资源描述
知识点一 空间向量的有关概念
名称
概念
表示
零向量
长度为________的向量
0
单位向量
模为________的向量
相等向量
方向________且模________的向量
a＝b
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量
－a
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相________________的向量
a∥b
共面向量
平行于同一个________的向量
知识点二 共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理
(1)共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是________________________________．
推论 如图所示，对空间任意一点O，点P在l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，
①其中a叫做直线l的________．在l上取＝a，则①可化为＝_______________________.
(2)共面向量定理的向量表达式：
p＝________________，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O，有＝________________________或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝________.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝________________，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．
知识点三 空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作________，其范围是________________________．如果〈a，b〉＝，那么向量a，b____________，记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则________________叫做a，b的数量积，记作________．即________________________________.
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝________________；
②交换律：a·b＝______________；
③分配律：a·(b＋c)＝________________.
知识点四 空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则：
(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)．
(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)．
(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)．
(4)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
(5)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
(6)若b≠0，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3.
(7)|a|＝＝.
(8)cos〈a，b〉＝
＝.
(9)若A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，则dAB＝||＝.
知识点五 平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
知识点六 空间中直线与直线关系的向量表示
若空间不重合的两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则a∥b⇔a∥b⇔a＝λb(λ∈R)，a⊥b⇔a⊥b⇔a·b＝0.
知识点七 空间中直线与平面关系的向量表示
若直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，且a⊄α，则a∥α⇔a∥α⇔a⊥n⇔a·n＝0，a⊥α⇔a⊥α⇔a∥n⇔a＝λn.
知识点八 空间中平面与平面关系的向量表示
若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a，b，则α∥β⇔a∥b⇔a＝λb，α⊥β⇔a⊥b⇔a·b＝0.
知识点九 空间中异面直线所成角的向量求法
设异面直线a，b的夹角为θ，方向向量为a，b，其夹角为φ，则有cos θ＝|cos φ|＝.
知识点十 空间中直线与平面所成角的向量求法
设直线l的方向向量为l，平面α的法向量为n，l与α所成的角为θ，l与n的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|＝.
知识点十一 空间中二面角的平面角大小的向量求法
设n1，n2是二面角α－l－β的两个面α，β的法向量，则向量n1，n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小．若二面角α－l－β的平面角为θ，则|cos θ|＝.
例1 (2015年10月学考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点，设AM与平面BB1D1D的交点为O，则( )
A．三点D1，O，B共线，且OB＝2OD1
B．三点D1，O，B不共线，且OB＝2OD1
C．三点D1，O，B共线，且OB＝OD1
D．三点D1，O，B不共线，且OB＝OD1
例2 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b－c
B．a－b＋c
C．－a＋b＋c
D．－a＋b－c
例3 (2016年4月学考)已知空间向量a＝(2，－1,5)，b＝(－4,2，x)(x∈R)，若a⊥b，则x等于( )
A．－10 B．－2 C．2 D．10
例4 已知O为空间任一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z的值为________．
例5 (2016年4月学考)如图，将棱长为1的正方体ABCD－EFGH任意平移到A1B1C1D1－E1F1G1H1，连接GH1，CB1，设M，N分别为GH1，CB1的中点，则MN的长为________．
例6 如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：
(1)DE∥平面ABC；
(2)B1F⊥平面AEF.
例7 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是BB1，DD1，DC的中点．
(1)求证：平面ADE∥平面B1C1F；
(2)求证：平面ADE⊥平面A1D1G；
(3)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.
例8 如图，在长方体AC1中，AB＝BC＝2，AA1＝，点E、F分别是平面A1B1C1D1、平面BCC1B1的中点．以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．试用向量方法解决下列问题：
(1)求异面直线AF和BE所成的角；
(2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值．
一、选择题
1．下列四个说法：
①若向量{a、b、c}是空间的一个基底，则{a＋b、a－b、c}也是空间的一个基底；
②空间的任意两个向量都是共面向量；
③若两条不同直线l，m的方向向量分别是a、b，则l∥m⇔a∥b；
④若两个不同平面α，β的法向量分别是u、v，且u＝(1,2，－2)，v＝(－2，－4,4)，则α∥β.
