .(*)当 n1 时， a1 不满足(*)式，故 an (|1， n1，解 当 n1 时， a1S12310，当 n2 时， anSnSn14n5.(*)显然 n1 不满足(*)式，故 an |4n5， n2.(|0， n1，(已知数列an 的前 n 项和公式 Sn ，求通项公式 an 的步骤： 1)当 n1 时， a1S1 . 2)当 n2 时，根据 Sn 写出 Sn1，化简 anSnSn1. 3)如果 a1 也满足当 n2 时， anSnSn1 的通项公式，那么数列an 的通项公式为 anSnSn1； ,如果 a1 不满足当 n2 时， anSnSn1 的通项公式，那么数列an 的通项公式要分段表示为 an.数列的递推公式与通项公式的关系探究问题a1 在数列an 中， a132，照此递推关系，你能写出an 任何相邻两项满足的关 n系吗？若将这些关系式两边分别相乘，你能得到什么结论？a a a a a提示 按照 a(n)12 可得a22， a32， a42， ， a n 2(n2)，将这些式子两边分n 1 2 3 n 1a a a a别相乘可得a2 a3 a4 a n 22 2.1 2 3 n 1a则an2n1，所以 an32n1(nN )12 在数列an 中，若 a13， an1an2，照此递推关系试写出前 n 项中，任何相邻两nan1n1an，项的关系，将这些式子两边分别相加，你能得到什么结论？提示 由 an1an2 得 a2a12，a3a22，a4a32， ，anan12(n2，nN )，将这些式子两边分别相加得： a2a1a3a2a4a3anan12(n1)，即 ana1 2(n1)，所以有 an 2(n1)a12n1(nN)【例 3】 设数列an 是首项为 1 的正项数列，且 an1n 1an(nN)，求数列的通项公式思路点拨 由递推公式，分别令 n 1,2,3，得 a2， a3， a4 ，由前 4 项观察规律，可归纳出它的通项公式；或利用 an1n 1an 反复迭代；或将 an1n 1an 变形为n 1进行累 乘；或将 an1n 1an 变形为(nnn11，构造数列nan 为常数列解 法一： (归纳猜想法)因为 an1n 1an， a11， a2 2(1) 1 2(1)， a3 3(2)2(1)3(1)， a4 4(3)1 13 4， 1猜想 an n.n法二： (迭代法)因为 an1n1an，n1 n1 n2 n1 n2 1 1所以 an n an 1 n n1an 2 n n1 2a1 ，从而 an n.法三： (累乘法)因为 an1n1an，所以an1 n ，nan n1则 an an1 a2 n1n2 1，an1 an2 a1 n n1 21所以 an n.法四： (转化法)因为所以(n1)an 11，nan1故数列nan 是常数列， nan a11，所以 an n.由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为 an1anf(n)或 an1g(n)an ，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当 an an1f(n)时，常用 an (anan1)(an1an2)(a2a1)a1 求 通项公式(2)累乘法：当g(n)时，常用 an a(a)1(2)a1 求通项公式跟进训练2已知数列an 中， a12， an1an3(nN)，写出这个数列的前 5 项，猜想 an 并加 以证明解 a12， a2 a135，a3 a238， a4 a3311，a5 a4314，猜想： an3n1.证明如下：由 an1an3得a2 a13，a3 a23，a4 a33，an an13.将上面的(n1)个式子相加，得ana1 3(n1)，所以 an23(n1)3n1.1因为 anSnSn1 只有当 n2 时才有意义，所以由 Sn 求通项公式 anf(n)时，要分n 1 和 n2 两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分 段函数的形式表示2要注意通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映 an 和 n 之间的关系，即an 是 n 的函数，知道任意一个具体的n 值，就 可以求出该项的值 an； 而递推公式则是间接反映数列的式子， 它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由 n 直接得出an .1数列 1,3,6,10,15，的递推公式是( )A an1ann， nNB an an1n， nN， n2C an1an(n1)， nND anan1(n1)， nN， n2 C 由题意知 a2a12，a3a23，a4a34，an1ann1， nN ，故选 C.2数列an 的前 n 项和 Sn3n22n1，则数列an 的通项公式 an 为( )(|2， n1A an6n5 B an |6n5， n2C a 6n1 D a (|2， n1n