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数列的前n项和求解方法
知识梳理
一、数列求和基本方法
1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后求和.
2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.
3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项.
4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n项和公式的方法.
5．反序求和法：将一个数列的倒数第k项（k=1，2，3，…，n）变为顺数第k项，然后将得到的新数列与原数列进行变换（相加、相减等），这是仿照推导等差数列前n项和公式的方法.
二．常用结论
（1） 1+2+3+...+n = （2）1+3+5+...+(2n-1) =
（3）（4）
（5） （6）
典例讲解
类型一： 用公式法、错位相减、倒序相加法求数列的和
例1. 求和：.

练习1. 求和.

例2. 数列的前项和为，已知
（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和。

类型二： 裂项相消、分组转化求和、并项求和等方法
例2. 已知数列的通项公式，求它的前n项和.

练习3. 已知数列的通项公式求它的前n项和.

例4. 已知数列的各项为正数，其前n项和，
（I）求之间的关系式，并求的通项公式；
（II）求证

当堂检测
1. 求
2. 求数列，，，…，的前n项的和.
3. 求和.
4. 求和.
5. 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.

第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：=，求数列的前项和.
6. 已知数列{}的通项公式是项和为
7. 已知{}的前n项和的值为
基础巩固
1. 求和：
2. 已知数列
3. 求和
4. 若
5. 设函数
求和：
6. 设正项等比数列的首项，前n项和为，且。（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求的前n项和。
7. 已知数列的前项和为 ，点 在直线上，数列 满足 且其前 项和为.
(1)求数列, 的通项公式；
(2)设 ，数列的前n项的和为 ，求使不等式 对一切 都成立的最大正整数的值
8. 数列{}的前n项和为，且满足
（I）求与的关系式，并求{}的通项公式；
（II）求和