2024年二次根式知识点总结和习题.doc

二次根式的知识点汇总二次根式的知识点汇总 知识点一：知识点一：二次根式的概念二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数能够是数，也能够是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，因此是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。例题例题 判断下列代数式中哪些是二次根式？判断下列代数式中哪些是二次根式？21，16，9a，12x，222 aa，x（0 x），），23m。巩固巩固 1 1、下列各式中，不是二次根式的是（、下列各式中，不是二次根式的是（）A A45 B B3 C C22a D D12 2 2、下列各式中，是二次根式是（、下列各式中，是二次根式是（）.（A A）x（B B）30 （C C）1a （D D）21b 知识点二：取值范围知识点二：取值范围 1.二次根式故意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a0 时，故意义，是二次根式，因此要使二次根式故意义，只要使被开方数不小于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，因此当 a0 时，没故意义。例题例题 1 1 x x 取什么值时，取什么值时，45x有意义（）（A A）x x 45（B B）x x54（C C）x x54（D D）x x54 巩固巩固 使代数式使代数式32xx故意义的故意义的x取值范围是（取值范围是（）A A2x ；B B32xx 且，；C C 32xx 且，；D D32xx 且，；知识点三：二次根式知识点三：二次根式（）的非负性）的非负性（）表示 a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，因此非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则 a=0,b=0；若，则 a=0,b=0；若，则 a=0,b=0。例题例题 已知已知221yxx，则，则yx 知识点四：二次根式（知识点四：二次根式（）的性质的性质（）文字语言论述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也能够反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质知识点五：二次根式的性质 文字语言论述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等于a 自身，即；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即；2、中的 a 的取值范围能够是任意实数，即无论 a 取何值，一定故意义；3、化简时，先将它化成，再依照绝对值的意义来进行化简。知识点六：知识点六：与与的异同点的异同点 1、不一样点：与表示的意义是不一样的，表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在中，而中 a能够是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的成果是有差异的，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的运算知识点七：二次根式的运算 （1）因式的外移和内移：假如被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就能够用它的算术根替代而移到根号外面；假如被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也能够将根号外面的正因式平方后移到根号里面（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算成果化为最简二次根式 ab=ab（a0，b0）；bbaa（b0，a0）（4）有理数的加法互换律、结合律，乘法互换律及结合律，乘法对加法的分派律以及多项式的乘法公式，都适合用于二次根式的运算 例题例题 1 计算计算3393aaaa=例题例题 3 3 计算：（计算：（1 1）)455112()3127(例题例题 2 2 3)154276485(（2 2）；二次根式二次根式同时学习检测同时学习检测（一）（一）（整章检测整章检测）（时间时间 9090 分钟分钟 满分满分 100100 分分）一一、选择选择题（共题（共 12 分）分）1 在根式15、22b-a1ba、3ab、631、baa221中，最简二次根式有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2在二次根式32，-256，611，4951和232中，与6是同类根式的有（）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 3在下列各式中，等号不成立的是（）Aa1-aa B2xyy4x2(x0)C32a-a2a-D(x+2xy+y)(x+y)x+y 4在下列各式的化简中，化简正确的有（）3aaa 5xx-x4xx 6a2baab2b3a 24+61106 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5已知二条线段的长分别为2cm、3cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是（）A1cm B55cm D1cm 或5cm 6已知 a0，化简：aaa22的成果是（）A1 B-1 C0 D2a 二二、填空题（每题、填空题（每题 2 分分，共共 20 分）分）752的绝对值是_，它的倒数_ 8当 x_时，x311是二次根式 9当 x_时，52 x故意义，若xx2故意义，则 x_。