2024年高等数学形成性考核册答案.doc

高等数学（B）（1）第一次作业
初等数学知识
一、 名词解释
邻域：设和是两个实数，且，满足不等式的实数的全体称为的邻域。
绝对值；数轴上的点到原点的距离称为的绝对值，记为。
数轴：要求了原点、正方向和长度的直线称为数轴。
实数：实数由有理数和无理数组成。有理数包括整数和分数。

二、 填空题
1、绝对值的性质有（）、（）、（）、（）、（）、（）。
2、开区间的表示有（ ）、（ ）（提示：分别用区间和数轴形式表示）
3、闭区间的表示有（ ）、（ ）。
4、无穷大的记号（）。
5．（-∞，+∞）表示（ 全体实数），或记为（ R）。
6、（-∞，b）表示（满足不等式的一切实数），或记为（）。
7、（a，+∞）表示（（满足不等式的一切实数），或记为（）。
8、去心邻域是指（满足不等式且）的全体，用数轴表示即为（P7下图）。
9、满足不等式的数x用区间可表示为（）。
三、 回答题
1、初等数学为高等数学做了哪些准备？
答：（1）发展符号意识，实现从详细数学的运算到抽象符号运算转变。符号是一个更为简洁的语言，没有国界，全世界共享，并且这种语言具备运算能力。
（2）培养严密的逻辑思维能力，实现从详细描述到严格证明的转变。
（3）培养抽象思维的能力，实现从详细数学到概念化数学的转变。
（4）发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变。
2、有理数包括哪些数？
答：有理数包括整数和分数。
3、 数轴上二个有理数之间都是有理数吗？
答：二个有理数之间有有理数，也有无理数。
4、 不等式等价于哪个区间？
答：等价于。
a) 点的邻域怎样表示？
答：。
5、 计算题
a) 解不等式
解：，，或；
因此不等式的解为。
b) 解不等式
解：，，或；
因此不等式的解为。
c) 解方程
解：，，或。

函 数
一、 名词解释
函数
答：设和是两个变量，若当变量在其变动区域D内取任一数值时，变量依照某一法则总有一个确定的数值与值对应，则称变量为变量的函数，记作。
奇函数
答：设函数在有关原点对称的集合D上有定义，假如对任意的，恒有，则称函数为奇函数。
偶函数
答：设函数在有关原点对称的集合D上有定义，假如对任意的，恒有，则称函数为偶函数。
定义域
答：在函数的定义中，自变量的变动区域，称为函数的定义域。
值域
答：在函数的定义中，的取值的集合称为函数的值域。

初等函数
答：由基本初等函数通过有限次的四则运算或复合运算而得到的函数称为初等函数。
三角函数
答：正弦函数，余弦函数，正切函数，余切函数，正割函数，余割函数合称三角函数。
指数函数：
答：函数，称为指数函数。
复合函数
答：设是的函数，是的函数，假如的值哉包括在的定义域中，则通过组成的函数，记作，这种函数称为复合函数，其中称为中间变量。
对数函数
答：函数，称为对数函数。
反函数
答：设设是的函数，其值域为G，假如对于G中的第一个值，都有有一个确定的且满足的值与它对应，则得到一个定义在G 上的以为自变量，为因变量的新函数，称它为的反函数，记作，并称为直接函数。
幂函数
答：函数（为实数）称为幂函数。
常数函数
答：函数（为实数）称为常数函数，它的定义域是。
常量
答：一类量在考查的过程中不发生变化，只取一个固定的值，我们称它为常量。
变量
答：一类量在考查的过程中是变化的，能够取不一样的数值，我们称它为变量。
二、 填空题
1、函数概念最早是由（莱布尼兹）引进的，有了函数概念，人们就能够从（数量）上确切地描述运动。
2、在历史上第一个给出函数一般定义的是（狄里克雷），并给出了一个不能画出图形的函数，这就是知名的（狄里克雷函数），它的表示式是（ ）。
3、函数的三种表示措施：（解析体现式），（图形式），（表格式）。
4、函数体现了（因变量）与（自变量）之间的一个对应规则。
5、单值函数是当（自变量）在（定义域）中取定了一数值时，与之对应的（函数值）是唯一的函数。
6、奇函数的图像特点是（图像有关原点对称 ）。
7、单调函数的图像特点是（沿轴正向逐渐上升或沿轴正向逐渐下 降）。
8、反函数的图像特点是（与原函数的图像有关直线对称）。
三、 回答题
1、 什么是有界函数？
答：设函数在集合D上有定义，假如存在一个正数M，对于所有的，恒有，则称函数在D上为有界函数。
2、 对于有界函数要注意哪几点？
答：对于函数的有界性，要注意如下几点：
（1）当一个函数在区间内有界时，正数M的取法不是唯一的。
（2）有界性是依赖于区间的。
3、 什么是单调函数？
答：设函数在区间内有定义，假如对于内的任意两点和，当<时，恒有，则称函数在区间内单调增加；假如对于内的任意两点和，当<时，恒有，则称函数在区间内单调减少。单调增加函数和单调减少函数统称单调函数。
4、 反函数存在定理是什么？
答：若函数在上是单调的，其值域是，则函数存在反函数，其定义域是，值域为。
四、 作图题
（1）
用描点法，即多取几个值，算出对应的值，作出色多点后，用光滑曲线连结即可。见29-41页。详细过程略。
（2）
见29-41页。略
（3）
见29-41页。略
（4）
见29-41页。略
（5）
见29-41页。略