其中正确的说法的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C．－a－b＋c D.a－b＋c
3．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1,2,3) B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(3,2,1)
4．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且3||＝||，则点C的坐标是( )
A．(，－，) B．(，－3,2)
C．(，－1，) D．(，－，)
5．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l⊂α D．l与α相交但不垂直
6．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是( )
A. B. C. D．0
7.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角是( )
A. B. C. D.
8．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
二、填空题
9．已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)．若a⊥b，则x＝________；若a∥b，则x＝________.
10．设O为坐标原点，向量＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为________．
11．在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(1，－2,0)，B(2,1，)，则向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为________．
12.如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC＝________.
三、解答题
13．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，
AA1＝AC＝CB＝AB.
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．
答案精析
知识条目排查
知识点一
0 1 相同 相等 平行或重合 平面
知识点二
(1)存在实数λ，使a＝λb 方向向量 ＋t
(2)xa＋yb ＋x＋y 1
(3)xa＋yb＋zc
知识点三
(1)①〈a，b〉 0≤〈a，b〉≤π 互相垂直 ②|a||b|cos〈a，b〉 a·b a·b
＝|a||b|cos〈a，b〉
(2)①λ(a·b) ②2b·a ③a·b＋a·c
题型分类示例
例1 A [以正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，
DD1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体的棱长为1，
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
M(0，，1)．
设点O(x，x，z)，∴＝(x－1，x，z)，
＝(－1，，1)，
又与共线，∴＝λ，
∴(x－1，x，z)＝(－λ，λ，λ)，
即解得
∴点O(，，)，
∴＝(－，－，)，
又＝(－1，－1,1)，
∴＝，∴D1，O，B三点共线，
且OB＝2OD1，故选A.]
例2 D [
如图所示，连接A1C，则在△A1CB中，有＝－＝－(＋)＝b－(a＋c)＝－a＋b－c.]
例3 C [∵a⊥b，∴a·b＝2×(－4)＋(－1)×2＋5x＝0，
得x＝2.]
例4 －1
解析 由题意知A，B，C，D共面的充要条件是：对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得＝x1＋y1＋z1且x1＋y1＋z1＝1，因此，2x＋3y＋4z＝－1.
例5
解析 由题意，不妨设平面ABFE与平面D1C1G1H1重合，则N与B重合，M是GE的中点，
∴MN＝ ＝.
例6 证明 (1)如图建立空间直角坐标系A－xyz，
令AB＝AA1＝4，
则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．
取AB中点为N，连接CN，
则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，
∴＝(－2,4,0)，＝(－2,4,0)，
∴＝，∴DE∥NC，
又∵NC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC.
∴DE∥平面ABC.
(2)∵＝(－2,2，－4)，＝(2，－2，－2)，＝(2,2,0)．
∴·＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，
·＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.
∴⊥，⊥，即B1F⊥EF，B1F⊥AF，
又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面AEF.
例7 解
如图，以D为原点，，，为正交基底建立空间直角坐标系，则点D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(2，0,0)，A1(2,0,2)，E(2,2,1)，F(0，0,1)，G(0，1,0)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)．
(1)证明 ∵＝(2,0,0)，＝(0,2,1)，设n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)分别是平面ADE，平面B1C1F的法向量，则n1⊥，n1⊥.
∴即
取y1＝1，z1＝－2，∴n1＝(0,1，－2)．
同理，可求得n2＝(0,1，－2)．
∵n1∥n2，∴平面ADE∥平面B1C1F.
(2)证明 ∵·＝(2,0,0)·(0,1，－2)＝0，
∴⊥.
∵·＝(0,2,1)·(0,1，－2)＝0，
∴⊥.
∵，不共线，∴D1G⊥平面ADE.
又∵D1G⊂平面A1D1G，
∴平面ADE⊥平面A1D1G.
(3)解 由于点M在AE上，∴可设＝λ·＝λ·(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，
∴点M(2,2λ，λ)，＝(0,2λ，λ－2)．
要使A1M⊥平面DAE，只需A1M⊥AE，
∴·＝(0,2λ，λ－2)·(0,2,1)
＝5λ－2＝0，
∴λ＝.
