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“微信朋友圈”中的数学
在微信朋友圈，信息的传播速度是惊人的，正所谓“一传十，十传百， 百传千，千传万， …”
我们能否用下面一列数来记录这一传播过程：
1,10,100,1 000,10 000， …
第五章 数列
5.1 数列基础
5.1.1 数列的概念
学 习 目 标
1.理解数列的概念． (重点)
2 ．掌握数列的通项公式及应用． (难点)
3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项 公式． (易错点)
核 心 素 养 1.通过数列概念的学习，培养数学抽象的素
养．
2．通过数列通项公式的学习，提升逻辑推理 的数学素养.
1． 数列的概念及一般形式
思考 1：数列 1,2,3 与数列 2,1,3 相同吗？
[提示] 不同，顺序不一样．
2． 数列的分类
按项的个数
类别
有穷数列
含义
项数有限的数列
项数无限的数列
从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列
从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列
各项都相等的数列
无穷数列
递增数列
按项的变化
递减数列
趋势
常数列
3.数列的通项公式
一般地，如果数列的第 n 项an 与 n 之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n
的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的通项公式．
思考 2：数列一定有通项公式吗？
[提示] 不一定．
4． 数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
正整数集 N (或它的有限子集{1,2,3，…， n})
数列的通项公式
由自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值构成
(1)通项公式(解析法)； (2)列表法； (3)图像法
定义域
解析式
值域
表示方法
＋
思考 3：数列所对应的图像是连续的吗？
[提示] 不连续．
拓展： (1)解读数列的通项公式
＋
①数列的通项公式实际上是一个以正整数集 N 或它的有限子集{1,2,3， …， n}为定义域
的函数解析式．
②和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．
③有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的．
(2)摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
1． 思考辨析(正确的画“√ ”，错误的画“×”)
(1)1,7,0,11，－3，…，－1 000 不构成数列． ( )
(2){an }与 an 是一样的，都表示数列． ( )
(3)数列 1,0,1,0,1,0，…是常数列． ( )
(4)数列 1,2,3,4 可表示为{1,2,3,4}． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
n－1
2． (教材 P7 练习 AT2(3)改编)已知数列{an }的通项公式为an ＝n(n＋1)，那么 a5 ＝( )
3
A
.
20
2
B
.
15
1
C.
4
1
D
.
6
n－1 4 2
B [∵an ＝n(n＋1)， ∴a5 ＝5×6＝ 15，故选 B.]
3．数列 0,1,2,3,4，…的一个通项公式可以为( )
n n
A． a ＝n－1 B． a ＝n
C． an＝n＋1 D． an＝n2－1 A [结合选项可知， an＝n－1，故选 A.]
4．下列说法正确的是________(填序号)．
①1,1,1,1 是有穷数列；
②从小到大的自然数构成一个无穷递增数列；
③数列 1,2,3,4，…， 2n 是无穷数列．
①② [因为 1,1,1,1 只有 4 项，所以①正确； ②正确；数列 1,2,3,4， …， 2n 共有 2n 项，
是有穷数列，所以③错误． ]
数列的概念及分类
【例 1】 已知下列数列：
①2 015,2 016,2 017,2 018,2 019,2 020；
1 1 1
②1， 2， 4，…， 2n－1，…；
③1，－3， 5，…， 2n－1 ，…；
nπ
2 3 (－1)n－1·n
④1,0，－1，…， sin 2 ，…；
⑤2,4,8,16,32，…；
⑥－1，－1，－1，－1.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是 ________，常数列是________，摆动数列是________． (填序号)
①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④ [①为有穷数列且为递增数列； ②为无穷、递减 数列； ③为无穷、摆动数列； ④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为 4 的周期数列； ⑤为
递增数列，也是无穷数列； ⑥为有穷数列，也是常数列． ]
1． 与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：
①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；
②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；
③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而
集合中的元素没有顺序(即无序性)； ④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物． 2．判断数列是哪一种类型时要紧扣概念及数列的特点．判断是递增、递减、摆动还是常
数列要从项的变化趋势来分析；判断是有穷还是无穷数列则要看项的个数有限还是无限．
[跟进训练]
1 ．给出下列数列：
①2013 ~ 2020 年 某 市 普 通 高 中 生 人 数 ( 单 位 ： 万 人 ) 构 成 数 列 82,93,105,119,129,130,132,135.