（6）
见29-41页。略
（7）
见29-41页。略
（8）
见29-41页。略
（9）
见29-41页。略
（10）
见29-41页。略

（11）
见29-41页。略
（12）
见29-41页。略
五、 计算题
(1)已知圆的周长为l,求圆的面积S.
解：，。
(2)已知长方形的周长为60cm,其中一边为10cm,求其面积。
解：另一边为，求面积为（cm2）
（3）求的定义域。
解： ，因此所求定义域为。
（4），求f(2), f(1/2), f(a+b), f(x2)
解：f(2)= ，
f(1/2),
f(a+b),
f(x2)
(5)求的反函数，并指出它的定义域。
解：，，，，因此所求反函数为。
（6）求复合函数，已知，，。
解：，
六、 论述题
你能对复合函数作几点解释？
答；（1）复合函数是函数之间的一个运算。
（2）不是任何两个函数都能够组成一个复合函数，如和就不能组成复合函数，因为后一个函数的值域不包括在前一个函数的定义域中。
（3）复合函数分解的成果不一定是纯粹的基本初等函数，更多的是由基本初等函数经四则运算形成的函数组成的。
一、 名词解释
极限
答：极限分为数列极限和函数极限。
无穷小量
答：极限为0的变量称为无穷小量，简称无穷小。
连续
答：函数在及其邻域有定义，且成立，则称函数在点处连续。否则称在点处不连续，或称间断，点称为间断点。
数列极限
答：对于数列，假如当无限增大时，无限地接近一个常数A，则称数列以A为极限，记为：。
函数极限
答：对于函数在（此可为）的邻域内有定义，且当初，无限地接近一个常数A，则称在处有极限A，记为：。
无穷大量
答：假如当（）时，的值无限地增大，则称是无穷大量，简称无穷大，记为或。
二、 填空题
1、从极限产生的历史背景来看，极限概念产生于（处理微分学与积分学的基本问题）：求面积，体积，弧长，（瞬时速度）以及（曲线在一点）的切线问题。
2、极限概念描述的是（变量在某一变化过程中）的终极状态。
3、在中国古代，极限概念已经产生，我国春秋战国时期的《庄子。天下篇》中说：（一尽之棰）、（日取二分之一）、（万世不竭），就是极限的朴素思想。
4、公元3世纪中国数学家（刘徽）的割圆术，就用圆内接正多边形周长去逼近（圆周长）这一极限思想近似地计算（圆周率）的。
5、极限概念产生于（抛物线下的面积）和（曲线的切线）两个实际问题。
三、；回答题
1简述连续性概念
答：设函数在及其邻域有定义，且成立，则称函数在点处连续。否则称在点处不连续，或称间断，点称为间断点。
2、间断点分为几类？
答：间断点分为第一间断点和第二间断点。
3、什么是单侧连续？
答：假如函数在及其邻域有定义，且，则称在点处右连续。
类似地，假如函数在及其邻域有定义，且，则称在点处左连续。
4、什么是连续函数？
答：若函数在它的定义域上的每一点都是连续的，则称是连续函数。
5、述复合函数的连续性定理
答：设在点连续，在点连续，而，并设在点的某一邻域内是有定义的，则复合函数在点连续。
四、论述题
极限思想的意义
答：极限思想体现了两个转化：
（1）有限与无限的相互转化。如极限式，从左向右看，是无限向有限的转化；从右向左看，是有限中包括着无限。在学习极限的时候，我们较多地注意到无限向有限转化的这个侧面，而常常忽视有限包括无限这个侧面。
（2）近似与精 确相互转化。定积分是一个和式的极限，定积分的近似计算就是用有限和去代极限值，得用了近似与精准这对矛盾的转化。
另外，假如我们从哲学上来看待极限概念，首先它体现了量变质变律：量的变化引起了质的变化。例如，有理数的序列能够有无理数的极限；尚有近似转化为精准，也是量变引起了质变；其次，它体现了否定之否定律：有限-无限-有限；最后，它反应了对立统一律：有限与无限的对立与统一，近似与精准的对立统一，质与量的对立统一；运动与静止的对立统一等等。
极限概念的含义是丰富的，它的多个应用就基于此。

