广播电视大学电大高等数学复习资料专科.doc

高等数学期末复习
1、求函数的定义域：1）含有平方根的：被开方数≥0，2）含分式的：分母≠0
含对数的：真数＞0
例：　1.函数的定义域是　　　

2、函数的对应规律
例：设求
解：因为中的体现式是x+1，可将等式右端表示为x+1的形式

或：令
3、判断两个函数是否相同：定义域相同及对应规律相同
例：1、下列各函数对中，（ B ）中的两个函数相同
A、 B、
C、 D、
4、判断函数的奇偶性：若，则为偶函数；若，则为奇函数，
也能够依照某些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数奇函数、奇函数偶函
数仍为奇函数；偶函数偶函数、偶函数×偶函数、奇函数×奇函数仍为偶函数”的性质来判断。
奇函数的图像有关原点对称，偶函数的图像有关y轴对称。
例：下列函数中，（ A ）是偶函数
A． B．
C． D．
5、无穷小量：极限为零的变量。性质：无穷小量和有界变量的积仍是无穷小量
例1）: 当初，下列变量为无穷小量的是（ B ）
A、cosx B、ln(1+x) C、x+1 D、
2） 0
6、函数在一点处极限存在的充要条件是左右极限存在且相等
( D )
A、1 B、—1 C、1 D、不存在
7、极限的计算：对于“”形
例1）
2）=
8、导数的几何意义：；

例：曲线在处的切线斜率是　　　 　　．
解：=
9、导数的计算：复合函数求导标准：由外向内，犹如剥笋，层层求导
例1）设，求．
解：
例2）设，求dy
解;
10、判断函数的单调性：

例：.函数的单调减少区间是　　　 　　

11、应用题的解题步骤：1）依照题意建立函数关系式，2）求出驻点（一阶导数=0的点），3）依照题意直接回答
例1） 求曲线上的点，使其到点的距离最短．
　　解：曲线上的点到点的距离公式为

与在同一点取到最小值，为计算以便求的最小值点，将代入得

令

令得．能够验证是的最小值点，并由此解出，即曲线上的点和点到点的距离最短．
2）某制罐厂要生产一个体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？
　　解：设容器的底半径为，高为，则其表面积为

因为

因此

由，得唯一驻点，此时，由实际问题可知，当底半径和高时可使用料最省．
12、不定积分与原函数的关系:
设 ，则称函数是的原函数.,
例1）若的一个原函数为，则（ B ）
A、 B、 C、 D 、
解：
2）已知，则 （答案：C）
A. B. C. D.
解：
13、性质：
例1）（　B ）．
A. B. C. D.
例2）　　+C
14、不定积分的计算：1）凑微分；2）分部积分
1） 常用凑微分：

例1）若，则（　B ）．
A. B. C. D.
解：
例2）计算．
解：
例3)计算．
解;

2） 分部积分的常见类型：
，再依照分部积分公式计算
例1）计算
解：
例2）计算不定积分
解：
例3）计算
=
15、定积分的牛顿莱布尼兹公式：设F（x）是f(x)的一个原函数，则
例：若是的一个原函数，则下列等式成立的是（ B ）
A. B.
C. D.
16、奇偶函数在对称区间上的积分：
若是奇函数，则有
若是偶函数，则有
例1)：
分析：为奇函数，因此0
例2）
分析：为偶函数 故：

17、定积分的计算：1）凑微分，2）分部积分；
定积分的凑微分和不定积分的计算相同。
例1） 计算
解：利用凑微分法，，得

例2） 计算定积分
解：利用凑微分法，，得

定积分的分部积分与不定积分的计算基本相同：
定积分的分部积分公式：
例1） 计算
解：
=
例2） 计算
解：
例3） 计算
解：