②无穷多个 3构成数列 3， 3， 3， 3 ，… .
③－2 的 1 次幂， 2 次幂， 3 次幂， 4 次幂，…构成数列－2,4，－8,16，－32，… .
其中，有穷数列是 ________ ，无穷数列是 ________ ，递增数列是 ________ ，常数列是 ________，摆动数列是________．
① ②③ ① ② ③ [①为有穷数列； ②③是无穷数列，同时①也是递增数列； ②为
常数列； ③为摆动数列． ]
由数列的前几项求通项公式
【例 2】 (教材 P5 例 2 改编)写出下列数列的一个通项公式：
1 9 25
(1)2， 2， 2， 8， 2 ，…；
(2)9,99,999,9 999，…；
22 －1 32 －2 42 －3 52 －4
(3) 1 ， 3 ， 5 ， 7 ，…；
1 1 1 1
(4) －1 ×2， 2×3，－ 3×4， 4×5，… .
[思路点拨] 先观察各项的特点， 注意前后项间的关系， 分子与分母的关系， 项与序号的 关系，每一项符号的变化规律，然后归纳出通项公式．
1 4 9
[解] (1)数列的项， 有的是分数， 有的是整数， 可将各项都统一成分数再观察： 2， 2， 2，
16 25 n2
2， 2， …，所以，它的一个通项公式为 an ＝ 2(n∈N＋ )．
(2)各项加 1 后，变为 10,100,1 000,10 000， …此数列的通项公式为 10n ，可得原数列的通
项公式为 an＝10n－1(n∈N＋)．
(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从 1 开始的奇数列，可用 2n－1表示；分子的前 一部分是从 2 开始的自然数的平方，可用(n＋1)2 表示，分子的后一部分是减去一个从 1 开始
的自然数，可用 n 表示，综上，原数列的通项公式为an ＝ 2n－1 (n∈N＋)．
(n＋1)2－n
(4)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为负，偶数
项为正，所以它的一个通项公式是 an ＝(－1)nn∈N＋)．
1． 根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：
①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；
③拆项后的特征；
④各项符号特征．并对此进行归纳、联想．
2．观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与序号之间的关系、规 律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正
负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1 来调整．
[跟进训练]
2 ．写出下列数列的一个通项公式：
(1)0,3,8,15,24，…；
(2)1，－3,5，－7,9，…；
1 2 3 4
(3)12， 23， 34， 45 ，…；
(4)1,11,111,1 111，… .
[解] (1)观察数列中的数，可以看到 0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，
n ＋
所以它的一个通项公式是 a ＝n2－1(n∈N )．
(2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9， …，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数 项为负，所以它的一个通项公式为 an ＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N＋)．
n＋1
(3)此数列的整数部分为 1,2,3,4， …恰好是序号 n，分数部分与序号 n 的关系为 n ，故
所求的数列的一个通项公式为 an＝n＋n＋1＝ n＋1 (n∈N＋)．
n n2＋2n
1 1 1 1
(4)原数列的各项可变为9 ×9， 9 ×99， 9 ×999， 9 ×9 999， …， 易知数列 9,99,999,9 999， …
1
的一个通项公式为 an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为 an ＝9(10n－1)(n∈N＋ )．
数列通项公式的应用
[探究问题]
n n
1． 已知数列{a }的通项公式为 a ＝－n2＋2n＋1，该数列的图像有何特点？试利用图像
说明该数列的单调性及所有的正数项．
n
[提示] 由数列与函数的关系可知，数列 {a }的图像是分布在二次函数 y＝－x2＋2x＋1
图像上的离散的点，如图所示，从图像上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数
项，从第 3 项往后各项为负数项．
2． 若数列{an }满足 an＋1－an>0，
n∈N ＋都成立，则该数列{an }是递增数列吗？
[提示] 是．因为 an＋1－an>0，故 an＋1>an ，所以数列{an }是递增数列．
1
【例 3】 已知函数f(x)＝x－x .数列{an }满足f(an) ＝－2n，且 an>0.
