2024年高等数学专升本.doc

高等数学（专升本）-学习指南

一、选择题

1．函数的定义域为【 D 】
A． B． C． D．
解：z的定义域为：
，故而选D。

2．设在处间断，则有【 D 】
A．在处一定没故意义；
B．; (即)；
C．不存在，或；
D．若在处有定义，则时，不是无穷小
3．极限【 B 】
A． B． C．1 D． 0
解：有题意，设通项为：

原极限等价于：

4．设，则【 A 】
A． B．
C． D．
解：对原式有关x求导，并用导数乘以dx项即可，注意三角函数求导规则。

因此，，即

5．函数在区间上极小值是【 D 】
A．-1　 B．1　 C．2　 D．0
解：对y有关x求一阶导，并令其为0，得到；
解得x有驻点：x=2，代入原方程验证0为其极小值点。

6．对于函数的每一个驻点，令，，，若，则函数【C】
A．有极大值 B．有极小值 C．没有极值 D．不定
7．多元函数在点处有关的偏导数【C】
A． B．
C． D．
8．向量与向量平行，则条件：其向量积是【B】
A．充足非必要条件 B．充足且必要条件
C．必要非充足条件 D．既非充足又非必要条件
9．向量、垂直，则条件：向量、的数量积是【B】
A．充足非必要条件 B．充足且必要条件
C．必要非充足条件 D．既非充足又非必要条件
10．已知向量、、两两相互垂直，且，，，求【C】
A．1 B．2 C．4 D．8
解：因为向量与垂直，因此，故而有：

11．下列函数中，不是基本初等函数的是【B】
A．　　 B．　　C．　 D．
解：因为是由，复合组成的，因此它不是基本初等函数。

12．二重极限【D】
A．等于0 B．等于1 C．等于 D．不存在
解：与k有关，因此该极限不存在。

13．无穷大量减去无穷小量是【D】
A．无穷小量 B．零 C．常量 D．未定式
解：所谓的无穷大量，或者无穷小量只是指的是相对而言，变量的一个变化趋势，而非详细的值。
因此，相正确无穷大量减去相正确无穷小量没有实际意义，是个未定式。

14．【C】
A．1　 B．　 C．　D．
解：依照原式有：

15．设，则【D】
A．　B．
C．　D．
解：对原式直接求导，注意乘积项的求导即可。

16．直线上的一个方向向量，直线上的一个方向向量，若与平行，则【B】
A． B．
C． D．
17．平面上的一个方向向量，平面上的一个方向向量，若与垂直，则【C】
A． B．
C． D．
18．若无穷级数收敛，而发散，则称称无穷级数【C】
A．发散 B．收敛 C．条件收敛 D．绝对收敛
19．下面哪个是二次曲面中抛物柱面的体现式【A】
A． B．
C． D．
20．设是矩形：，则【 A 】
A. B. C. D.
解：有关单位1对于一个矩形区域进行二重积分就是计算矩形区域的面积。
由题意知：，则：

21．设，则【 D 】
A． B． C． D．
解：因为，得 ＝
将代入，得=

22．利用变量替代，一定能够把方程化为新的方程【 A 】
A．    B．    C．    D．
解：z是x，y的函数，从，可得，，故z是u，v的函数，又因为，。
因此z是x,y的复合函数，故，，从而
左边=
因此方程变为：

23．曲线在点处的切线斜率是【A】
A． B． C．2 D．
解：。
因此，在点(0,1)处，切线的斜率是：

24．【 A 】
A．0　 B．　 C．　 D．
解：因为
，
因此

25．【 C 】
A．　 B．　 C．0　 D．1
解：因为 有界，
因此

26．已知向量，，，求向量在轴上的投影及在轴上的分量【A】
A．27，51 B．25，27 C．25，51 D．27，25
解：A

因此 ，

27．向量与轴与轴组成等角，与轴夹角是前者的2倍，下面哪一个代表的是的方向【C】
A．，， B．，，
C．，， D．，，
解：C
设的方向角为、、，按题意有
=，=2
因为
即
化简得到
解得 或
因为、、都在0到的范围里，因此能够通过解反三角函数得到：
，，或者，，

28．已知向量垂直于向量和，且满足于，求【B】
A． B．
C． D．
解：B
因为垂直于向量和，故而必然与平行，因此

又因为
即：
解得 ，因此
29．若无穷级数收敛，且收敛，则称称无穷级数【D】
A．发散 B．收敛 C．条件收敛 D．绝对收敛
30．设D是方形域：，【 D 】
A. 1 B. C. D.
解：D