故当AM＝AE时，A1M⊥平面DAE.
例8 解 (1)由题意得A(2,0,0)，F(1,2，)，B(2,2,0)，E(1，1，)，C(0,2,0)，
∴＝(－1,2，)，＝(－1，－1，)，
∴·＝1－2＋1＝0.
∴直线AF和BE所成的角为90°.
(2)设平面BEC的法向量为n＝(x，y，z)，
又＝(－2,0,0)，＝(－1，－1，)，
则n·＝－2x＝0，n·＝－x－y＋z＝0，
∴x＝0，取z＝1，则y＝，
∴平面BEC的一个法向量为n＝(0，，1)．
∴cos〈，n〉＝＝＝.
设直线AF和平面BEC所成的角为θ，则sin θ＝，
即直线AF和平面BEC所成角的正弦值为.
考点专项训练
1．D [①若向量{a、b、c}是空间的一个基底，则{a＋b、a－b、c}也是空间的一个基底，正确；
②空间的任意两个向量都是共面向量，正确；
③若两条不同直线l，m的方向向量分别是a，b，则l∥m⇔a∥b，正确；
④若两个不同平面α，β的法向量分别是u、v，且u＝(1,2，－2)，v＝(－2，－4,4)，
∵v＝－2u，则α∥β.
其中正确的说法的个数是4.]
2．A [由题意，得＝＋＋＝＋＋＝＋－(＋)＝－＋＋＝－a＋b＋c.]
3．A [由题意可得，直线l的一个方向向量＝(2,4,6)，
又∵(1,2,3)＝(2,4,6)，
∴(1,2,3)是直线l的一个方向向量．]
4．C [∵C为线段AB上一点，且3||＝||，
∴＝，
∴＝＋
＝(4,1,3)＋(－2，－6，－2)
＝(，－1，)．]
5．B
6．D [以DA，DC，DD1所在直线方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
则可得A1(1,0,2)，E(0,0,1)，G(0,2,1)，F(1,1,0)．
∴＝(－1,0，－1)，＝(1，－1，－1)，
设异面直线A1E与GF所成的角为θ，
则cos θ＝|cos〈，〉|＝0.]
7．A [
以B为坐标原点，以与BC垂直的直线为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，则A(，1,0)，B1(0,0,3)，C1(0，2,3)，＝(－，－1,3)，＝(0,2,0)，＝(0,0,3)．
设平面AB1C1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取z＝1，则x＝，n＝(，0,1)．
∵cos〈·n〉＝＝＝，
∴BB1与平面AB1C1所成的角的正弦值为，
∴BB1与平面AB1C1所成的角为.]
8．B [
如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1，
则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．
于是＝(0,1,0)．
取PD中点为E，
则E(0，，)，
∴＝(0，，)，
易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量，
∴cos〈，〉＝，
∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.]
9. －6
10．(，，)
解析 设＝λ＝(λ，λ，2λ)，
故Q(λ，λ，2λ)，
故＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．
则·＝6λ2－16λ＋10
＝6(λ－)2－，
当·取最小值时，λ＝，
此时Q点的坐标为(，，)．
11.
解析 设平面xOz的法向量为
n＝(0，t,0)(t≠0)，＝(1,3，)，
所以cos〈n，〉＝＝，
因为〈n，〉∈[0，π]，
所以sin〈n，〉＝＝.
12．12
解析 因为＝＋＋，
所以2＝2＋2＋2＋2·
＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144.
所以||＝12.
13．(1)证明 连接AC1交A1C于点F，
则F为AC1的中点．
又D是AB的中点，连接DF，
则BC1∥DF.
因为DF⊂平面A1CD，
BC1⊄平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
(2)解
由AC＝CB＝AB得AC⊥BC.
以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
C－xyz.
设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，
A1(2,0,2)，
＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，
＝(2,0,2)．
设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，
则即
可取n＝(1，－1，－1)．
同理，设m是平面A1CE的法向量，
则可取m＝(2,1，－2)．
从而cos〈n，m〉＝＝，
故sin〈n，m〉＝.
即二面角D－A1C－E的正弦值为.
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