(1)求数列{an }的通项公式；
(2)判断数列{an }的增减性．
[思路点拨] 先根据已知条件解方程求 an，再利用作差法或作商法判断数列{an }的增减性．
1
[解] (1)∵f(x)＝x－x， f(an) ＝－2n，
1
∴an －an ＝－2n，即 an(2)＋2nan－1＝0，
解得 an ＝－ n± n2＋1，
∵an>0， ∴an ＝ n2＋1－n.
(2)法一： (作差法)
∵an＋1－an ＝ (n＋1)2＋1－(n＋1)－( n2＋1－n)
＝ (n＋1)2＋1－ n2＋1－1
＝ －1
[ (n＋1)2＋1－ n2＋1][ (n＋1)2＋1＋ n2＋1]
(n＋1)2＋1＋ n2＋1
＝ －1，
(n＋1)＋n
(n＋1)2＋1＋ n2＋1
又 (n＋1)2＋1>n＋1， n2＋1>n，
∴ <1.
(n＋1)＋n
(n＋1)2＋1＋ n2＋1
∴an＋1－an<0，即 an＋1<an . ∴数列{an }是递减数列．
法二： (作商法)
∴an＋1＝ an
∵an>0，
(n＋1)2＋1－(n＋1)
n2＋1－n
n2＋1＋n
＝ <1.
(n＋1)2＋1＋(n＋1)
∴an＋1<an . ∴数列{an }是递减数列．
1． 由通项公式写出数列的指定项，主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函 数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．
2 ．判断一个数是不是该数列中的项，其方法是由通项公式构造方程，求方程的根，根据
方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项． 3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是
{1,2,3，…， n})这一约束条件．
[跟进训练]
3．已知数列的通项公式为 an＝n2＋2n－5.
(1)写出数列的前 3 项；
(2)判断数列{an }的增减性．
[解] (1)数列的前 3 项： a1＝12＋2×1－5＝－2； a2＝22＋2×2－5＝3；
a3＝32＋2×3－5＝10.
(2)∵an＝n2＋2n－5，
∴an＋1－an ＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5)
＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5
＝2n＋3.
＋
N (或它的有限子集
＋，
∵n∈N
∴2n＋3>0， ∴an＋1>an .
∴数列{an }是递增数列.
1． {an }与 an 是含义不同的两种表示， {an }表示数列 a1， a2，…， an ，…，是数列的一种 简记形式．而 an 只表示数列{an }的第 n 项， an 与{an }是“个体”与“整体”的从属关系．
2 ．要注意以下两个易错点：
(1)并非所有的数列都有通项公式，例如， π 的不同近似值，依据精确的程度可形成一个 数列 3,3. 1,3. 14,3. 141，…，它没有通项公式．
(2)如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．
3．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．具 体方法为： (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等； (2)分析这一结构中变化的部分与不 变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式； (3)对于符号交替出现的情况， 可先观察其绝对值， 再以(－1)n 或(－1)n＋1 处理符号； (4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几
个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.
1．下列叙述正确的是( )
A．数列 1,3,5,7 与 7,5,3,1 是相同的数列
B．数列 0,1,2,3，…可以表示为{n}
C．数列 0,2,0,2，…是常数列
D．数列 是递增数列
n n ＋1 n 1
D [令 an ＝n＋1，则 an＋1－ an ＝n＋2－ n＋1＝ (n＋1)(n＋2)>0，
∴an＋1>an， 1 即数列{an }是递增数列，故选 D.]
2．已知数列{an }的通项公式为 an ＝ 2 ，则该数列的前 4 项依次为( )
1＋(－1)n＋1
A． 1,0,1,0
1 1
2 2
C.， 0， ， 0
B． 0,1,0,1
D． 2,0,2,0
A [当 n 分别等于 1,2,3,4 时， a1＝1， a2＝0， a3＝1， a4＝0.]
