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让学生在探究中发现数学的美
------对浙教版初中数学探究活动的几点思考

内容摘要：数学是美丽的，但这种美不是通过言传身教就可以给学生的，学生需要经历思考、探索、研究才能真切地体会、感受数学的真谛。浙教版初中数学教材专设“探究活动”栏目, 体现了数学课程标准的基础性、普及性和发展性的原则，以培养学生能力为目的，为学生提供更大的学习和发展空间，实现不同的人在数学上得到不同的发展。本文分析了浙教版教材“探究活动”栏目意图、类型，认为它能促使学生自主地参与获得知识的过程，掌握研究数学所必须的探究能力；同时，形成认识数学概念，继而培养探索数学的积极态度。本文还认为可把它分为总结辨析型、规律探索型、阅读理解型、激发兴趣型、拓展知识型、体验应用型、动手实践和数学实验型等类型，就各种类型作了详略不一的教学设计的建议。
关键词：探究活动 类型分析 实施策略
请允许我以一段师生对话开篇。
师（严肃而关切地）：A同学，数学课上我看你不够认真，你可要注意哦！
生（沮丧而真诚地）：老师，对不起，上数学课我就是提不起劲……
师（有些生气地）：你这就更不对了,你不知道:数学是很美的吗?
生（急切辩解状）：老师,我听您说过“数学是美丽的”,以前我认真听您讲课，仔细做您布置的作业，但我怎么就一直没感觉到它的美？！
师（无奈、无语）：……
都说数学是很美丽的，但我们的大多数学生感受不到它的美，关键在于我们传统的教师、教材、教学都太注重“讲”与“授”，而轻视了学生自主地“探”与“究”。
《数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式。”皮亚杰认为：学习的最根本途径应该是活动，活动是联系主客体的桥梁，是认知发展的直接源泉。
课程标准中增加了许多探究性的内容，加强了过程性目标的要求，比如说在函数中有探索问题中的数量关系和变化规律，探索函数的性质；在几何中探索图形的位置关系、基本性质等等。许多数学结论让学生探索得到，而不是由教师简单地告诉学生。
教材是新课程理念、课程标准的具体体现，浙教版教材专设“探究活动”栏目,充分体现探究性。课本中设置的“探究活动”体现了数学课程标准的基础性、普及性和发展性的原则，以培养学生能力为目的，为学生提供更大的学习和发展空间，实现不同的人在数学上得到不同的发展。正如布鲁纳所指出的：“我们教一门科目，并不是希望学生成为该科目的一个小型书库，而是要他们参与获得知识的过程。学习更是一种过程，而不只是结果。”
本人从2006年9月开始执教浙教版教材，在解读教本时对教材中所安排的“探究活动”很感兴趣，发现探究性的过程目标在传统教学中比较少，原先不太熟悉。因此教学时，对这些内容设计意图的理解，教学中的实施落实往往感到困难。于是，我从各种渠道搜寻相关资料，请教专家、同行，认真体会课程标准的要求和教材编著者的用意，结合学生实际，作了许多分析、思考，并在教学中逐步落实。回顾一个学期的努力，自我感觉效果不错，尤其是学生的动脑、动手能力，猜想、探究、归纳意识提高了不少。
以下是我对浙教版教材“探究活动”栏目分析、思考并实践的汇报。（说明：因我市是从2006学年开始采用浙教版教材，故下文举例以七上内容为主。）
一、概念、思想和目的意义。
探究，就是探讨和研究。主要指“深入探讨，反复研究”。探讨就是探求学问，探求真理和探本求源；研究就是研讨问题，追根求源和多方寻求答案，解决疑问。科学探究是多层面的活动，包括观察；提出问题；通过浏览书籍和其他信息资源发现结论；根据数学实验对已有的结论作出评价；用工具收集、分析、解释数据；提出解答，解释和预测；以及交流结果。探究要求确定假设，进行批判的和逻辑的思考，并且考虑其他可以替代的解释。”
数学教学中探究的目的是：让学生经历数学家研究、探索数学规律的过程，体验、感受其中的数学思想和方法，从中获得经验，并能够更好地理解知识和提高能力。
《数学课程标准》指出：教材内容的编排和呈现要突出知识的形成与应用过程。浙教版教材比较好地处理好了结果与过程的关系，专设“探究活动”栏目，突出了知识形成、能力养成、应用意识及应用方法的培养过程。另外在“合作学习”“设计题”“课题学习”以及作业的“C组题”中也充分体现探究性。
浙教版教材“探究活动”栏目的期望是：通过动手活动、观察、分析、尝试、讨论、综合等，发现一般性的规律，引导学生学会问题解决的策略、思想和方法，以培养学生能力为目的，为学生提供更大的学习和发展的空间，实现不同的人在数学上得到不同的发展。最终，期望学生能自主地参与获得知识的过程，掌握研究数学所必须的探究能力；同时，形成认识数学概念，继而培养探索数学的积极态度。
如举例1：（见七上P. 70 《3.1 平方根》的“探究活动”）
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我们先来回顾《3.1 平方根》的教学目标：
知识目标是: 理解平方根和算术平方根的概念，了解平方与开平方的关系。能力目标是: 学会平方根、算术平方根的表示法和平方根、算术平方根，并运用以上知识解决实际问题。情感目标是: 学习从特殊到一般的数学思想方法，培养学生从实践到理论，从具体到抽象的辨证唯物主义观点。
再看这节课的重点和难点。重点是： 平方根的概念。难点是：平方根的概念和平方根的表示方法较为抽象，学生难以理解。
在初一学生学完了有理数，对数系的扩展有了一定的认识之后，刚开始学习无理数之时安排了这一“探究活动”。这既是学生数学情感的需要（因为他们这时都会猜测：除了有理数是否还有别的数？数系是否还能扩展？），也是学生数学能力上的需要（利用原有的方法，结合新接触的内容，形成新的能力），更是学生数学思想方法扩展的需要（逆向思维的体验、数学符号的作用等）。但这些都难以通过教师的讲解来实现，最有效的方式就是放手让学生去体会、分析、猜想，继而探究这个问题，得到自己的体会和感受，形成自己的方法和能力。
本活动引导学生探究图形的面积和边长，让学生进一步感受引入平方根也是实际的需要，逆向思考什么数的平方等于2，当找不到合适的有理数时，就想到用平方根表示。并感受是实实在在的一个数，进而粗略估计的范围。除此之外，引导学生探索图中阴影部分的面积就希望学生从面积逆向思考，并且可以进一步体会平方根运算是平方运算的逆运算。
从以上可以看出，要让学生真正理解陌生而且抽象的平方根等概念确实非常困难，只有让学生在自己探究数学、“做数学”的过程中体会、感受、发现才是有意义的和有效的。
又如举例2：见七上P.62 《2.8 计算器的使用》

