人教版高中数学必修课后习题答案详解.docx

D第二章 平面向量2 1 平面向量的实际背景及基本概念练习 (P77)uu u1、略 . 2、 AB ， BA . 这两个向量的长度相等，但它们不等.uu uuur uuur uuur3、 AB = 2， CD = 2.5， EF = 3， GH = 2 2 .4、(1)它们的终点相同； (2)它们的终点不同 .习题 A 组 (P77).1、 (2)BC45OBA30CAuuur uuur uuur uuur uuur uuur3、与 DE 相等的向量有： AF , FC ；与 EF 相等的向量有： BD, DA；uuur uu uu与 FD 相等的向量有： CE , EB .r uuur uu uur r uuu uuur4、与a 相等的向量有： CO , QP, SR ；与b 相等的向量有： PM , DO；r uuur uuur u与c 相等的向量有： DC , RQ, STuuur 3 35、 AD = . 6、(1)； (2) ； (3) ； (4) . 2习题 B 组 (P78)1、海拔和高度都不是向量.uuu2、相等的向量共有 24 对. 模为 1 的向量有 18 对. 其中与 AM 同向的共有 6 对，与uuu uuur uuurAM 反向的也有 6 对；与 AD 同向的共有 3 对，与 AD 反向的也有 6 对；模为 2 的向量共有 4 对；模为 2 的向量有 2 对2 2 平面向量的线性运算 练习 (P84)uuur uu1、图略 . 2、图略 . 3、(1) DA； (2) CB .r ur ur ur4、(1) c； (2) f； (3) f； (4) g .2练习 (P87)1、图略 .uuur2、 DB，u CA，uuur AC，uuur AD，uBA .3、图略 .练习 (P90)1、图略 .uuur 5 uu uuur 2 uu2、 AC = AB， BC = AB . 7 7uu uu 说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是 BC 与 AB反向.r r r 7 r r 1 r r 8 r3、(1) b = 2a； (2) b = a； (3) b = a； (4) b = a . 4 2 94、(1)共线； (2)共线 .r r 11 r 1 r r5、(1) 3a 2b； (2) a + b； (3) 2ya . 6、图略 . 12 3习题 A 组 (P91)1、(1)向东走 20 km； (2)向东走 5 km； (3)向东北走10 2 km；(4)向西南走5 2 km；(5)向西北走10 2 km；(6)向东南走10 2 km.2、飞机飞行的路程为 700 km；两次位移的合成是向北偏西 53方向飞行 500 km. uu uuur3 、解：如右图所示： AB 表示船速， AD 表示河水B C的流速，以 AB、 AD 为邻边作 ABCD ，则uuurAC 表示船实际航行的速度.uu uuur在 RtABC 中， AB = 8， AD = 2，A D 水流方向uuur uu uuur所以 AC = AB 2 + AD 2 = 82 + 22 = 2 17因为 tan 三CAD = 4 ，由计算器得三CAD 必 76。所以，实际航行的速度是2 17 km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为 76 .r uu u r r uu r4、(1) 0； (2) AB； (3) BA； (4) 0； (5) 0； (6) CB； (7) 0 .5、略6、不一定构成三角形 . 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非 零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.r r r r r r7、略 . 8、(1)略； (2)当a b 时， a + b = a br r 9、(1) 2a 2b；r 1 r (3) 3a + b；r (4) 2(x y)b .r r r(2) 10a 22b +10c；Br r ur r r ur r r ur 10、 a + b = 4e ， a b = e + 4e ， 3a 2b = 3e +10e1 1 2 1 2 .uuur r uuur r11、如图所示， OC = a， OD = b，uuur r rBC = a b .uuur 1 r r uuur 3 ruuur r rDC = b a，(第 11 题)uuur12、 AEuuur EC1 r = b，DE = (b a)， DB = a，4 4uuur r rBC = b a，4uuur 1 uuu 1 r r3 r = b，4uuur 1 r rAN = AM = (a + b) .4 8DN = (b a)，813、证明：在ABC 中， E, F 分别是 AB, BC 的中点，(第 12 题) G所以 EF /AC 且 EF = AC，1C2uuur 1 uuur 即 EF = AC；2uuur 1 uuur同理， HG = AC，2uuur uuur所以 EF = HG .DFBHEA习题 B 组 (P92)1、丙地在甲地的北偏东 45方向，距甲地 1400 km. r r2、不一定相等，可以验证在a, b 不共线时它们不相等.