3．数列{an }满足 an ＝log2(n2＋3)－2，则 log23 是这个数列的第________项． 3 [令 an ＝log2(n2＋3)－2＝log23，解得 n＝3.]
4．观察数列 1,3,6,10， x,21,28，…的特点，则 x 的值为________．
15 [结合数字特征可知 3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4,28－21＝7， ∴x－10＝5,21－x＝6， ∴x＝15.]
5．已知数列{a }的通项公式为 a ＝3n2－28n.
n n
(1)写出数列的第 4 项和第 6 项；
(2)－49 和 68 是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
n
[解] (1)∵a ＝3n2－28n，
∴a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)令 3n2－28n＝－49，即 3n2－28n＋49＝0，
7
∴n＝7 或 n＝ 3(舍)．
∴－49 是该数列的第7 项，即 a7 ＝－49.
令 3n2－28n＝68，即 3n2－28n－68＝0，
34
∴n＝－2 或 n＝ 3 .
34
∵－2∉N＋， 3 ∉N＋，
∴68 不是该数列的项．
5.1.2 数列中的递推
核 心 素 养 1.通过数列递推公式的学习，培养逻辑推理
的素养．
2．借助递推公式的应用学习，提升数据分 析的素养.
学 习 目 标
1.理解递推公式的含义． (重点)
2 ．掌握递推公式的应用． (难点)
3．会利用 an 与 Sn 的关系求通项公式． (易错点)
古希腊的毕达哥拉斯学派将 1,3,6,10 等数称为三角形数，因为这些数目的点总可以摆成
一个三角形，如图所示．把所有的三角形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列{an }．
问题： a2 与 a1， a3 与 a2， a4 与 a3 之间分别存在怎样的等量关系？
1． 数列的递推公式
如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式
来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式)．
拓展：数列递推公式与通项公式的关系
递推公式 通项公式
表示 an 与它的前一项 an－1(或前几项)
之间的关系
(1)都是表示数列的一种方法；
(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
表示 an 与 n 之间的关系
区别
联系
2.数列的前 n 项和
(1)一般地，给定数列{an }，称 Sn＝a1＋a2＋a3 ＋…＋an 为数列{an }的前 n 项和．
(2)Sn 与 an 的关系
(|S1 n＝1)，
an ＝〈|Sn －Sn－1 n≥2).
1． 思考辨析(正确的画“ √ ”，错误的画“×”)
(1)递推公式是表示数列的一种方法． ( )
(2)所有的数列都有递推公式． ( )
(3)若数列{an }的前 n 项和为 Sn ，则 an＝Sn－Sn－1， n∈N＋ . ( )
(4)若数列{an }的前 n 项和为 Sn ，则 a1＝S1 . ( ) [答案] (1) √ (2)× (3)× (4) √
1 1 1
2． (教材 P9 例 1 改编)数列 1， 2， 4， 8 ，…的递推公式可以是( )
1
A． an ＝2n
1
B． an ＝2n
1
C． an＋1＝2an D． an＋1＝2an C [由题意可知 C 选项符合，故选 C.]
3．已知数列{an }的前 n 项和 Sn＝n2 ，则 a2 ＝________. 3 [a2＝S2－S1＝4－1＝3.]
1 1
4．已知数列{an }中， a1 ＝－ 2， an＋1＝1－a ，则 a2__________. n
1 1
3 [因为 a1 ＝－ 2， an＋1＝1－ a ，
n
1
所以 a2＝1－ a ＝1＋2＝3.]
1
由递推关系写出数列的项
【例 1】 (1)已知数列{an }满足关系 anan＋1＝1－an＋1(n∈N＋)且 a2 019＝2，则 a2 020 ＝( )
1 1 1 1
A．－3 B.3 C ．－ 2 D.2
(2)已知数列{an }满足 a1＝1， an＋2－an＝6，则 a11 的值为( )
A． 31 B． 32 C． 61 D． 62
(1)B (2)A [(1)由 anan＋1＝1－an＋1， 得 an＋1＝，
又∵a2 019＝2，
1
∴a2 020 ＝3 ，故选 B.
