2024年一次函数讲义.doc

函数及其图象

中考要求

内容
基本要求
略高要求
较高要求
函数及
其图象
了解常量和变量的意义；了解函数的概念和三种表示措施；能举出函数的实例；会确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求函数值
能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系
能探索详细问题中的数量关系和变化规律；结合函数关系的分析，能对变量的变化趋势进行初步预测；能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析

知识点睛

一、函数的有关概念

1．常量与变量
在某一变化过程中，能够取不一样数值的量叫做变量，取值一直保持不变的量叫做常量．
如在圆的面积公式中，是常数，是一个常量，而随的变化而变化，因此、是变量．

2．自变量、因变量与函数

在某一变化过程中，有两个量，例如和，对于的每一个值，都有唯一的值与之对应，其中是自变量，是因变量，此时也称是的函数．
函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．
注意：
⑴对于每一个给定的值，有一个唯一确定的值与之对应，否则就不是的函数．例如就不是函数，因为当初，，即有两个值与对应．
⑵对于每一个给定的值，能够有一个值与之对应，也能够有多个值与之对应．例如在函数中，时，；时，．

二、函数自变量的取值范围

函数自变量的取值范围是指是函数故意义的自变量的取值的全体．求自变量的取值范围一般从两方面考虑，一是要使函数的解析式故意义；二是符合客观实际．
在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面：
⑴整式：自变量的取值范围是任意实数．
⑵分式：自变量的取值范围是使分母不为零的任意实数．
⑶根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．
⑷零次幂或负整数次幂：使底数不为零的实数．
注意：在一个函数关系式中，同时有各种代数式，函数自变量的取值范围是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．
在实际问题中，自变量的取值范围应当符合实际意义，一般往往取非负数，整数之类．

三、函数的表示措施

1．函数的三种表示措施：

⑴列表法：通过列表表示函数的措施．
⑵解析法：用数学式子表示函数的措施叫做解析法．譬如：，．
⑶图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的措施．

2．对函数的关系式（即解析式）的了解：

⑴函数关系式是等式．例如就是一个函数关系式．
⑵函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．
一般等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．例如：中是自变
量，是的函数．
⑶函数关系式在书写时有次序性．
例如：是表示是的函数，若写成就表示是的函数．求与的函数关系时，
必须是只用变量的代数式表示，得到的等式右边只含的代数式．

三、函数的图象

1．函数图象的概念：

对于一个函数，假如把自变量和函数的每对值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点，这些点所组成的图形，就是函数的图象．

2．函数图象的画法

⑴列表； ⑵描点； ⑶连线．

3．函数解析式与函数图象的关系：

由函数图象的定义可知，图象上任意一点中的，都是解析式方程的一个解．反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上．
判断一个点是否在函数图象上的措施是：将这个点的坐标值代入函数的j解析式，假如满足函数解析式，这个店就在函数的图象上，否则就不在这个函数的图象上．

例题精讲

一、函数的有关概念

【例1】 分别指出下列关系式中的变量与常量：
球的表面积与球半径的关系式是；
设圆柱的底面半径不变，圆柱的体积与圆柱的高的关系式是．

【例2】 通过阅读了解函数和变量的概念，判断下列变量是否是的函数：
⑴表示小猪，表示猪妈妈（亲生妈妈，不包括养母）；
⑵表示“喜羊羊”，表示“喜羊羊”的好朋友．

【例3】 判断下列式子中是否是的函数．
⑴ ⑵ ⑶ ⑷

【例4】 判断下列式子中是否是的函数．
⑴ ⑵ ⑶ ⑷

【例5】 下图形中的曲线不表示是的函数的是（ ）．

【例6】 下列四个图象中，不是表示某一函数图象的是（ ）

A B C D

二、实际问题中的函数及其图象

【例7】 打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量（升）与时间（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大体为（ ）

A B C D

【例8】 你一定懂得乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有某些水，乌鸦想喝，不过嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来某些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水．不过还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，哇哇地飞走了．假如设衔入瓶中石子的体积为，瓶中水面的高度为，下面能大体表示上面故事情节的图象是（ ）

A B C D

【例9】 如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水，在这个乌鸦喝水的故事中，设从乌鸦看到瓶的那一刻起向后的时间为，瓶中水位的高度为，下图象中最符合故事情景的是（　　）

【例10】 边长为和的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为，大正方形内除去小正方形部分的面积为（阴影部分），则与的大体图象为（ ）