本问题是利用计算器探索数学规律。探究的过程充分体现程序思想，以及规律探索过程是一个“ 实验—归纳—猜想”的过程。本问题的结果并不重要，重要的是让学生经历“实验—归纳—猜想”的过程，以及体会计算器不仅能帮我们解决繁难的计算，还能帮助探索数学规律，改进数学学习的方式。
这正如浙教版初中数学教材《前言》中所言：“探究活动”引导你亲身经历知识的发生过程，体验“发现”的快乐。
二、“探究活动”的类型分析及相应教学策略。
“探究活动”的内容一般是教材相关内容的引申、拓展、应用、综合、规律探索及开放性问题。
“探究活动”可分为总结辨析型、规律探索型、阅读理解型、激发兴趣型、拓展知识型、体验应用型、动手实践和数学实验型等。以下举例说明各种类型的“探究活动”相应的教师引导设计、学生活动方案。
（一）总结辨析型
华东师范大学数学系张奠宙教授的《基础与创造——中国数学教育的明天》中说：数学的灵魂在于思辩。思考、辨析和总结是学习数学概念的重要环节。很多数学概念，从正面看学生都能较好地理解，但题目一变式，不少学生就混淆甚至错误，哪怕是再多的重复练习也不奏效，这是在概念教学中缺少辨析、总结的缘故。浙教版教材通过总结辨析型的“探究活动”及时、有效地解决了这一问题。
举例3、学生学习了七上第二章《2.1有理数的加法》后，能够正确完成基本的运算，但小学里所掌握的对两数和的认识（如和一定不小于加数）仍根深蒂固。教师如果对他们苍白地说教：“自然数、分数扩展到有理数后，有些运算性质仍成立，而有些不再成立”未必有效，于是教材安排了一次“探究活动”如下：（题见七上P.30）
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本问题在于引导学生探索总结这方面的变化，属总结辨析型的探究活动。同时渗透否定一个命题只需举一个反例的思想。
教学时可分三个步骤：先让学生直观判断，再尝试检验，本问题解决后还可以引导学生探索总结其他更多方面的变化
(二)规律探索型
现代的数学教学，不只是纯为数学知识的学习，同时为学生提供一个创新思维的空间，让学生从简单的图象，主动探索数的规律，从而突出数学的生活化。透过生活化的例子，学生对数字作出观察及分析，以不同角度作思考，利用代数的概念去探索数与数之间的变化规律，并找出例证去验证结果，体验主动学习的过程。
具体的有：利用代数式表示规律，找寻数与数之间变化的奥妙，增加学生学习的兴趣；通过观察数列，发现数之间关系，并进行分析、猜想、判断、验证，训练学生解决问题的能力；透过具体例子，让学生感受数学不是枯燥乏味，而是有趣味及生活化的。这样能转变学生的学习方式，腾出较多的学习的时间和空间，让学生主动学习，让他们体会学习每一条数学规律，都不是单靠老师的讲解，或学生的模仿，而是经过学生动手的实践，通过教师的引导，由学生自己观察、分析、猜想、判断、验证后归纳出来的。 从而帮助学生成为真正学习的主人翁，而教师只是学生学习的促进者。
在规律探索型“探究活动”的过程中，宜鼓励学生合作交流，提倡多元化解决问题的策略，丰富思维，并增强解决问题的能力和技巧。
举例4、（见七上P.42《2.3 有理数的乘法》）