(2)∵数列{an }满足 a1＝1， an＋2－an＝6，
∴a3＝6＋1＝7， a5＝6＋7＝13， a7＝6＋13＝19， a9＝6＋19＝25， a11＝6＋25＝31，故选
4 5＋2
a －1
A.]
(由递推公式写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算 即可.
(2)若知道的是末项， 通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式， 如 an＝2an
＋1
＋1.
(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如 an＋1＝
n 2 .
[跟进训练]
1．已知数列{an }的第 1 项 a1＝1，以后的各项由公式 an＋1＝给出，试写出这个数列
的前 5 项．
[解] ∵a1＝1， an＋1＝，
2a 2
∴a2 ＝＝3，
2
2a 2×3 1
a3 ＝a 2 ＝2 ＝2，
2 3 ＋2
1
2a 2×2 2
a4 ＝a 2 ＝ 1 ＝5，
3 2 ＋2
2
2a 2×5 1
4
5 a ＋2 2 3
a ＝ ＝ ＝ .
2 1 2 1
故该数列的前 5 项为 1， 3， 2， 5， 3.
已知 Sn 求通项公式 an
【例 2】 (教材 P12 例 3 改编)已知数列{an }的前 n 项和为 Sn ，求{an }的通项公式：
(1)Sn＝2n2－3n；
(2)Sn＝3n－2.
[思路点拨] 应用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)求解，注意检验 n＝1 时 a1 是否满足 an(n≥2)． [解] (1)当 n＝1 时， a1＝S1＝2－3＝－1；
当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1
(变条件)若把本例(1)中的 Sn 换为 Sn＝2n2－3n＋1，再求{an }的通项公式．
|2·3n－1， n≥2.
＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]
＝4n－5.(*)
当 n＝1 时， a1 满足(*)式，故 an＝4n－5.
(2)当 n＝1 时， a1＝S1＝3－2＝1.
当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1 .(*)
当 n＝1 时， a1 不满足(*)式，
故 an ＝〈
(|1， n＝1，
[解] 当 n＝1 时， a1＝S1＝2－3＋1＝0，
当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝4n－5.(*)
显然 n＝1 不满足(*)式，
故 an ＝〈|4n－5， n≥2.
(|0， n＝1，
(已知数列{an }的前 n 项和公式 Sn ，求通项公式 an 的步骤：
1)当 n＝1 时， a1＝S1 .
2)当 n≥2 时，根据 Sn 写出 Sn－1，化简 an＝Sn－Sn－1.
3)如果 a1 也满足当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1 的通项公式，那么数列{an }的通项公式为 an＝
Sn－Sn－1； ,如果 a1 不满足当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1 的通项公式，那么数列{an }的通项公式要
分段表示为 an＝
.
数列的递推公式与通项公式的关系
[探究问题]
a
1． 在数列{an }中， a1＝3＝2，照此递推关系，你能写出{an }任何相邻两项满足的关 n
系吗？若将这些关系式两边分别相乘，你能得到什么结论？
a a a a a
[提示] 按照 a(n)＋1＝2 可得a2＝2， a3＝2， a4＝2， …， a n ＝2(n≥2)，将这些式子两边分
n 1 2 3 n －1
a a a a
别相乘可得a2 ·a3 ·a4 · … ·a n ＝2·2 · … ·2.