31．若，为无穷间断点，为可去间断点，则【 C 】
A． B． C． D．
解：因为为无穷间断点，因此，故。若，则也是无穷间断点。由为可去间断点得，故选C。

32．设函数是不小于零的可导函数，且，
则当初，有【 A 】
A． B．
C． D．
解：考虑辅助函数

33．函数函数也许存在极值的点是【 B 】
A． B． C． D．不存在
解：由作图懂得，函数在第二象限是减函数，在第一象限是增函数。
当x=0时，函数取得最小值y=5。

34．，则【 D 】
A．　 B．
C．　 D．
解：

35．设，则【 C 】
A．　 B．
C．　 D．
解：对y有关x求一阶导有：

因此，

36．设直线与平面平行，则等于【 A 】
A. 2 B. 6 C. 8 D. 10
解：直线的方向向量为，平面的法向量为。
因为直线和平面平行，因此两个向量的内积为0。
即：
得到：

37．若，则【 A 】
A. 4 B. 0 C. 2 D.
解：因为
因此

38．和在点连续是在点可微分的【A 】
A.充足条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件
解：由定理直接得到：假如函数的偏导数在点连续，则函数在该点的全微分存在。

39．在面上求一个垂直于向量，且与等长的向量【D】
A． B．
C． D．
解：由题意设向量，因为垂直于且，因此有：
，即：
由以上方程解得，，，同号
故而所求向量或者

40．微分方程的通解是【 B 】
A. B. C. D.
解：
令，
由一阶线性非齐次微分方程的公式有：

二、判断题
1．是齐次线性方程的解，则也是。（ ）
2．（不显含有），令，则。（ ）
解：依照微分方程解的性质得到。

3．对于无穷积分，有。（ ）
4．在的邻域内可导，且，若：当初，；当初，。则为极小值点。（ ）
解：依照极值判定定理第一充足条件，为极大值点。

5．在上连续，在上有一阶导数、二阶导数，若对于,则在上的图形是凸的。（ ）
6．二元函数的极大值点是。（ ）
解：原式中，当且仅当x=0时，取到极小值0 ；
同样，，当且仅当y=0时，取到极小值0 。
因此，函数的极小值点位于（0，0）

7．设，其中，则1。（ ）
解：直接求微计算：

8．设由，，所确定，则1。（ ）
解：由题意得到积分区域为各向尺度为1的立方体，其体积即为1。

9．函数的定义域是。（ ）
解：由对数定义得到。

10．设，则。（ ）
11．是齐次线性方程的线性无关的特解，则是方程的通解。()
12．齐次型微分方程，设，则。()
13．对于瑕积分，有，其中为瑕点。()
14．在的邻域内可导，且，若：当初，，当初，。则为极大值点。()
解：依照极值判定定理第一充足条件，为极小值点。

15．设在区间上连续，是的内点，假如曲线通过点时，曲线的凹凸性变化了，则称点为曲线的拐点。()
16．设是矩形区域，则1 （ ）
解：显然该积分表示长为3，宽为1的矩形面积，值应为3。

17．若积分区域是，则。（ ）
解：是一个外环半径为2，内环半径为1的圆环，积分式是在圆环上单位1的二重积分，因此求的是圆环的面积。
原式=

18．设是由，所确定，函数在上连续，那么。（ ）
解：。

19．设不全为0的实数，，使，则三个向量共面。（ ）
20．二元函数的极大值点是极大值。（ ）
21．若为非齐次方程的通解，其中为对应齐次方程的解，为非齐次方程的特解。()
解：依照齐次线性方程解的性质，与必须是线性无关的解，是其特解。

22．若函数在区间上连续，则，使得。()
23．函数在点可导。()
24．在处二阶可导，且，。若，则为极大值点。()
25．若，则为一条水平渐近线。()
解：依照函数渐近线的定义和概念能够得到，为一条铅直渐近线。

26．设表示域：，则1。（ ）
解：由定义得知表示以原点为中心，半径为1的正球体，故而z轴方向有关球体的积分值为0。

27．微分方程的通解为。（ ）
解：对应的线性一阶齐次方程是：

结合原方程，等式右边项含x，因此通项公式为：

将通项公式带入原式，得到：

代入，得到：

最后得到：

28．设，，，且满足，则6。（ ）
解：经计算向量积得到模值为36。

29．,则。（ ）
30．设为，与为顶点三角形区域，。（ ）

31．若为非齐次方程的通解，其中为对应齐次方程的解，为非齐次方程的解。（ ）
解：依照齐次线性方程解的性质，与必须是线性无关的解，是其特解。

32．若为的一个原函数，则。（ ）
33．函数可微可导，且。（ ）
34．在处二阶可导，且，。若，则为极小值点。（ ）
解：依照极值判定定理第二充足条件能够直接得到。

35．若，则为一条铅直渐近线。（ ）
解：依照函数渐近线的定义和概念能够得到，为一条水平渐近线。
36．二元函数的最小值点是。（ ）
解：因为原式中，当且仅当x=0时，取到极小值0 ；
同样，，当且仅当y=0时，取到极小值0 。
因此，函数的极小值点位于（0，0）