五、计算题
（1）
解：。

（2）
解：。

（3）
解：

（4）
解：。
六、讨论在处的极限是否存在。
解：，，因此在处的极限不存在。
作业二
一、 名词解释
导数
答：设函数在点的某领域内有定义，给以变化量，则函数的对应变化量为，假如当初，两个变化量比的极限：存在，则称这个极限为函数在可导或具备导数，也称为在可微。
平均变化率
答：设函数在点的某领域内有定义，给以变化量，则函数的对应变化量为，则称为平均变化率
瞬时变化率
答：设函数在点的导数，称为在在点的瞬时变化率
导函数
答：若函数在点可导，导数为，则可建立一个函数，这就是导函数
高价导数
答：，都称为高阶导数。
驻点
答：若函数在某一点的导数=0，则称为函数的驻点。
极值
答：若函数在点的领域内有定义，若对任意的，都有，则称为函数的极大值（或极小值）。
二、 填空题
1、导数的物理意义是（距离函数的导数为速度，速度函数的导数为加速度）
2、导数的几何意义是（函数在某点处的导数，就是该函数在这点处的切线的斜率）
3、导数的第三种解释是（函数的微分除以自变量的微分）
4、导数是一个特殊的极限，因而它遵照（极限运算）的法则。
5、可导的函数是连续的，但连续函数（不一定可导）。
三、回答题
1、什么是费马定理？
答：设函数在点的领域内有定义并且在处可导，假如对任意的，有，那么。
2、什么是罗尔定理？
答：设函数在上连续，在开区间可导，并且满足条件，那么最少存在一点，使得。
3、什么是拉格朗日中值定理，它的哺助函数是怎么结构的？
答：设函数在上连续，在开区间可导，那么最少存在一点，使得。
4、函数的性质有哪些？
答：单调性、极值性、最大、最小值等。导数是处理所有这些问题的重要工具。
5、导数的绝对值大小告诉我们什么？它反应在函数曲线上情况又怎样？
答：、导数的绝对值大小告诉我们：当绝对值较大时，函数曲线就陡峭某些；当绝对值较小时，函数曲线就平坦某些。
6、什么是极大值（或极小值）？
答：若函数在点的领域内有定义，若对任意的，都有，则称为函数的极大值（或极小值）。
7、请举例就明费马定理只给出了极值的必要条件而不是充足条件。
答：函数在处导数为0，但其在0处不是极值点。
8、最大值与极大值是一回事吗？
答：函数的最大值与极大值是两个不一样的概念。最大值是指函数在给定区间的所有函数值中最大、最小的值。而极值描述的只是在极值点附近的局部变化情况，在一个闭区间上连续的函数有且只有一个最大值，而极大值也许有几个。极大值不一定是最大值，最大值不一定是极大值。
9、处理最大或最小问题一般要用哪几步骤？
答：处理最大或最小问题一般要他二步走“（1）求出函数在区间的一切驻点；（2）计算函数在驻点和端点的函数值并进行比较，其中最大（小）的是最大（小）值。
四、计算题
1、求函数在点处的导数（用定义做此题）。
解：
2、求函数有导数。
解：
3、求的导数
解：
4、求的导数
解：
5、求的导数。
解：
6、求的导数。
解：
7、求的导数。
解：
8、求的导数
解：

