2012届高三数学考点限时训练(37).doc

2012届高三数学考点大扫描限时训练037
1. 已知函数的最大值____________。
2．如图，函数的图象在点P处的切线是，则= ．
3．已知等差数列满足：。数列的前n项和为
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，试问：是否存在正整数n，使不等式成立？若存在，求出相应n的值；若不存在，请说明理由。

4.如图所示是某水产养殖场的养殖大网箱的平面图，四周的实线为网衣，为避免混养，用筛网（图中虚线）把大网箱隔成大小一样的小网箱。
（1）若大网箱的面积为108平方米，每个小网箱的长x,宽y设计为多少米时，才能使围成的网箱中筛网总长度最小；
（2）若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的造价为96元/米，且大网箱的长与宽都不超过15米，则小网箱的长、宽为多少米量，可使总造价最低？

参考答案：
1. ；2． ；
3．（1）设数列的公差为， 由，得，得．
由数列的前和为可知，当时，，
当时，， 当时，得，
故数列的通项公式为,的通项公式为．
（2）假设存在正整数使不等式成立，即要满足,由，，所以数列单调减，数列单调增，
①当正整数时，，所以不成立；
②当正整数时，，所以成立；
③当正整数时，，所以不成立.
综上所述，存在正整数时，使不等式成立.
4．（1）设小网箱的长、宽分别为米、米，筛网总长度为，
依题意， 即，，………………2分
因为，所以，……4分
x
Y
当且仅当时，等号成立，
解方程组得
即每个小网箱的长与宽分别为与4.5米与3米时，网箱中筛网的总长度最小．……………6分
（2）设总造价为元，则由，得，
因为，所以， ，∴
，
求导，可得在上单调递减 ，所以当时，最小，此时, ，
即当小网箱的长与宽分别为米与米时，可使总造价最低．