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本问题的设计体现规律探究的常规方法——由简单到复杂，由特殊到一般循序渐进。本问题不仅让学生探索得出规律，更重要的是让学生经历探索的过程，获得经验。同时激发学习兴趣、培养逆向思维和语言表达能力。
教学时，可引导学生选择适当的数进行实验，并归纳、猜想，再验证。最后让学生尝试用自己的语言叙述所发现的规律。要用语言概述一般规律，学生会有困难，应让学生展开交流、补充、完善。要逐步培养，不能急于就成。
（三）阅读理解型
叶圣陶有一句名言：“教是为了不教.。”要想使数学教育目标得到落实，使学生最终能独立自主地学习，就必须重视数学阅读与理解。数学阅读要求学生主动地去探索结论，而不是接受现成的结论，思维的目的不是去印证而是去理解和发现。
举例5 见七上P.184《7.6 余角和补角》

此类活动步骤一般都可分为以下几步：
    1、快速阅读，把握大意 ：在阅读时不仅要特别留心短文中的事件情景、具体数据、关键语句等细节，还要注意问题的提出方式。据此与原有知识建立联系，在头脑中建立初步印象。2、仔细阅读，提炼信息：在阅读过程中不仅要注意各个关键数据，还要注意各数据的内在联系，以简明的方式列出各量的关系，提炼信息，读“薄”题目，同时还要能回到原题中去。3、总结信息，建立数模：根据前面提炼的信息分析，通过文中关键词、句的提示作用，选用恰当的数学模型，将题中的各种已知量用数学符号准确地反映出其内在联系。 4、解决数模，回顾检查：在建立好数学模型后，不要急于解决问题，而应回过头来重新审题，一是看看哪些数据、关系还没有用上，用得是否准确，要充分挖掘题中的条件并发挥它们的作用；二是关键词句的理解是否准确、到位；三是判断所列关系式是否符合生活经验；四是在解题过程中要善于反思，发现问题及时纠正。
当然，教材考虑到学生的年龄和智力水平，对阅读理解的要求是逐步提高的，如举例5就是非常简单的探究，目的是培养从所给问题中获取信息，探究方位角表示的方法的能力，也为以后学习位置的确定作准备。如果能够使学生对此问题进行足够的探究、练习，相信方位角知识的形成应该是很自然的。
（四）体验应用型
《数学课程标准》明确提出了“体验”作为数学教学的过程性目标之一，并指出：（让学生）参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些经验。但是，学生不会主动地去体验、应用，也往往惰于问题解决方法的反思与总结。教材设置这类“探究活动”是为了弥补上述欠缺。
举例5、（见七上P.122《5.2 一元一次方程的解法》）

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本活动引导学生探索、体验解决问题的一般规律，渗透方程思想的运用。教材中特意设定了思考步骤，在此前学生会用尝试、检验的方法完成，且本问题用尝试检验的方法也不难，因数字不大，且只有1到9这9个数字，只需一一代入检验。因此如果学生不看引导提示，按检验的方法做也应肯定，要鼓励学生多角度的思考。但更应要求学生按提示的方法做一做，并阐明这是一种普遍适用的方法，当问题变得复杂时，会显示他的便捷和有效性。
（五）激发兴趣型
孔子曰：“知之者不如好之者，好知者不如乐之者。”在这里，兴趣就是思维的动力，当学生对某件事物发生兴趣时，注意力就集中，求知欲就旺盛，思维就敏捷、灵活。尤其在初中起始年级，采用灵活多样的教学方法，使学生学得有趣，玩得开心，有利于激发学生的求知欲和巩固学到的知识。新课标中指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动的进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。只要教师创设情境，学生就能乐学趣学；只要让学生动手操作，他们就会乐思善思。只有不断的把富有挑战性的学习内容用学生喜爱的不同形式呈现出来，这样才能激发兴趣，激活思维，从而转变学习方式。
举例6、（见七下P.82《3.3 可能性和概率》）：
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关于概率，教学中应注意让学生充分经历实际问题情景，这是认识事件发生的可能性及其大小的惟一途径。本活动以学生熟悉的“锤子、剪刀、布”游戏为背景，引导学生分析游戏的公平性，由此让学生体会游戏中蕴涵的数学思想，并激发学生的学习兴趣。
教学时可让学生先做一做游戏，并判断游戏是不是公平，然后用列表或画树状图的方法一一枚举，列出所有可能出现的有效结果，验证或否定判断。
方法一、列表法：
布
剪刀
布
剪刀
布
剪刀
锤子

