股票有、无卖空限制下有效前沿的计算.docx

有、无卖空限制下有效前沿的计算
——基于股票案例的研究
[摘要]在丰富的金融投资理论中，投资组合理论占有非常重要的地位，金融产品本质上市各种金融工具的组合。现代投资组合理论试图解释获得最大投资收益与避免过风险之间的基本权衡关系，也就是说投资者将不同的投资品种按一定的比例组合在一起作为投资对象，以达到在保证预订收益的前提下把风险降到最小或者在一定风险的前提下使收益率最大。在中国股市上运用马科维茨模型研究投资有限前沿组合，探索风险变动规律，从而知道各股票投资组合在达到最佳时所占的比例。
[关键词] 马科维茨模型 投资组合 有效前沿
投资者很早就认识到了分散的将资金进行投资可以降低投资风险，扩大投资收益。但在第一个对此问题做出实质性分析的是美国经济学家马科维茨。1952年马科维茨发表了《证券投资组合选择》，标志着证券组合理论的正式诞生。马科维茨根据每一张证券的预期收益率、方差和所有证券间的协方差矩阵，得到证券组合的有效边界，再根据投资者的效用无差异曲线，确定最佳投资组合。马科维茨的证券组合理论在计算投资组合的收益和方差时非常精确。本文通过对在上交所上市的六只股票运用马科维茨模型进行分析，找到给定风险下的最佳投资组合。
一、 模型理论
经典马科维茨均值-方差模型为：

其中是第i种资产的预期收益率；是投资组合的权重向量；是n中资产间的协方差矩阵；分别是投资组合的期望回报率和方差。
马科维茨模型以期望收益率期望度量收益，以收益率方差度量风险。在本文中以股票的历史收益率的句子作为期望收益率，可能会造成“追涨的效果”，在实际中这些收益率可能会不一样；在计算组合风险值时协方差对结果影响较大，在本文中以股票的历史收益率的协方差度量资产风险与相关性，可能会与实际协方差矩阵存在一定的偏差。
1.前沿的计算
马科维茨均值-方差模型为典型的带约束的二次规划问题，在给定的期望收益时，方差最小解唯一，函数如下：

给定计算相应风险最小的组合，即得到有效前沿上一点（有效组合），给定一系列可以有效描绘出有效前沿。有效边界是组合证券资产选择的重要基础。根据Markwitz创立的现代证券投资组合理论, 理性的投资者应具有“非满足性”和“风险回避”两个特征,即一定风险下的期望收益率最大化和 一定收益下风险最小化。在马科维茨的均值- 方差模型中,对于每一个给定的收益率水平,得到的对应投资组合的方差(或标准差)比在同样收益水平的任何组合的方差(或标准差) 要小,称为有效前沿。在标准差- 均值坐标系中,则是一条双曲线。收益率高于最小方差组合所对应的收益率的组合, 位于组合前沿的上半部分,被称为有效前沿，它是前沿投资组合和有效投资组合的交集部分。前沿 投资组合（Envelope Portfolio）是指对于任意给定的期望收益水平，所具有最小方差的投资组合 构成的集合，即在图-1中位于包络线线上的投资组合。有效投资组合（Efficient Portfolio）是 指对于任意给定的方差或标准差水平，具有最大收益率的投资组合。

可行投资组合：满足投资比例之和为1，即的组合，如上图中的A、B、C组合。
可行集：由所有可行投资组合构成的集合，为上图曲线内部以阴影表示的区域。
前沿投资组合：对于任意给定的期望收益水平，所有具有最小方差的投资组合构成的集合，即为途中包络线上的投资组合。以组合D为例，在所有期望收益为的组合中，组合D具有最小方差30.24%。
有效投资组合：对于任意给定的方差或标准差水平，具有最大收益率的投资组合。
有效前沿：有所有有效投资组合构成的集合。任何一个位于该曲线下方的投资组合，其期望收益都小于对应在有效边界上的组合，为标准差却相等。
2. 条件下计算有效前沿
记列向量如果向量z为线性方程组的解（S是方差协方差矩阵），则为前沿投资组合，其中，即是的规范化，满足；反之，任何前沿投资组合都满足以上条件。
任何两个前沿投资组合的线性组合仍为前沿投资组合；反之，所有前沿投资组合均可由任意两个不同的前沿组合产生。
3. 限制下的有效前沿计算
在卖空限制下求解投资组合类似于求大化问题，只是对投资组合增加了一个投资比例非负性约束条件：其中
在有卖空限制下，前沿投资组合的求解可用规划问题表示：