A B C D

【例11】 如图，一只蚂蚁从点出发，沿着扇形的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为，蚂蚁到点的距离为，则有关的函数图象大体为（ ）

三、函数自变量的取值范围

【例12】 函数中自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

【例13】 函数自变量的取值范围是 ．

【例14】 函数自变量的取值范围是 ．

【例15】 函数的自变量的取值范围是 ．

【例16】 在函数 中，自变量的取值范围是 ．

【例17】 函数的自变量的取值范围是 ．

【例18】 函数的自变量的取值范围是 ．

【例19】 函数的自变量的取值范围是 ．

【例20】 函数的自变量的取值范围是 ．

【例21】 函数的自变量的取值范围是 ．

【例22】 函数的自变量的取值范围是 ．

【例23】 函数的自变量的取值范围是 ．

【例24】 函数的自变量的取值范围是 ．

【例25】 函数的自变量的取值范围是 ．

【例26】 函数的自变量的取值范围是 ．

【例27】 函数的自变量的取值范围是 ．

【例28】 依照你的了解写出下列与的函数关系式，并写出自变量的取值范围（我们称为定义域）．
⑴ 某人骑车以是速度匀速运动的旅程与时间，解析式： ，定义域： ；
⑵ 正方形的面积与边长，解析式： ，定义域： ；
⑶ 等腰三角形的底角的度数与顶角的度数，解析式： ，定义域： ；

【例29】 写出下列各问题中的关系式，指出其中的常量、自变量、因变量及自变量取值范围．
⑴直角三角形中一锐角的度数与另一锐角的度数之间的函数关系．
⑵假如水的流速量是（一个定量），那么每分钟的进水量（）与所选择的水管直径（）之间的函数关系．
⑶某种储蓄的月利率是，存入元本金后,则利息（元）与所存月数之间函数关系．

【例30】 写出等腰三角形中一底角的度数与顶角的度数之间的函数关系．

【例31】 等腰周长为，底边长为，腰长为．
⑴写出有关的函数关系式；
⑵求的取值范围；
⑶求的取值范围．

【例32】 等腰三角形的周长为，写出它的底边长与腰长之间的函数关系，并写出自变量的取值
范围？

【例33】 等腰三角形的周长为，写出它的底边长与腰长之间的函数关系，并写出自变量的取值范围．

【例34】 小张准备将平时的零用钱节约某些储存起来．他已存有元，从目前起每个月节存元．请写出小张的存款与从目前开始的月份数之间的函数关系式及自变量的取值范围．

一次函数的图象及性质

中考要求

内容
基本要求
略高要求
较高要求
一次
函数
了解正百分比函数；能结合详细情境了解一次函数的意义，会画一次函数的图象；了解一次函数的性质
会依照已知条件确定一次函数的解析式；会依照一次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标；能依照一次函数的图象求二元一次方程组的近似解
能用一次函数处理实际问题

知识点睛

一、一次函数的概念

一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当初，即，这时即是前一节所学过的正百分比函数．
⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
⑵当，时，仍是一次函数．
⑶当，时，它不是一次函数．
⑷正百分比函数是一次函数的特例，一次函数包括正百分比函数．

二、一次函数的图象

⑴一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．
⑵因为两点确定一条直线，因此在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．
①假如这个函数是正百分比函数，一般取，两点；
②假如这个函数是一般的一次函数（），一般取，，即直线与两坐标轴的交点．
⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，因此一般把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线．

三、一次函数的性质

一次
函数

，
符号

图象

性质
随的增大而增大
随的增大而减小

1．一次函数图象的位置
在一次函数中：
⑴当初，其图象一定通过一、三象限；当初，其图象一定通过二、四象限．
⑵当初，图象与轴交点在轴上方，因此其图象一定通过一、二象限；当初，图象与轴
交点在轴下方，因此其图象一定通过三、四象限．
反之，由一次函数的图象的位置也能够确定其系数、的符号．
2．一次函数图象的增减性
在一次函数中：
⑴当初，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；
⑵当初，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．

四、含绝对值的一次函数

对于含有绝对值的一次函数，其图象是由若干条线段和射线组成的折线，我们一般采取零点讨论法，即先找出绝对值的零解，然后将数轴划分为若干个区间，接下来就能够在各个区间中确定每个绝对值中式子的符号，进而去掉绝对值符号．
我们懂得，函数，当初，取最小值．函数，
若，则；
若，则；
当初，取最小值．