37．微分方程的一个特解应具备的形式是。（ ）
解：原微分方程的特性函数是：，。
得到两个无理根：。
即是特性根。
因此，特解的形式为：

38．设，则（ ）
解：经计算得到微分体现式。

39．微分方程的通解为。（ ）
解：由微分方程通解求解准则直接得到。

40．设由，，，所确定，且，则。（ ）
解：变换积分方程即可求得。

三、填空题

1．若，则　　　　　。
解：
，因此。

2．求的导数　　　　　。
解：此函数的反函数为，故则：

3．设，则　　　　　。
解：

因此，

4．设求　　　　　。
解：
由

5．将函数展开成的幂级数是　　　　　。
解：

因为：
并且：
因此，

6．极限　　　　　。
解：0

7．求　　　　　。
解：

8．　　　　　。
解：
原式：
原式分子有界，分母有界，其他项均伴随趋于无穷而趋于无穷。
这么，原式的极限取决于分子、分母高阶项的同阶系数之比。

9．设的顶点为,,，求三角形的面积是　　　　　。
解：
由向量的模的几何意义知的面积.
因为
得，因此。于是

10．无穷级数的和是　　　　　。
解：
先将级数分解：

第二个级数是几何级数，它的和已知

求第一个级数的和转化为幂级数求和，考查

因此原级数的和

11．已知，则_____，_____。
解：，
由所给极限存在知, , 得,
又由, 知。

12．已知，求　　　　　。
解：
先两边取对数
再两边求导
因为
因此

13．　　　　　。
解：
直接积分就能够得到：

14．求平行于轴，且过点和的平面方程是　　　　　。
解：
因为平面平行于轴，因此可设这平面的方程为：

因为平面过、两点，因此有

解得，，以此代入所设方程并约去，便得到所求的平面方程：

15．无穷级数的收敛发散性是　　　　　。
解：收敛
因为：
因此：无穷级数收敛

16．　　　　　。
解：

17．计算广义积分　　　　　。
解：

18．设，则　　　　　。
解：

19．幂级数的收敛区间是　　　　　。
解：
此级数是缺项的幂级数
令
因为
当，即时，级数绝对收敛；当，即时，级数发散。
因此幂级数的收敛区间为

20．幂级数的收敛域是　　　　　。
解：
因为该幂级数缺项幂级数，则直接用比值判别法求之。
设

当，即时，原级数绝对收敛；
当即时，原级数发散。
因此原级数的收敛半径为1，收敛区间是

四、解答题

1． 圆柱形罐头，高度与半径应怎样配，使同样容积下材料最省？
解：由题意可知：为一常数，
面积
故在V不变的条件下，变化R使S取最小值。

故：时，用料最省。

2．求，其中是由平面，，及所围成的区域。
解：把化为先对z积分，再对y和x积分的累次积分，那末应把投影到平面上，求出投影域.
它就是平面与平面的交线和x轴、y轴所围成的三角区域。
  我们为了确定出对z积分限，在固定点，通过此点作一条平行于z的直线，它与上下边界的交
  点的竖坐标：与，这就是对z积分的下限与上限，
于是由积分公式得：
  其中为平面区域：，如下图红色阴影部分所示：

  再把域上的二重积分化成先对y后对x的累次积分，得：

3．求，其中是圆环。
解：因为积分域由同心圆围成以及被积函数的形式，显然，这个二重积分化为极坐标计算比较以便。
  把，代入，即可转化为极坐标系的积分形式。如下：

  在对其进行累次积分计算：

4．求二重积分，其中是由所围成的区域。
解：因为是正规区域，因此我们可先对y后对x积分，也可先对x后对y积分。这里我们采取前者
  先对y后对x积分：

5．求的极值。
解：设，则
，。
。
解：方程组，得驻点(1，1)，(0，0)。
对于驻点(1，1)有，故
　　　，
因此，在点(1，1)取得极小值f(1，1)=-1。
对于驻点(0，0)有，故

因此，在点(0，0)不取得极值。

五、证明题

1． 求证：当λ>1时，级数为一绝对收敛级数。
证明：因为≤而当λ>1时收敛，故级数收敛，从而级数绝对收敛。

2． 求证级数：的和是1。
证明：

当n→∞时，Sn→1。因此级数的和是1。

3． 求证：级数发散。
证明：因为，趋于一个常数，因此级数发散。
4． 求证：不存在。
证明：令随不一样直线趋于。
则它随k变化，故不存在极限。

5． 求证方程在0与1之间最少有一个实根。
证明：不难发觉方程左端是函数的导数：。
函数在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且。
由罗尔定理可知，在0与1之间最少有一点c，使，即。
也就是：方程在0与1之间最少有一个实根。