(第 13 题) 乙丙uuu uuur uuu uuur 1 uuur uuu 1 uu3、证明：因为MN = AN AM ，而 AN = AC， AM = AB，3 3uuu 1 uuur 1 uu 1 uuur uu 1 uuur甲 (第 1 题)C所以 MN = AC AB = (AC AB) = BC .3 3 3 34、(1)四边形 ABCD 为平行四边形，证略(2)四边形 ABCD 为梯形.uuur 1 uuur证明： AD = BC，3 AD /BC 且 AD 士 BCDA四边形 ABCD 为梯形.(3)四边形 ABCD 为菱形.(第 4 题(2) Buu uuur证明： AB = DC，AC AB /DC 且 AB = DC四边形 ABCD 为平行四边形uu uuurD (第 4 题(3)M又 AB = AD四边形 ABCD 为菱形.5、(1)通过作图可以发现四边形 ABCD 为平行四边形.ADBCuu uu u uuur uuur uuur证明：因为OA - OB = BA， OD - OC = CDuu uuur uu uuur而OA + OC = OB + ODuu uu uuur uuur所以OA - OB = OD - OCu uuur所以 BA = CD ，即 AB CD .因此，四边形 ABCD 为平行四边形.2 3 平面向量的基本定理及坐标表示 练习 (P100)r r r r r r r r1、(1) a + b = (3,6)， a - b = (-7, 2)； (2) a + b = (1,11)， a - b = (7, -5)；r r r r r r r r(3) a + b = (0,0) ， a - b = (4,6) ； (4) a + b = (3, 4)， a - b = (3, -4) .r r r r2、 -2a + 4b = (-6, -8)， 4a + 3b = (12,5) .uu u uu u3、(1) AB = (3,4)， BA = (-3, -4)； (2) AB = (9, - 1)， BA = (-9,1)；uu u uu u(3) AB = (0, 2)， BA = (0, -2)； (4) AB = (5,0)， BA = (-5,0)uu uuur uu uuur4、 AB CD . 证明： AB = (1,- 1)， CD = (1,- 1) ，所以 AB = CD .所以 AB CD .5、(1) (3,2)； (2) (1,4)； (3) (4, -5) . 6、 ( ,1) 或( , - 1) 3 310 14uu 3 uu uu 3 uu7、解：设 P(x, y) ，由点 P 在线段 AB 的延长线上，且 AP = PB ，得 AP = - PB 2 2uu uuAP = (x, y) - (2,3) = (x - 2, y - 3)， PB = (4, -3) - (x, y) = (4 - x, -3 - y)3(x - 2, y - 3) = - (4 - x, -3 - y)2x - 2 = - 2(3) (4 - x) y - 3 = - 2(3) (-3 - y)(x = 8 ，所以点 P 的坐标为(8, - 15) .y = - 15习题 A 组 (P101)1、(1) (-2,1)； (2) (0,8) ； (3) (1,2) .说明：解题时可设 B(x, y) ，利用向量坐标的定义解题 . u u2、 F + F + F = (8,0) 1 2 3uu uuur3 、解法一： OA = (1,2)， BC = (5 3,6 (1) = (2,7)uuur uuur uuur uu uuur uu uuur而 AD = BC， OD = OA + AD = OA + BC = (1,5) . 