例题精讲

一、一次函数的概念

【例1】 已知函数 （为常数）是正百分比函数，则 ．

【例2】 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正百分比函数？
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹

【例3】 出租车收费按旅程计算，3km内（包括3km）收费8元;超出3km每增加1km加收１元，则旅程km时，车费（元）与（km）之间的函数关系式是________________．

【例4】 已知，若y是x的正百分比函数，则的值是 ．

【例5】 已知y+m与x+n（m,n为常数）成百分比，试判断y与x成什么函数关系？

【例6】 已知与x成正百分比，当初，,求与x之间的函数关系式，并判断它是不是正百分比函数．

【例7】 函数已知，当m为何值时，y是x的一次函数？

【例8】 已知，当取何值时，是的正百分比函数？

【例9】 函数在　　　　　条件下，是的一次函数；在　　　　　条件下，与成正百分比函数．

【例10】 已知是一次函数，求它的解析式．

【例11】 已知是的正百分比函数，是的一次函数．求证：是的一次函数．

三、一次函数的图象及性质

【例12】 在坐标系中画出下列函数的图象．
⑴；；；⑵；；

【例13】 一次函数的图像是 ；
当，时，直线过 象限；
当，时，直线过 象限；
当，时，直线过 象限；
当，时，直线过 象限．
的图像与轴、轴的交点分别为 、 ；
其中 、 分别叫做该一次函数在轴、轴上的截距．
【例14】 如图，一次函数的图象大体是（ ）

A B C D

【例15】 下图形中，表示一次函数与正百分比函数（、为常数且）的图像是下图中的（ ）

A B C D

【例16】 函数①和②（）在同一坐标系中的图像也许是（ ）

【例17】 一次函数的图象能否不通过第三象限?为何?

【例18】 已知一次函数中，，则这么的一次函数的图像必通过的公共象限有 个，即
第 象限．

【例19】 假如一次函数的图象通过第一象限，且与轴负半轴相交，那么（    ）
A．        B．
C．         D．

【例20】 若一次函数的图象通过第一、第二、三象限，求的值．
【例21】 若一次函数的图象不通过第一象限，则的取值范围是 ．
【例22】 已知，并且，则直线一定通过 象限．

【例23】 已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围是 ．

【例24】 若一次函数的图像不过第一象限，则的取值范围是___________．

【例25】 若，，则通过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限

【例26】 假如直线不通过第四象限，那么　　（填“”、“”、“”）．

【例27】 下面哪个正百分比函数的图象通过一、三象限 （ ）
A． B． C． D．

【例28】 已知一次函数 （为常数）的图象通过一、二、三象限，求取值范围．

【例29】 已知一次函数，若随的减小而减小，则该函数的图象通过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限

【例30】 若，，则通过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限

【例31】 假如直线通过第一、二、三象限，那么　　　　　（填“”、“”、“”）．

【例32】 如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数，，，的图像分别是，，，；那么，，，的大小关系是 ．

【例33】 已知正百分比函数 （，为常数），通过点（2，4），如下哪个点不在该正百分比函数图图象上（ ）
A．（-2，-4） B．（0，0） C．（1，2） D．

【例34】 若，为一次函数，的图象上的两个不一样点，且，设，，则（ ）
A． B． C． D． 以上都不对

【例35】 已知点都在直线上，则大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能比较

【例36】 已知一次函数的图象通过（，）和（，）两点，且,，则（ ）
A． B．， C．， D．

【例37】 已知函数为正百分比函数．
⑴求的取值范围；
⑵为何值时，此函数的图象过一、三象限．

三、一次函数图象的几何变换

【例38】 一次函数的图象能够当作由正百分比函数的图象向 （填“上”和“下”）平移
个单位得到的．

【例39】 直线能够由直线向 平移 个单位得到的．

【例40】 直线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的直线的解析式是 ．

【例41】 将直线向右平移2个单位所得的直线的解析式是 ．

【例42】 直线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的直线的解析式是 ．

【例43】 把函数的图像向右平行移动个单位，求：
⑴ 平移后得到的直线解析式；
⑵ 平移后的直线到两坐标轴距离相等的点的坐标．

四、含绝对值的一次函数

【例44】 作函数的图象，并依照图象求出函数的最小值．

【例45】 函数的图象如图所示，求点与点的坐标．

一次函数解析式确实定

中考要求

知识点
基本要求
略高要求
较高要求
一次
函数
了解正百分比函数；能结合详细情境了解一次函数的意义，会画一次函数的图象；了解一次函数的性质
会依照已知条件确定一次函数的解析式；会依照一次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标；能依照一次函数的图象求二元一次方程组的近似解
能用一次函数处理实际问题