9、求的导数
解：
10、求的n阶导数。
解：当m为自然数，n=4m时, 。
当m为自然数，n=4m+1时, 。
当m为自然数，n=4m＋２时, 。
当m为自然数，n=4m+３时, 。
五、应用题
1、气球充气时，半径R以1cm/s的速率增大，设充气过程中气球保持球形，求当R=10cm时，休积V增加的速率。
解：， ， 。
2、把长为1的线段提成两段，使得以两段分别作为长宽所的的矩形面积最大。
解：两个线段中的一段为，则另一段为，两段分别作为长宽所的的矩形面积，，为驻点，此时面积最大
3、某工厂需要建一个面积为512M2的矩形堆料场，一边能够利用原有的壁，其综三边需要砌新的壁，问长和宽各为多少时，才能使砌壁所用的材料最少。
解：设矩形的一边长为，则另一边为，用料为，，则为驻点，此时用料最省。长和宽各为。
微分
一、 名词解释
微分
答：设在点处可导，则称为函数在点处的微分，记作，即
函数的一阶微分不变性。
答：设在点处可微，在对应的处可微，且复合函数在点处的可微，且
微分的线性化
答：因为，因此，令，则有这个能常驻称为的一次近似或线性近似。
二、 填空题
1、微分有双重意义，一是表示（微小的量），二是表示（一个与求导亲密有关的运算）。
2、微分学包括两个系统：（概念系统）和（算法系统）。
3、导数是逐点定义的，它研究的是函数在（一点附近）的局部性质。
4、微分中值定理建立了函数的（局部性质）和（整体性质）的联系，建立了微积分理论联系实际的（桥梁）。
三、 回答题
1、 微分学基本问题是什么？
答：当自变量有一个变化，函数值也产生了一个变化。若记，则。
2、 微分学的基本运算是什么？
见书144页的表7.1.
3、 微分的线性化有什么应用？
答：在数学上最轻易处理的函数的线性函数，借助微分可使一大批非线性函数在局部转化为线性函数，使我们在处理问题时达成简单、以便、高效的目标。
四、 计算题
1、 求如下微分
（1）
解：
（2）
解：。
（3）
解：。
（4）
解：。
2、 半径为8cm的金属球加热以后，其半径伸长30.04cm，问它的体增大了多少？
解：原体积为，现体积为，则体积增加了228429.102(cm3).
3、 计算近似值。
解：设，故当|x|很小时，，，因此。

五、 证明题
当|x|很小时，。
证明：因为，因此当|x|很小时，。
令，有，，故。
作业三 不定积分
一、 名词解释
原函数
答：假如函数与定义在同一区间，并且到处都有或，则称是的一个原函数。

不定积分
答：函数的原函数的全体称为的不定积分，记为。

不定积分几何意义
答；不定积分的几何意义就是曲线族，由一条曲线上下平移而得到，它们在同一点的切线斜率相等。

二、 填空题
1、在数学中必须考虑的运算有两类：（正运算）与（逆运算）。
2、对应于加法运算的逆运算是（减法），对应于微分运算的逆运算是（不定积分）
3、有关逆运算我们最少有两条经验：一是逆运算一般说比正运算（困难），二是逆运算常常引出（新的成果）。如减法引出（负数）除法引出（有理数），正数开方引出（无理数），负数开方引出（虚数）。
三、回答题
1、什么叫函数在区间的原函数，有多少个原函数？原函数彼此之间有什么关系？
答：假如函数与定义在同一区间，并且到处都有或，则称是的一个原函数。
假如一个函数存在原函数，则存在无数多个原函数。
原函数之间的差为常数。

2、什么叫函数在区间的不定积分。
答：函数的原函数的全体称为的不定积分，记为。

3、两个函数的不定积分相等是什么意思？
答：指的是二个函数的所有原函数所组成的集合相等。

4、阐明数学运算中存在的正运算和逆运算。
答：在数学中必须考虑的运算有两类，正运算和逆运算。加法的逆运算为减法，乘法的逆运算为除法，乘方的逆运算为开方，微分的逆运算为不定积分。有关逆运算我们有二个经验：一是逆运算一般说比正运算（困难），二是逆运算常常引出（新的成果）。如减法引出（负数）除法引出（有理数），正数开方引出（无理数），负数开方引出（虚数）。