二、有效前沿的计算基于六只股票
从大智慧证券分析软件提取工商银行、三一重工、中国石化、上海汽车、上海机场、中国移动六只股票的收盘价（向前除权后提取月K线数据）2010年5月31日至2011年5月31日收盘价数据如下：
日期
收盘价
三一重工
上海机场
中国石化
工商银行
中国移动
上海汽车
2010-5-31
5.62
13.32
8.43
4.21
73.7
14.46
2010-6-30
5.72
11.84
7.74
4.01
78.2
12.75
2010-7-30
7.21
13.23
8.82
4.25
78.55
12.27
2010-8-31
8.64
13.26
8.15
4.03
79.15
15.33
2010-9-30
9.21
12.5
8.2
3.99
79.45
16.41
2010-10-29
14.07
14.1
8.91
4.3
78.95
16.85
2010-11-30
14.39
12.16
8.13
4.2
77.45
20.02
2010-12-31
14.38
12.39
8.06
4.24
77.2
17.12
2011-1-31
14.84
14.04
9
4.25
76.6
14.68
2011-2-28
16.76
14.55
8.52
4.26
73.05
17.38
2011-3-31
18.57
13.56
8.53
4.47
71.65
18.45
2011-4-29
18.34
14.19
8.64
4.56
71.4
18.22
2011-5-31
16.8
13.36
8.06
4.56
71.05
16.55
1. 收益率的计算
本文中提取的股票收盘价为除权以后的数据，故不需考虑股利分红等因素。股票A在第t月的收益率为在第t月末与第（t-1）月月末价格之比的自然对数，计算公式为：

六只股票的月收益率
日期
收益率
三一重工
上海机场
中国石化
工商银行
中国移动
上海汽车
2010-5-31

2010-6-30
1.76%
-11.78%
-8.54%
-4.87%
5.93%
-12.59%
2010-7-30
23.15%
11.10%
13.06%
5.81%
0.45%
-3.84%
2010-8-31
18.09%
0.23%
-7.90%
-5.32%
0.76%
22.27%
2010-9-30
6.39%
-5.90%
0.61%
-1.00%
0.38%
6.81%
2010-10-29
42.38%
12.04%
8.30%
7.48%
-0.63%
2.65%
2010-11-30
2.25%
-14.80%
-9.16%
-2.35%
-1.92%
17.24%
2010-12-31
-0.07%
1.87%
-0.86%
0.95%
-0.32%
-15.65%
2011-1-31
3.15%
12.50%
11.03%
0.24%
-0.78%
-15.38%
2011-2-28
12.17%
3.57%
-5.48%
0.24%
-4.75%
16.88%
2011-3-31
10.26%
-7.05%
0.12%
4.81%
-1.94%
5.97%
2011-4-29
-1.25%
4.54%
1.28%
1.99%
-0.35%
-1.25%
2011-5-31
-8.77%
-6.03%
-6.95%
0.00%
-0.49%
-9.61%
月期望收益
9.13%
0.02%
-0.37%
0.67%
-0.31%
1.12%
年期望收益
109.50%
0.30%
-4.49%
7.99%
-3.66%
13.50%
方差（月）
1.71%
0.78%
0.55%
0.14%
0.06%
1.58%
标准差（月）
13.07%
8.85%
7.42%
3.78%
2.35%
12.58%
方差（年）
20.50%
9.40%
6.60%
1.71%
0.66%
19.00%
标准差（年）
45.28%
30.66%
25.69%
13.08%
8.15%
43.59%
2. 运用超额收益矩阵计算方差-协方差矩阵
六只股票的超额收益计算
日期
超额收益率
三一重工
上海机场
中国石化
工商银行
中国移动
上海汽车
2010-5-31

2010-6-30
-7.36%
-11.80%
-8.17%
-5.53%
6.23%
-13.71%
2010-7-30
14.02%
11.08%
13.44%
5.15%
0.75%
-4.96%
2010-8-31
8.97%
0.20%
-7.53%
-5.98%
1.07%
21.14%
2010-9-30
-2.74%
-5.93%
0.99%
-1.66%
0.68%
5.68%
2010-10-29
33.25%
12.02%
8.68%
6.82%
-0.33%
1.52%
2010-11-30
-6.88%
-14.83%
-8.79%
-3.02%
-1.61%
16.11%
2010-12-31
-9.19%
1.85%
-0.49%
0.28%
-0.02%
-16.77%
2011-1-31
-5.98%
12.48%
11.41%
-0.43%
-0.48%
-16.50%
2011-2-28
3.04%
3.54%
-5.11%
-0.43%
-4.44%
15.76%
2011-3-31
1.13%
-7.07%
0.49%
4.15%
-1.63%
4.85%
2011-4-29
-10.37%
4.52%
1.66%
1.33%
-0.04%
-2.38%
2011-5-31
-17.90%
-6.05%
-6.57%
-0.67%
-0.19%
-10.74%
以上六只股票的差额收益矩阵A计算公式为：