1 2 3 n －1
a
则an＝2n－1，所以 an＝3·2n－1(n∈N ＋)．
1
2． 在数列{an }中，若 a1＝3， an＋1－an＝2，照此递推关系试写出前 n 项中，任何相邻两
n
an＋1＝n＋1an，
项的关系，将这些式子两边分别相加，你能得到什么结论？
[提示] 由 an＋1－an＝2 得 a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2， …，an－an－1＝2(n≥2，n∈N ＋)，将这些式子两边分别相加得： a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋…＋an－an－1＝2(n－1)，即 an－a1 ＝2(n－1)，所以有 an ＝2(n－1)＋a1＝2n＋1(n∈N＋)．
【例 3】 设数列{an }是首项为 1 的正项数列，且 an＋1＝n 1an(n∈N＋)，求数列的通项
公式．
[思路点拨] 由递推公式，分别令 n＝ 1,2,3，得 a2， a3， a4 ，由前 4 项观察规律，可归纳
出它的通项公式；或利用 an＋1＝n 1an 反复迭代；或将 an＋1＝n 1an 变形为＝n 1进行累 乘；或将 an＋1＝n 1an 变形为(n＋nn＋1＝1，构造数列{nan }为常数列．
[解] 法一： (归纳猜想法)因为 an＋1＝n 1an， a1＝1， a2 ＝2(1)× 1 ＝2(1)， a3 ＝3(2)×2(1)＝3(1)， a4 ＝4(3)
1 1
×3 ＝4， …
1
猜想 an ＝n.
n
法二： (迭代法)因为 an＋1＝n＋1an，
n－1 n－1 n－2 n－1 n－2 1 1
所以 an ＝ n an －1＝ n ·n－1an －2＝ … ＝ n ·n－1· … ·2a1 ，从而 an ＝n.
法三： (累乘法)因为 an＋1＝n＋1an，
所以an＋1＝ n ，
n
an n＋1
则 an ·an－1· … ·a2 ＝n－1·n－2· … · 1，
an－1 an－2 a1 n n－1 2
1
所以 an ＝n.
法四： (转化法)因为
所以(n＋1)an ＋1＝1，
nan
1
故数列{nan }是常数列， nan ＝a1＝1，所以 an ＝n.
由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为 an＋1＝an＋f(n)或 an＋1＝g(n)·an ，则可以
分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：
(1)累加法：当 an ＝an－1＋f(n)时，常用 an ＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 求 通项公式．
(2)累乘法：当＝g(n)时，常用 an ＝·· … ·a(a)1(2)·a1 求通项公式．
[跟进训练]
2．已知数列{an }中， a1＝2， an＋1＝an＋3(n∈N＋)，写出这个数列的前 5 项，猜想 an 并加 以证明．
[解] a1＝2， a2 ＝a1＋3＝5，
a3 ＝a2＋3＝8， a4 ＝a3＋3＝11，
a5 ＝a4＋3＝14，
猜想： an＝3n－1.
证明如下：由 an＋1＝an＋3得
a2 ＝a1＋3，
a3 ＝a2＋3，
a4 ＝a3＋3，
…
an ＝an－1＋3.
将上面的(n－1)个式子相加，得
an－a1 ＝3(n－1)，
所以 an＝2＋3(n－1)＝3n－1.
1．因为 an＝Sn－Sn－1 只有当 n≥2 时才有意义，所以由 Sn 求通项公式 an＝f(n)时，要分n ＝1 和 n≥2 两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分 段函数的形式表示．
2．要注意通项公式和递推公式的区别
通项公式直接反映 an 和 n 之间的关系，即an 是 n 的函数，知道任意一个具体的n 值，就 可以求出该项的值 an； 而递推公式则是间接反映数列的式子， 它是数列任意两个(或多个)相邻
项之间的推导关系，不能由 n 直接得出an .
1．数列 1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A． an＋1＝an＋n， n∈N＋
B． an ＝an－1＋n， n∈N＋， n≥2
C． an＋1＝an＋(n＋1)， n∈N＋
D． an＝an－1＋(n－1)， n∈N＋， n≥2 C [由题意知 a2－a1＝2，
a3－a2＝3，
a4－a3＝4，
…
an＋1－an＝n＋1， n∈N＋ ，故选 C.]
2．数列{an }的前 n 项和 Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an }的通项公式 an 为( )
(|2， n＝1
A． an＝6n－5 B． an ＝〈|6n－5， n≥2
C． a ＝6n＋1 D． a ＝〈
(|2， n＝1
n
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