知识点睛

一、用待定系数法求一次函数解析式

先设出函数解析式，再依照条件确定解析式中未知的系数，从而详细写出这个式子的措施，叫做待字系数法．
用待定系数法求函数解析式的一般步骤：
①依照已知条件写出含有待定系数的解析式；
②将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；
③解方程（组），得到待定系数的值；
④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．

例题精讲

一、一次函数解析式确实定

【例46】 假如每盒羽毛球有20个，每盒售价为24元，那么羽毛球的售价（元）与羽毛球个数（个）之间的关系式为（ ）
A． B．
C． D．

【例47】 已知一次函数．求：①为何值时，一次函数的图象通过原点．②为何值时，一次函数的图象与轴交于点．

【例48】 已知一次函数的图象通过（3，2）和（1，-2）两点．求这个一次函数的解析式．

【例49】 已知是一次函数，表给出了部分对应值，的值是 ．

【例50】 已知函数图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）

A．
B．
C．
D．

【例51】 如图，一次函数的图象通过点，与轴交于点，与轴交于点，依照图中信息求：求这个函数的解析式 ．

【例52】 已知与成正百分比，且当初．求与之间的函数关系式．

【例53】 已知：与成正百分比，且时，．
⑴求与之间的函数关系式；
⑵点在这个函数的图像上，求的值．

【例54】 已知一次函数的图象通过点，，．
⑴ 求；
⑵ 求的值．

【例55】 一条直线通过不一样的三点（,），（,），（，），那么直线通过 象限．

【例56】 求证：点 （2，2）， （，）， （，）在一条直线上．

【例57】 假如的自变量增加4，函数值对应地减少16，则的值为（ ）
A．4 B．- 4 C． D．

【例58】 一次函数的图象过点，且函数值伴随自变量的增大而减小，写出一个符合这个条件的一次函数解析式 ．

【例59】 已知一次函数的图象过点与，则这个一次函数随的增大而　　　　．

【例60】 一次函数（），当初，对应的值为，求一次函数的解析式．

【例61】 已知一次函数中自变量x的取值范围为，对应的函数值的范围是，求此函数的解析式．

【例62】 已知一次函数，当初，对应的值为，求的值．

【例63】 已知有关的一次函数的图象与轴交点在轴的上方，且随的增大而减小，求的取值范围．

【例64】 已知函数，当自变量的取值范围为时，既能取到不小于5的值，又能取到小于3的值，则实数的取值范围为 ．

【例65】 如图，将直线向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．

【例66】 已知一次函数的图象与直线平行并且过点 （-1，2），求这个一次函数
的解析式．

一次函数的应用
中考要求

内容
基本要求
略高要求
较高要求
一次
函数
了解正百分比函数；能结合详细情境了解一次函数的意义，会画一次函数的图象；了解一次函数的性质
会依照已知条件确定一次函数的解析式；会依照一次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标；能依照一次函数的图象求二元一次方程组的近似解
能用一次函数处理实际问题

例题精讲

一、与一次函数有关的图象信息题
【例35】 小红的爷爷饭后出去散步，从家中走分钟到一个离家米的街心花园，与朋友聊天分钟后，用分钟返回家里． 图中表示小红爷爷离家的时间与外出的距离之间的关系是 （ ）

A B C D
【例36】 某校八年级同学到距学校千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，如图，、分别表示步行和骑车的同学前往目标地所走的旅程（千米）与所用时间（分钟）之间的函数图象，则如下判断错误的是（ ）

A．骑车的同学比步行的同学晚出发分钟
B．步行的速度是千米/时
C．骑车同学从出发到追上步行同学用了分钟
D．骑车的同学和步行的同学同时达成目标地

【例37】 某污水处理厂的一个净化水池设有个进水口和个出水口，三个水口最少打开一个．每个进水口
进水的速度由图甲给出，出水口出水的速度由图乙给出．某一天点到点，该水池的蓄水量与时间的函数关系如图丙所示．通过对图象的观测，小亮得出了如下三个论断：⑴点到点只进水不出水；⑵点到点不进水只出水，⑶点到点不进水也不出水．其中正确的是（ ）
A．⑴ B．⑶ C．⑴⑶ D．⑴⑵⑶