5、阐明原函数和不定积分的关系。
答：一个函数的全体原函数称为此函数的不定积分。

四、 计算题
1、求下列函数的原函数
（1）
解：

（2）
解：。

（3）
解：。

（4）
解：。

（5）
解：。

（6）
解：。
（7）
解：

（8）
解：

（9）
解：

（10）
解：

2、求下列各不定积分
（1）
解：。

（2）
解：。

（3）
解：

（4）
解：

（5）
解：

（6）
解：

（7）
解：

（8）
解：（此题已超出本课程要求的范围）

定积分
一、名词解释
定积分
答：设函数在区间上连续，用分点把区间分为n个小区间，其长度为在每个小区间上任取一点，求出它们的部分和，记，当初，若有极限，并且值在区间的分法无关，与中间值的取法无关，则称此极限值为在上的定积分，记作。

定积分的几何意义
答：若，则表示由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形的面积。

定积分中值定理
答：设函数在区间上连续，则在上最少存在一点，使得。

微积分基本定理
答：设函数在区间上连续，是其的一个原函数，那么。

牛顿—莱布厄兹公式
答：设函数在区间上连续，是其的一个原函数，那么公式称为牛顿—莱布厄兹公式。

二、填空题
1、定积分是对（连续变化过程总效果）的度量，求（曲边形区域的面积）是积分概念的最直接的起源。

2、积分学的基本问题是（非均匀变化量的求积问题）。它的数学模型是（积分和=），它的物理原型（求变速运动的旅程），它的几何原型是（曲边梯形的面积）。

3、微分学的基本问题是（求非均匀变化量的变化率），它的数学模型是（平均变化率蓄=），它的物理原型（瞬时速度=平均速度的极限），它的几何原型是（曲线在一点处的切线斜率=割线斜率的极限），它的基本运算是（求导运算和求微分运算）。

4、微分学研究的是函数的（的局部性质），无论是微商概念，还是微分概念，都是（逐点）给出的，数学家研究函数的局部性质，其目标在于（从局部性质去探索整体性质）。

5、积分学包括（包括定积分）和（不定积分）两大部分。不定积分的目标是提供（计算措施）。

三、 回答题
1、定积分有哪些应用？
答：可求曲边梯形的面积；可求变速度的旅程；可求旋转体体积，平均值等等，总之定积分处理了非均匀变化量的求积问题。

2、定积分的性质有哪些？
答：答：设函数，在区间上连续，且为常数，那么有
（1）。
（2）。
（3）。
（4）。
（5）。
（6）
（7）假如在上，，则。
（8）假如，则。
（9）在上最少存在一点，使得。

3、简述积分区间上限为变量时定积分定理。
答：设函数在区间上连续，则。

4、建立定积分步骤有哪些？
答：（1）设函数在区间上连续，用分点把区间分为n个小区间，其长度为。
（2）在每个小区间上任取一点。
（3）求出它们的部分和。
（4）记，当初，和式趋于。

四、 计算题
1、 利用定积分性质，比较下列积分值大小
（1）和
解：因为在上，，则>.

（2）和
解：因为在上，，则>。

（3）和
解：因为在上，，因此>.

2、 求函数在区间上的平均值。
解：=。

3、 设，求。
解：。

4、 设，求。
解：。

5、 计算下列定积分。
（1）
解：原式=

（2）
解：原式=。

（3）
解：原式=。

（4）
解：原式=。

（5）
解：原式=。

（6）
解：原式=
=。

6、 求抛物线，直线及轴所围图形绕轴旋转体积。
解：。

7、 求直线及两条坐标轴所围成的三角形绕轴旋转而成的旋转体积。
解：直线与两标轴交点为（2，0）（0，1），

8、 计算所围图形的面积。
解：两曲线交点坐标满足即(-1,1)和(3,9),则
。。

9、计算所围图形的面积。
解：。
作业4
微积分简史
1、 论述微分学的早期史
答：在微分学这个邻域内，费马给出了一个统一的无穷小措施，用以处理求最大最小值问题。牛顿和莱布尼茨各自创建一套一般的符号体系，建立计算的正规程序或算法。柯西等19世纪数学家为这门学科重建逻辑上的一致的、严格的基础。