3. 计算方差-协方差矩阵
协方差定义为：

根据协方差公式计算六只股票的方差协方差矩阵为：

根据上证指数求得rf
上证指数
日期
收盘
2010-6-30
2398.37
2010-7-30
2637.5
2010-8-31
2638.8
2010-9-30
2655.66
2010-10-29
2978.84
2010-11-30
2820.18
2010-12-31
2808.08
2011-1-31
2790.69
2011-2-28
2905.05
2011-3-31
2928.11
2011-4-29
2911.51
2011-5-31
2743.47
rf
0.143889

一． 无卖空限制下有效前沿的计算
计算前沿组合。根据无卖空限制计算有效前沿性质一，需要假设两个不同的常数 c,通过
R-c=Sz 求解 z,然后根据性质二就可以求得前沿组合。

两个前沿组合的计算

两个相关指标的计算
期望收益（x）
-0.013344596
期望收益（M）
-0.00732115
方差（x）
9.43283E-05
方差（M）
4.97682E-05
标准差（x）
0.009712277
协方差（M）
0.007054655
协方差
5.17507E-05

计算有效前沿。根据无卖空限制有效前沿计算的性质二，通过上一步计算得到的两个前沿组合 x 和 y 的线性组合，可以求出整个可行域的包络线，当然有效边界也包含在内。假设对组合 x 的投资比例为 a,对组合 y 的比例为（1-a）的组合为 p,通过下面的公式，可以得到组合 p 的期望收益和标准差：
E(Rp)=aE(Rx)+(1-a)E(Ry)
σ2p=a2σ2x+(1-a)2σ2y+2a(1-a)Cov(x,y)
令 a=0.3,可以得到组合 p 的期望收益和标准差。此外，使用 Excel 的 [模拟运算表]功能，计算对组 合 x 和 y 不同投资比例下的期望收益和标准差，即可得到无卖空限制下有效前沿曲线

组合x的投资比例
30%

组合p的期望收益
-0.9128%

组合p的标准差
5.65733E-05

不同组合比例下组合的期望收益和标准差
组合x的投资比例a
标准差
期望收益

0.0057%
-0.9128%
-40.0000%
0.0012%
-0.4912%
-30.0000%
0.0024%
-0.5514%
-20.0000%
0.0035%
-0.6116%
-10.0000%
0.0043%
-0.6719%
0.0000%
0.0050%
-0.7321%
10.0000%
0.0054%
-0.7923%
20.0000%
0.0056%
-0.8526%
30.0000%
0.0057%
-0.9128%
40.0000%
0.0055%
-0.9731%
50.0000%
0.0051%
-1.0333%
60.0000%
0.0045%
-1.0935%
70.0000%
0.0037%
-1.1538%
80.0000%
0.0027%
-1.2140%
90.0000%
0.0014%
-1.2742%
100.0000%
0.0000%
-1.3345%
110.0000%
-0.0006%
-1.3947%
120.0000%
-0.0015%
-1.4549%
130.0000%
-0.0025%
-1.5152%
140.0000%
-0.0038%
-1.5754%
150.0000%
-0.0053%
-1.6356%
160.0000%
-0.0069%
-1.6959%

无卖空限制的有效前沿曲线

有效前沿曲线呈现出这样的趋势主要是因为六只股票的收益率都低于大盘的平均收益率。

二、 有卖空限制下有效前沿计算
在实际构建投资组合时要考虑到合规、合法或者分先管理等限制条件，这样会给组合构建带来约束，例如基金“双百分之十规则”；基金投资于某一证券的市值不能超过基金资产的10%，投资于某一上市公司的股票不能超过该公司市值的10%。
如要求六只股票的最大配置分别为：三一重工最大配置50%，上海机场最大配置60%，中国石化最大配置80%，工商银行最大配置55%，中国移动最大配置79%，上海汽车最大配置30%；三一重工、上海机场、中国石化组成资产集合A；工商银行、中国移动、上海汽车组成资产计划集合B；其中集合A的最大配置为50%，集合B的最大配置为80%，集合A的配置不能超过集合B的配置的1.5备，并且有卖空限制的条件下如何配置？
六只股票的收益率均值、收益率标准差及超额收益率协方差矩阵