【例38】 假如等腰三角形的周长为16，那么它的底边长与腰长之间的函数图像为（ ）

【例39】 如图，在矩形中，AB=2，，动点P从点B出发，沿路线作匀速运动，那么的面积S与点P运动的旅程之间的函数图象大体是（ ）
D
C
P
B
A

O
3
1
1
3
S
x
A．
O
1
1
3
S
x
O
3
S
x
3
O
1
1
3
S
x
B．
C．
D．
2

二、与一次函数有关的应用题

1． 行程问题

【例40】 汽车在行驶时，因为惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．现甲、乙两车在一个弯道上相向而行，在相距16米的地方发觉情况不对，同时刹车，依照有关资料，甲、乙两车刹车距离（米）与车速（千米/时）之间与如图所示．若甲、乙两车的速度都是60千米/时，两车是否相撞？说说你的理由．

【例41】 右图是某汽车行驶的旅程与时间的函数关系图．观测图中所提供的信息，解答下列问题：
⑴汽车在前分钟内的平均速度是 ；
⑵汽车在半途停了多长时间？ ；
⑶当初，求与的函数关系式．

【例42】 5月，第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛帷幕．20日上午9时，参赛龙舟从黄陵庙同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，旅程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分抵达终点黄柏河港．
⑴哪个队先抵达终点？乙队何时追上甲队？
⑵在比胜过程中，甲、乙两队何时相距最远？

【例43】 如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，旅程（km）随时间（min）的变化的图像（全程），依照图像回答如下问题：
⑴求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？
⑵求这次比赛的全程是多少？
⑶求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇？

【例44】 小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（时）之间关系的函数图象．
⑴依照图象回答：小明抵达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？
⑵小明出发两个半小时离家多远？
⑶小明出发多长时间距家12千米？

【例45】 甲乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲乙沿相同的路线同时从山脚出发抵达山顶过程中，个自行进的旅程随时间变化的图象，依照图象中的有关数据回答下列问题：
⑴分别求出表示甲、乙两同学登山过程中旅程（千米）与时间（时）的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）
⑵当甲抵达山顶时，乙行进到山路上的某点处，求点距山顶的距离；
⑶在⑵的条件下，设乙同学从点继续登山，甲同学抵达山顶后休息1小时，沿原路下山，在点处与乙同学相遇，此时点与山顶距离为1．5千米，相遇后甲、乙各自沿原路下山和上山，求乙到大山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？

【例46】 某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发觉门票还在家里，此时离比赛开始尚有分钟，于是立即步行回家取票．同时，他爸爸从家里出发骑自行车以他倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐爸爸的自行车赶回体育馆．下图中线段分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的旅程（米）与所用时间（分钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度一直保持不变）：
⑴ 求点的坐标和所在直线的函数关系式；
⑵ 小明能否在比赛开始前抵达体育馆？

2． 方案决议问题

【例47】 某电信局收取网费如下：163网网费为每小时3元，169网网费为每小时2元，但要收取15元月租费．设网费为（元），上网时间是（小时），分别写出和的函数关系式，某网民每个月上网19小时，他应选哪种上网方式比较划算？

【例48】 东风商场文具部的某种毛笔每枝售价25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠措施．
甲：买一枝毛笔就赠送一本书法练习本．
乙：按购置金额打九折付款．
某校欲为校书法兴趣小组购置这种毛笔10枝，书法练习本本．
⑴写出每种优惠措施实际的金额（元），（元）与（本）之间的函数关系式；
⑵比较购置同样多的书法练习本时，按哪种优惠措施付款更省钱；
⑶假如商场允许能够任意选择一个优惠措施购置，也能够同时选两种优惠措施购置，请你就购置这种毛笔10枝和书法练习本60本设计一个最省钱的购置方案．

【例49】 某校校长暑假将率领该校市级“三好生”去北京旅游．甲旅行社说：“假如校长买全票一张，则其他学生可享受半价优待．”乙旅行社说：“包括校长在内，所有按全票价的6折（即按全票价的60%收费）优惠．”若全票价为240元．
⑴设学生数为，甲旅行社收费为，乙旅行社收费为，分别计算两家旅行社的收费（建立体现式）；
⑵当学生数是多少时，两家旅行社的收费同样；
⑶就学生数讨论哪家旅行社更优惠．

【例50】 甲乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引用户，各自推出不一样的方案：甲超市累计购置商品超出300元后，超出部分按原价的8折优惠，在已超市累计购置商品超出200元后，超出部分按原价8．5折优惠．设用户预计累计购物元．（>300）
试比较用户到哪家超市购物更实惠？阐明理由