所以点 D 的坐标为(1,5).uuur解法二：设 D(x, y) ，则 AD = (x (1), y (2) = (x +1, y + 2)，uuur uuur (x +1 = 2y + 2 = 7由 AD = BC 可得， ，解得点 D 的坐标为(1,5) .uu uu4、解： OA = (1,1)， AB = (2, 4) .AC = AB = (1,2)， AD = 2AB = (4,8)， AE = AB = (1,2) .uuur 1 uu uuur uu uuur 1 uu2 2uuur uu uuurOC = OA + AC = (0,3) ，所以，点 C 的坐标为(0,3) ；uuur uu uuurOD = OA + AD = (3,9) ，所以，点 D 的坐标为(3,9)；uuur uu uuurOE = OA + AE = (2, 1) ，所以，点 E 的坐标为(2, 1) .5、由向量a, b 共线得(2,3) = 入 (x, 6) ，所以 = ，解得 x = 4 .r r 2 3x 6uu uuur uuur uu uu uu6、 AB = (4, 4)， CD = (8, 8)， CD = 2AB ，所以 AB 与CD 共线.uuur uu7、 OA = 2OA = (2, 4) ，所以点 A 的坐标为(2, 4)；uuur uuOB = 3OB = (3,9) ，所以点 B 的坐标为(3,9)； 故uuuurAB = (3,9) (2, 4) = (5,5)习题 B 组 (P101)uu uu1、 OA = (1,2)， AB = (3,3) .uu uu uu uu当t = 1时， OP = OA + AB = OB = (4,5) ，所以 P(4,5) ；1 uu uu 1 uu 3 3 5 7 5 7当 t = 时， OP = OA + AB = (1,2) + ( , ) = ( , ) ，所以 P( , )；2 2 2 2 2 2 2 2uu uu uu当t = 2 时， OP = OA 2AB = (1,2) (6,6) = (5, 4) ，所以 P(5,4)；uu uu uu当t = 2 时， OP = OA + 2AB = (1,2) + (6,6) = (7,8) ，所以 P(7,8) .uu uuur uu uuur2、(1)因为 AB = (一4, 一6)， AC = (1,1.5) ，所以 AB = 一4AC ，所以 A、 B、 C 三点共线；uuur uu uu uuur(2)因为 PQ = (1.5,一2)， PR = (6, 一8) ，所以 PR = 4PQ ，所以 P、 Q 、 R 三点共线；uuur uuur uuur uuur(3)因为 EF = (一8, 一4)， EG = (一 1,一0.5) ，所以 EF = 8EG ，所以 E、 F、 G 三点共线.ur r ur 入 1 1 1 2 2 1 入 2 .3、证明：假设入 士 0 ，则由入 e + 入 e = 0 ，得e = 一 2 e1ur ur 所以 e , e 是共线向量，与已知 e , e 是平面内的一组基底矛盾,1 2 1 2因此假设错误， 入 = 0 . 同理入 = 0 . 综上入 = 入 = 0 .1 2 1 24、(1)uuOP = 19 .uu ur (2) 对于任意向量OP = xe + ye ， x, y 都是唯一确定的，1 2所以向量的坐标表示的规定合理.2 4 平面向量的数量积练习 (P106)ur r ur r ur r 11、 p . q = p . q . cos 想 p, q = 8人 6人 = 24 . 2r r r r2、当a .b想 0 时， 编ABC 为钝角三角形；当a .b = 0 时， 编ABC 为直角三角形.3、投影分别为3 2， 0， 一3 2 . 图略练习 (P107)r r r r1、 a = (一3)2 + 42 = 5， b = 52 + 22 = 29， a .b = 一3人 5 + 4 人 2 = 一7 .r r r r r r r r r r r2、 a .b = 8， (a + b)(a 一 b) = 一7， a . (b + c) = 0， (a + b)2 = 49 .r r r r3、 a .b = 1， a = 13， b = 74， 9 必 88o .习题 A 组 (P108) 一6 3， ( )2 = a(r) 2 2 = 25 一 一 12 3 .uu u uuur u2、 BC 与CA 的夹角为 120， BC .CA = 一20 .r r r r r r r r r r r r3、 a + b = a2 + 2a .b + b2 = 23， a 一 b = a2 一 2a .b + b2 = 35 .r r4、证法一：设a 与b 的夹角为9 .