布
锤子

剪刀
锤子

锤子

锤子
布
剪刀
锤子
剪刀
布
锤子
剪刀
布
锤子
剪刀
布
方法二、树状图：

（六）拓展知识型
拓展内容包括体现基础知识扩展、综合能力培养或兴趣爱好需求的课程内容；反映数学与现代科技密切联系的科普性材料，数学史料、数学趣味故事等人文性材料。其中有些科普性材料和人文性材料，提供学生自主阅读。
举例7、（见七下P.139《5.6 同底数幂的除法》）：
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本活动是在负整数指数幂的学习后，设计的让学生探索用10的负整数指数幂表示0.00…01这样形式的较小数的规律，使学生从中获得经验，拓展知识。本活动属于基础知识扩展，之所以放在“探究活动”栏目是为了体现“不同的人在数学上得到不同的发展”，同时也为培养学生探究规律习惯。
教学方案应设计为：让学生先根据负整数指数幂的意义填空，并把结果化为小数，然后观察小数中含0的个数与10的负整数指数的关系，从中找出规律，并获得经验。
（七）动手实践型
《数学课程标准》提出：“实践活动是培养学生进行主动探索与合作交流的重要途径。”“教师应该充分利用学生已有的生活经验，随时引导学生把所学的数学知识应用到生活中去，解决身边的数学问题，了解数学在现实生活中的作用，体会学习数学的重要性。”这两段话，都强调了数学教学让学生动手实践的重要意义和作用。
举例8（见七上P.164《7.1 几何图形》）

10

本活动以拼图游戏的形式引导学生动手实践、探索规律。同时渗透图形的组合与分解。将一个图形分解为熟悉的基本图形，由基本图形组合形成复杂的图形是中学数学要培养的一个重要能力。本活动在于激发学生的学习兴趣，培养学生观察图形的形状和位置、对图形进行分解与组合、构造独特造型的创造能力。
教学设计应以学生动手，充分实践，合作交流为出发点，使学生在此过程中充分发挥潜能，达到创新。
总的来说，以上各类“探究活动”用意深刻，既服务于所在课时内容，更作用于学生本体，最重要的是为学生的探究提供了舞台和方向。当然，不同的学生在这个舞台上的表演是有区别的，这恰恰实现了不同的人在数学上得到不同的发展。
对“探究活动”栏目，根据实际情况教学，可以在课内完成，也可以课内作简单提示，由学生课外完成，教师进行点评。该栏目应视学生实际情况选用，不必要求全体学生完成，或者对同一活动内容、不同学生可以提倡不同方式和要求。
另外，要处理好教师适度指导与学生自主探究之间的关系。在新课程理念的指导下，寻求教师适度指导与学生自主探究之间的平衡,把握好教师对学生的“干预度”，是当前新课程实施过程中面临的一个重要课题。目前常见的现象是：“讲授多，探索少” 或“探究太多、指导太少” 。教师还要把握指导时机，教师应在合适的时机、合适的情境、合适的阶段开展非指导性教学，启迪指导应该含而不露，指而不明，开而不达。
最后，想起了本文开头的师生对话，不禁感慨：要是老师在课堂上提供平台，让学生愉悦地实践、欢乐地交流、有序地活动、火热地探究，就不难感受到数学的美丽了。
参考资料：
1、《基础与创造——中国数学教育的明天》华东师范大学数学系张奠宙 2005.
2、邵瑞珍等译：《布鲁纳教育论著选》人民教育出版社
3、黄旭华：《新课标下数学习题的演变》中学数学教育,2004,1-2
4、张天宝：《主体性教育》，教育科学出版社
5、肖林元：《引导学生“创造性学习”的实践与认识》中学数学
（湖北） 2000（8）
6、张宝珍：《浙江版教材整体介绍培训资料》2005、8

学科论文参评

让学生在探究中发现数学的美
------对浙教版初中数学探究活动的几点思考

诸暨市赵家镇中 胡水芹