【例51】 抗震救灾中，某县粮食局为了确保库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，所有转移到具备较强抗震功效的两仓库．已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而库的容量为70吨，库的容量为110吨．从甲、乙两库到两库的旅程和运费如下表（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运输1千米所需人民币）

⑴若甲库运往库粮食吨，请写出将粮食运往两库的总运费（元）与（吨）的函数关系式．
⑵当甲、乙两库各运往两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？

【例52】 北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可增援外地10台，上海厂可增援外地4台，目前决定给重庆8台，汉口6台．假如从北京运往汉口、重庆的运费分别是4百元/台、8百元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是3百元/台、5百元/台．求：
⑴若总运费为8400元，上海运往汉口应是多少台？
⑵若要求总运费不超出8200元，共有几个调运方案？
⑶求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少元？

【例53】 A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定增援C村10台，D村8台，已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元，从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元．
　 ⑴设B市运往C村机器台，求总运费有关的函数关系式；
⑵若要求总运费不超出9000元，共有几个调运方案？
⑶求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？

【例54】 我县农业结构调整取得了巨大成功，今年水果又喜获丰收，某乡组织30辆汽车装运三种水果共64吨到外地销售，要求每辆汽车只装运一个水果，且必须装满；又装运每种水果的汽车不少于4辆；同时，装运的种水果的重量不超出装运的两种水果重量之和．
⑴设用辆汽车装运种水果，用辆汽车装运种水果，依照下表提供的信息，求与之间的函数关系式并写出自变量的取值范围．
水果品种
A
B
C
每辆汽车运装量（吨）
2．2
2．1
2
每吨水果赢利（百元）
6
8
5
⑵设本次外销活动的利润为（万元），求与之间的函数关系式，请你提出一个取得最大利润时的车辆分派方案．

【例55】 下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润．某汽车运输企业计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按要求满载，并且每辆汽车只装一个蔬菜）

甲
乙
丙
每辆汽车能装的吨数
2
1
1．5
每吨蔬菜可赢利润（百元）
5
7
4
⑴若用8辆汽车装运乙、丙两种蔬菜11吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？
⑵企业计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜36吨到B地销售（每种蔬菜不少于一车），怎样安排装运，可使企业取得最大利润？最大利润是多少？

【例56】 某工厂既有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产两种产品，共50件．已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可赢利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可赢利润1200元．
⑴要求安排两种产品的生产件数，有哪几个方案？请你设计出来；
⑵生产两种产品获总利润是（元），其中一个的生产件数是，试写出与之间的函数关系式，并利用函数的性质阐明⑴中的哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？

【例57】 某饮料厂为了开发新产品，用种果汁原料和种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制千克，两种饮料的成本总额为元．
⑴已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出与之间的函数关系式．
⑵若用19千克种果汁原料和17．2千克种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的有关数据；

请你列出有关且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析怎样配制这两种饮料，可使值最小，最小值是多少？

3． 其他类型的应用题

【例58】 某种储蓄的月利率是，今存入本金100元，求本息和（本金与利息的和）（元）与所存月数之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和．
【例59】 某工厂用一个自动控制加工机制作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和加工过程；加工过程中，当油箱中油量为10升时，机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，如此往复．已知机器需运行185分钟才能将这批工件加工完．下图是油箱中油量（升）与机器运行时间（分）之间的函数图象．依照图象回答下列问题：
⑴求在第一个加工过程中，油箱中油量（升）与机器运行时间（分）之间的函数关系式（无须写出自变量的取值范围）；
⑵机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止？
⑶加工完这批工件，机器耗油多少升？

一次函数与方程、不等式综合

中考要求

板块
考试要求
A级要求
B级要求
C级要求
一次
函数
了解正百分比函数；能结合详细情境了解一次函数的意义，会画一次函数的图象；了解一次函数的性质
会依照已知条件确定一次函数的解析式；会依照一次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标；能依照一次函数的图象求二元一次方程组的近似解
能用一次函数处理实际问题

知识点睛

一、一次函数与一元一次方程的关系

直线与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。求直线与x轴交点时，可令，得到方程，解方程得，直线交x轴于，就是直线与x轴交点的横坐标。

二、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一元一次不等式都能够转化为或(为常数，)的形式，因此解一元一次不等式能够看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量对应的取值范围。

三、一次函数与二元一次方程（组）的关系

一次函数的解析式自身就是一个二元一次方程，直线上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程，因此二元一次方程的解也就有无数个。