2、 简述费马对微分学的贡献。
答：属于微分措施的第一个真正值得注意的先驱工作是1629年费马给出的。曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题都是微分学的基本问题。正是这两个问题的研究促进了微分学的诞生，费马在这两个问题都作出了重要贡献，他处理这两个问题的措施是一致的。用当代语言来说，都是先取增量，而后让增量趋向于0，而这正是微他学的实质所在。在费马求面积的过程中，我们看到了定积分的概念与运算的大部分的重要方面。能够肯定地说，除了巴罗以外，没有任何数学家像费马这么接近于微积分的创造了。

3、 简述巴罗对微分学的贡献。
答：巴罗最重要的著作是他的《光学和几何学讲义》。在这本书中我们能够找到非常接近近代微分过程的步骤。巴罗求切线的措施非常接近于微分学中所采取的措施。尤其有趣重要的是巴罗把作曲线的切线与曲线的求积联系了起来。这就是说。他把微分学和积分学的两个基本问题以几何对比形式联系起来了。巴罗确实走到了微积分基本定理的大门口了。

4、 论述积分学的早期史。
答：积分学起源于各种求积问题，如面积、体积和弧长的计算这些问题的研究在西方要追溯到遥远的古希腊。安提丰提出，伴随一个圆的内接正多边形的边数逐次成倍增加，圆与多边形的差将被穷竭。阿基米德对穷竭法做出发最巧妙的应用。得到了球的体积和圆柱体的体积。我国古代的刘徽的割圆术和祖恒提出的“幂势既同，则积不容异”原理，对微积分作出了重大贡献。

5、 论述微积分对人类历史的贡献。
答：微积分的诞生具备划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点，这个伟大的创造明显不一样于旧数学。旧数学是有关常量的、静止的，而新数学是有关变量的、运动的。有关微积分的地位，恩格斯是这么评价的：“一切理论成就中，末必再有什么像17世纪下半叶微积分的发觉那样被看作人类精神的最高胜利了”。牛顿和莱布尼茨集其大成，迸发出新措施和新观点，使数学达成了一个更高的水平。

6、 牛顿和莱布厄兹对微积分的发觉做出了什么的贡献？
答：牛顿在《曲线求积论》和《流数术和无穷级数措施及其对几何曲线的应用》的论文中，建立和完成了无穷小量的经典分析，也就是建立和完成了微积分学。牛顿先后考虑了微分、解微分方程、函数的极值、曲线的切线等等。
莱布尼茨在研究巴罗的著作后，意识到微分和积分的互逆关系，在其的《一个求极大值和极小值和切线的新措施，它也适合用于分式和无理量，以及这种新措施的奇妙类型的计算》，是历史上最早公开刊登的有关微分学的文献。文中给出微分的定义、微分法则、二阶微分、极值、切线、曲率等等有关计算。他所给出的微分学符号和计算导数的许多一般法则一直沿用到目前。

微分方程
一、 回答题
1、 微分方程的定义
答：含有末知函数的导数的等式叫做微分方程。

2、 何谓微分方程的通解、特解，何谓微分方程的初始条件？
答：含有任意常数C的解叫做微分方程的通解。确定了常数C的解称为方程的特解。使任意常数确定为确定的数的条件称为初始条件。

3、 何谓变量可分离的微分方程？
答：把能够通过度离变量法的微分方程称为可分离的微分方程。

4、 微分方程和建模有何关系？
答：数学建模中的数学模型常常是一个微分方程，进而求解数学问题是求解微分方程的问题。

5、 建模思想和步骤是什么/
答：建立数学模型，并用以处理实际问题的步骤分为如下五步：
（1） 明确实际问题熟悉问题的背景；
（2） 形成数学模型；
（3） 求解数学问题；
（4） 研究算法并尽也许使用计算机；
（5） 回到实际中去，解释成果。

二、 计算题
1求下列微分方程的解
（1）
解：，
，
，
用代入有：，因此解为。

（2）
解：，
，
，
用代入有：，因此解为。

（3）
解；

，
用代入有：，因此解为。

2、已知函数的图像通过点，图像上任一点处的切线斜率为，求。
解：， ， ，
用代入有：，因此。

3、设某产品的利润是产量的函数，已知利润的变化率是，生产100只产品的利润，求利润与产量的函数关系。
解：， ，
用代入有：，因此。

4、镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与它的现存量R成正比，由经验材料得知，镭通过16后，只余原始量R0的二分之一，试求镭的量R与时间t的函数关系。
解：， ， ， ，
用代入有 ，和得因此。