(1)当 入 = 0 时，等式显然成立；r r r r(2)当入 0 时， 入a 与b， a 与入 b 的夹角都为9 ，r r r r r r r r r r所以 (入a) .b = 入a b cos9 = 入 a b cos9 入(a.b) = 入 a b cos9r r r r r r所以 (入a) .b = 入(a .b) = a . (入b)；r r r r(3)当入 想 0 时， 入a 与b， a 与入 b 的夹角都为180o一 9 ，r r r r r r则 (入a) .b = 入a b cos(180o 一 9 ) = 一 入 a b cos9r r r r r r所以 (入a) .b = 入(a .b) = a . (入b)；综上所述，等式成立.r r证法二：设a = (x , y )， b = (x , y )，1 1 2 2r r那么 (入a) .b = (入x , 入y ) .(x , y ) = 入x x +入y y1 1 2 2 1 2 1 2r r r r r r所以 (入a) .b = 入(a .b) = a . (入b)；5、(1)直角三角形， 三B 为直角.u uuur证明： BA = (一 1,一4) 一 (5, 2) = (一6, 一6)， BC = (3, 4) 一 (5, 2) = (一2, 2)u uuur BA. BC = 一6 人(一2) + (一6) 人 2 = 0u uuur BA BC， 三B 为直角， 编ABC 为直角三角形(2)直角三角形， 三A 为直角uu uuur证明： AB = (19,4) 一 (一2, 一3) = (21,7)， AC = (一 1,一6) 一 (一2, 一3) = (1,一3)uu uuur AB . AC = 21人1+ 7 人(一3) = 0uu uuur AB AC， 三A 为直角， 编ABC 为直角三角形(3)直角三角形， 三B 为直角u uuur证明： BA = (2,5) 一 (5, 2) = (一3,3)， BC = (10,7) 一 (5, 2) = (5,5)u uuur BA. BC = 一3人 5 + 3人 5 = 0u uuur BA BC， 三B 为直角， 编ABC 为直角三角形6、 9 = 135o .7、 9 = 120o .r r r r r r r r r r(2a 一 3b)(2a + b) = 4a2 一 4a.b 一 3b2 = 61 ，于是可得a .b = 一6，r rcos9 = r(a) . r(b) = 一 1 ，所以9 = 120。.a b 28、 cos9 = 23， 9 = 55。. 40uu uuur9、证明： AB = (5, 一2) 一 (1,0) = (4, 一2)， BC = (8, 4) 一 (5, 一2) = (3,6) ，uu uuur uu uuur AB = DC， AB . BC = 4 人 3 + (一2) 人 6 = 0 A, B, C, D 为顶点的四边形是矩形.r10、解：设a = (x, y)，( 3 5 ( 3 5(|x2 + y2 = 9 |x = 5 |x = 一 5则|lx = 2(y) ，解得 |ly = 6 55 ，或 |ly = 一 6 55 .r 3 5 6 5 r 3 5 6 5于是a = ( , ) 或a = (一 , 一 ) .5 5 5 5r r11、解：设与a 垂直的单位向量e = (x, y)，( 5 ( 5(x2 + y2 = 1 |x = 5 |x = 一 5l4x + 2y = 0 | 2 5 | 2 5则 ，解得 或 .|ly = 一 5 |ly = 5r 5 2 5 r 5 2 5于是e = ( , 一 ) 或e = (一 , ) .5 5 5 5习题 B 组 (P108)r r r r r r r r r r r r r r1 、证法一： a .b = a . c 一 a .b 一 a . c = 0 一 a . (b 一 c) = 0 一 a (b 一 c)r r r证法二：设a = (x , y )， b = (x , y )， c = (x , y ) .1 1 2 2 3 3r r r r r r r先证a .b = a . c 亭 a (b 一 c)r r r ra .b = x x + y y ， a . c = x x + y y1 2 1 2 1 3 1 3r r r r由a .b = a . c 得x x + y y = x x + y y ，即 x (x 一 x ) + y ( y 一 y ) = 01 2 1 2 1 3 1 3 1 2 3 1 2 3r r r r r而b 一 c = (x 一 x , y 一 y ) ，所以a . (b 一 c) = 02 3 2 3r r r r r r r再证 a (b 一 c) 亭 a . b = a . cr r r由 a . (b 一 c) = 0 得 x (x 一 x ) + y ( y 一 y ) = 0，1 2 3 1 2 3r r r r即 x x + y y = x x + y y ，因此a . b = a . c1 2 1