分类讨论.doc

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初中数学中常见的分类讨论
一、概念中的分类讨论
1．
2.若
A．5或-1 B．-5或1 C．5或1 D．-5或-1
3.已知相切两圆的圆心距为5，一个圆的半径为2，则另一个圆的半径为_______。
二、含有参变量的分类讨论
4. 如果是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A. ±3 B. ±9 C. ±6 D. 6
5.一组数据5，7，7，x的中位数与平均数相等，则x=
6. 解关于x的方程．

三、运动变化中的分类讨论
7．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过小时两车相距50千米，则的值是（ ）
A．2或2．5 B．2或10 C．10或12．5 D．2或12．5
8.如图，如果正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有____个。
A D E

B C F

四、几何图形不确定的分类讨论
9．直角三角形的两边为3，4，则第三边为
10.已知等腰三角形的一条边长等于，另一条边长等于4，则此等腰三角形的周长是（ ）
A．16 B．14 C．16或14 D．16或12
11. 若⊙O的弦 AB所对的圆心角∠AOB=60°，则弦 AB所对的圆周角的度数为（ ）
A．300 B、600 C．1500 D．300或 1500
12. 在平面直角坐标系中，已知A（1，0）和B（0，2）两点,点P在坐标轴上,△ABP为等腰三角形,则满足条件的点P个数是（ ) .
A.4 B.5 C.7 D.8
13.王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计)，请你计算这块等腰三角形菜地的面积．

五、综合题目
14.如图，在矩形ABCD中，AD＝8，点E是AB边上的一点，AE＝2. 过D，E两点作直线PQ，与BC边所在的直线MN相交于点F.
（1）求tan∠ADE的值；
（2）点G是线段AD上的一个动点，GH⊥DE，垂足为H. 设DG为x，四边形AEHG的面积为y，试写出y与x之间的函数关系式；
（3）如果AE＝2EB，点O是直线MN上的一个动点，以O为圆心作圆，使⊙O与直线
PQ相切，同时又与矩形ABCD的某一边相切. 问满足条件的⊙O有几个？并求出其中一个圆的半径.

15.已知⊙的半径为1，以为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形，顶点的坐标为（，0），顶点在轴上方，顶点在⊙上运动．
（1）当点运动到与点、在一条直线上时，与⊙相切吗？如果相切，请说明理由，并求出所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；
（2）设点的横坐标为，正方形的面积为，求出与的函数关系式，并求出的最大值和最小值．

16.已知二次函数的图象如图所示。
⑴ 求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；
⑵ 若点N为线段BM上的一点，过点N作轴的垂线，垂足为点Q。当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为，四边形NQAC的面积为，求与之间的函数关系式及自变量的取值范围；
⑶ 在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
⑷ 将△OAC补成矩形，使上△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）。

13. 解：（1)当等腰三角形为锐角三角形时(如图1)，由勾股定理得AE＝25（m）
由DE∥FC得，，得FC＝24（m） S△ABC= ×40×24=480（m2）
(2)当等腰三角形为钝角三角形时(如图2)同理可得，S△ABC=×64×24=768（m2）
图1

图2
A

14.解：（1）∵ 矩形ABCD中，∠A＝90°，AD＝8，AE＝2， 　
　 ∴ tan∠ADE＝＝＝.
（2）∵ DE＝＝＝6，
∴ sin∠ADE＝＝＝，cos∠ADE＝＝＝.
在Rt△DGH中，∵ GD＝x，
∴ DH＝DG·cos∠ADE＝x，
∴ S△DGH＝DG·DH·sin∠ADE＝·x·x·＝x2.
∵ S△AED＝AD·AE＝×8×2＝8，
∴ y＝S△AED－S△DGH＝8－x2，
即y与x之间的函数关系式是y＝－x2＋8.
（3）满足条件的⊙O有4个.
以⊙O在AB的左侧与AB相切为例，求⊙O半径如下：
∵ AD∥FN，
∴ △AED∽△BEF.
∴ ∠PFN＝∠ADE.
∴ sin∠PFN＝sin∠ADE＝.
∵ AE＝2BE，
∴ △AED与△BEF的相似比为2∶1，
∴ ＝，FB＝4.
过点O作OI⊥FP，垂足为I，设⊙O的半径为r，那么FO＝4－r.
∵ sin∠PFN＝＝＝，
∴ r＝1.
（满足条件的⊙O还有：⊙O在AB的右侧与AB相切，这时r＝2；⊙O在CD的左侧与CD相切，这时r＝3；⊙O在CD的右侧与CD相切，这时r＝6）
15. 3、（1）CD与⊙O相切。
因为A、D、O在一直线上，∠ADC=90°，
所以∠COD=90°，所以CD是⊙O的切线
CD与⊙O相切时，有两种情况：
①切点在第二象限时（如图①），
设正方形ABCD的边长为a，
则a2＋（a＋1）2=13，
解得a=2，或a=-3（舍去）
过点D作DE⊥OB于E，则Rt△ODE≌Rt△OBA，
所以，
所以DE=，OE=，
所以点D1的坐标是（-，）
所以OD所在直线对应的函数表达式为y=
②切点在第四象限时（如图②），
设正方形ABCD的边长为b，则b2＋（b－1）2=13，
解得b=-2（舍去），或b=3
过点D作DF⊥OB于F，则Rt△ODF∽Rt△OBA，
所以，
所以OF=，DF=，
所以点D2的坐标是（，-）
所以OD所在直线对应的函数表达式为y=
（2）如图③，
过点D作DG⊥OB于G，
连接BD、OD，
则BD2=BG2＋DG2
=（BO－OG）2＋OD2-OG2
=
所以S=AB2=
因为-1≤x≤1，所以S的最大值为，
S的最小值为
16. 解：（1）设抛物线的解析式，
其顶点M的坐标是；
（2）设线段BM所在的直线的解析式为点N的坐标为N
则解它们组成的方程组得
所以线段BM所在的直线的解析式为
其中与间的函数关系为,自变量的取值围
(3)存在符合条件的点P,且坐标是.
设点P的坐标为P，则
PC2=分以下几种情况讨论：
（ⅰ）若则PC2=PA2+AC2。可得
，解之得（舍去）。所以点。
（ⅱ）若
解得：（舍去）。所以点。
（ⅲ）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，PA>AC，所以边AC的对角不可能直角
（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的个顶点，第三个点落在矩形这一边OA（或OC）的对边上，如图2，此时未知顶点坐标D（-1，-2），以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图3，此时未知顶点坐标是E。

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