10当 mn 时，2)(mn _，当 a_时，3132aa 11化简04.0225_，22108117_。12计算：ba10253_ 13若最简二次根式1522x与172x是同类二次根式，则 x=_。14把根式aa1根号外的 a 移到根号内，得_。15二次根式x33与ax2的和是一个二次根式，则正整数a的最小值为 ；其和为 。16 观测下列各式：322322；833833；15441544；则依次第四个式子是 ；用)2(nn的等式体现你所观测得到的规律应是 。三三、解答解答题（共题（共 68 分）分）17（5 分）计算：bababaa 18（5 分）计算：)483814122(22 19（5 分）解方程：3548015xx 20（5 分）解不等式：)1(6)3(2xx 21（5 分）已知：2420 x，求221xx 的值 22（5 分）化简并求值 aaaaaaa22212121 其中321a 23（5 分）已知实数 a 满足|a|+a=a，则 a2的值是多少？24（5 分）已知正数a和b，有下列命题：（1）若2ba，则ab1；（2）若3ba，则ab23；（3）若6ba，则ab3；依照以上三个命题所提供的规律猜测：若9ba，则ab 。25（6 分）阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答。已知m为实数，化简：mmm13 解：原式mmmmm1 mm1 26（6 分）如图，ABC中，RtACB，2,8BCAB，求斜边AB上的高CD 27（8 分）观测下列等式：12)12)(12(12121；23)23)(23(23231；34)34)(34(34341；回答下列问题：（1）利用你观测到的规律，化简：11321（2）计算：1031.231321211 28（8 分）水库大坝截面的迎水坡坡比（DE 与 AE 的长度之比）为 1：0.6，背水坡坡比为 1：2，大坝高 DE=30 米，坝顶宽 CD=10 米，求大坝的截面的周长。A C B E D F 新人教新人教九九年级（上）年级（上）第第 21 章二次根式章二次根式同时学习检测同时学习检测（二）（二）一、选择题 1、假如3x+5 是二次根式，则 x 的取值范围是（）A、x5 B、x5 C、x1 B、x0,化简二次根式 xyx2 的正确成果为（）A、y B、y C、y D、y 9、若代数式(2a)2+(a4)2 的值是常数 2，则 a 的取值范围是（）A、a4 B、a2 C、2a4 D、a=2 或 a=4 10、下列根式不能与 48 合并的是（）A、0.12 B、18 C、113 D、75 11、假如最简根式 3a8 与 172a 是同类二次根式，那么使 4a2x 故意义的 x 的范围是（）A、x10 B、x10 C、x10 12、若实数 x、y 满足 x2+y24x2y+5=0,则x+y3y2 x 的值是（）A、1 B、32+2 C、3+2 2 D、32 2 二、填空题 1、要使x1 3x 故意义，则 x 的取值范围是 。2、若 a+4+a+2b2=0，则 ab=。3、若 1a2 与 a21 都是二次根式，那么 1a2+a21=。4、若 y=12x+2x1+(x1)2，则(x+y)=。5、若 2 x1+3 x，化简(x+2)2 3(x+3)3=。6、若(a+1)2=(a1)2，则 a=.7、比较大小：3 5 2 6 11 10 14 13 8、若最简根式 m23 与 5m+3 是同类二次根式，则 m=.9、已知223 =223 ,338 =338 ,4415 =4415 ,请你用含 n 的式子将其中蕴涵的规律表示出来：.10、若 5 的整数部分是 a，小数部分是 b，则 a1b=。11、已知 x=1a a ，则 4x+x2=。12、已知 a=3 5 3+5 ，则化简 a 得 .三、计算与化简 1、(3+2)1+(2)2 +38 2、13+1+15 3 +15+3 3、(1+2 3)(1 2+3)+2 6 4、9a+a3 1a +12a a3 四、先化简再求值 1、已知 a=3,b=4，求4(a+b)(a b)+a+b ab(b a)a b ab 的值。2、化简：a+2+a24 a+2 a24 a+2 a24 a+2 a24 取自己爱慕的 a 的值计算。3、当 a=3+2 3 2 ，b=3 2 3 2 时，求 a23ab+b2 的值。4、当 a=21 3 时，求a21a1 a22a+1 a2a 1a 的值。五、解答下列各题 1、解方程：3(x1)=2(x+1)2、解方程组：3、已知直角三角形两直角边长分别为 a=12 3 11 ,b=12 3 11 ,求斜边的长。【参考答案】【参考答案】同时学习检测同时学习检测（一）（一）一、选择题 1C 2B 3C 4B 5D 6B 二、填空题 x2 =y6 x+y=4 752,25 813 952，x2且0 x 10m-n，0 113，45 12 30 2ab 13 1 14 a 15 6 10 16.5555424，2211nnnnnn 三、解答题 17 1 181 4 6 193 xy 2033x 21 18 2211,3aa 23 2492 25 原式1()()mmmmm 1mm 2662 27（1）2 311；（2）9 28(9830 56 34)米 同时学习检测同时学习检测（二）（二）一、选择题 1、C 2、C 3、C 4、C 5、D 6、C 7、C 8、D 9、C 10、B 11、A 12、C 二、填空题 1、1x 8、6 9、n+nn21 =nnn21 (n2 且 n 为整数)10、5 11、1a a 12、2 三、计算与化简 1、3 2 2、3+1 3、4+4 6 4、236 a 四、先化简再求值 1、3 2 2、a 3、95 4、3 五、解答下列各题 1、x=5+2 6 2、x=2 3 2 y=62 3 3、46 4、7 6 5 2 2 6 2