收益率均值
收益率标准差
（超额收益）方差协方差矩阵
三一重工
0.0913
0.1307
0.0186
0.0067
0.0050
0.0028
-0.0003
0.0061
上海机场
0.0002
0.0885
0.0067
0.0085
0.0058
0.0021
-0.0005
-0.0028
中国石化
-0.0037
0.0742
0.0050
0.0058
0.0060
0.0023
-0.0002
-0.0039
工商银行
0.0067
0.0378
0.0028
0.0021
0.0023
0.0016
-0.0004
-0.0009
中国移动
-0.0031
0.0235
-0.0003
-0.0005
-0.0002
-0.0004
0.0006
-0.0014
上海汽车
0.0112
0.1258
0.0061
-0.0028
-0.0039
-0.0009
-0.0014
0.0173
应用二次规划问题求解得到：
有效前沿组合

组合风险
组合期望收益
六只股票投资比例
三一重工
上海机场
中国石化
工商银行
中国移动
上海汽车
1.24%
0.08%
0.00%
1.04%
0.00%
28.27%
63.06%
7.63%
1.42%
0.29%
1.85%
0.00%
0.00%
31.89%
58.63%
7.64%
1.65%
0.49%
4.31%
0.00%
0.00%
30.07%
58.58%
7.03%
1.89%
0.70%
6.78%
0.00%
0.00%
28.26%
58.53%
6.43%
2.14%
0.91%
9.25%
0.00%
0.00%
26.45%
58.48%
5.83%
2.40%
1.11%
11.71%
0.00%
0.00%
24.64%
58.43%
5.22%
2.66%
1.32%
14.18%
0.00%
0.00%
22.83%
58.37%
4.62%
2.93%
1.52%
16.65%
0.00%
0.00%
21.01%
58.32%
4.01%
3.20%
1.73%
19.11%
0.00%
0.00%
19.20%
58.27%
3.41%
3.47%
1.94%
21.58%
0.00%
0.00%
17.39%
58.22%
2.81%
3.74%
2.14%
24.05%
0.00%
0.00%
15.58%
58.17%
2.20%
4.02%
2.35%
26.51%
0.00%
0.00%
13.77%
58.12%
1.60%
4.29%
2.56%
28.98%
0.00%
0.00%
11.96%
58.07%
1.00%
4.57%
2.76%
31.45%
0.00%
0.00%
10.14%
58.02%
0.39%
4.85%
2.97%
33.89%
0.00%
0.00%
8.30%
57.81%
0.00%
5.13%
3.18%
36.27%
0.00%
0.00%
6.41%
57.32%
0.00%
5.41%
3.38%
38.65%
0.00%
0.00%
4.52%
56.83%
0.00%
5.69%
3.59%
41.04%
0.00%
0.00%
2.62%
56.34%
0.00%
5.97%
3.80%
43.42%
0.00%
0.00%
0.73%
55.85%
0.00%
6.25%
4.00%
45.68%
0.00%
0.00%
0.00%
54.32%
0.00%
6.54%
4.21%
47.87%
0.00%
0.00%
0.00%
52.13%
0.00%
6.83%
4.42%
50.00%
0.00%
0.00%
0.57%
49.43%
0.00%
7.24%
4.62%
50.00%
0.00%
0.00%
21.64%
28.36%
0.00%
7.80%
4.83%
50.00%
0.00%
0.00%
39.10%
8.43%
2.47%
9.25%
5.04%
50.00%
0.00%
0.00%
20.00%
0.00%
30.00%
由上图可以看出，有卖空限制下并带有一些约束条件的有效前沿曲线不在是光滑的曲线，而是呈现折线的形态。
总结与展望
马科维茨模型以期望收益率期望度量收益，以收益率方差度量风险。但以股票的历史收益率的句子作为期望收益率，可能会造成“追涨的效果”，在实际中这些收益率可能会不一样；在计算组合风险值时协方差对结果影响较大，以股票的历史收益率的协方差度量资产风险与相关性，可能会与实际协方差矩阵存在一定的偏差。
投资组合构建完成后，在实际运行中需要对投资组合进行绩效分析，即计算投资组合收益情况。在实际绩效中，可能用收益率作为评价投资组合绩效的尺度和标准，操作性强，但只能说明在某一时期的增值程度，并不能真正评价业绩。因此仅仅计算出投资组合的平均收益率还不够，必须根据风险大小对收益率进行调整，即计算风险调整的收益率，如夏普比率、信息比率等。

参考文献
[1] 刘善存. Excel 在金融模型分析中的应用[M].北京：人民邮电出版社， 2004
[2] 郑志勇 金融数量分析——基于MATLAB编程[M] 北京：北京航空航天大学出版社，2009