鹤壁北大培文高复数学限时训练(2).docx

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鹤壁北大培文高复数学限时训练

考试总分： 152 分 考试时间： 50 分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;
2．请将答案正确填写在答题卡上;

卷I（选择题）

一、选择题（共 19 小题 ，每小题 3 分 ，共 57 分 ）

1.下列说法错误的是（ ）
A.命题，“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2−3x+2≠0“
B.对于命题p:∃x0∈R，x02+x0+1<0，则￢p:∀x∈R，x2+x+1≥0
C.若m，n∈R，“lnm<lnn“是“em<en”的必要不充分条件
D.若p∨q为假命题，则p，q均为假命题

2.若sin(π3−α)=13，则cos(π3+2α)=( )
A.79
B.23
C.−23
D.−79

3.若将函数y=sin(2x+π3)的图象向右平移m(m>0)个单位长度，所得函数图象关于y轴对称，则m的最小值为（ ）
A.π12
B.π3
C.5π12
D.7π12

4.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sin(32B+π4)=22，且a+c=2，则△ABC周长的取值范围是（ ）
A.(2, 3]
B.[3, 4)
C.(4, 5]
D.[5, 6)

5.已知函数f(x)=axsinx−32(a∈R)，且在[0,π2]上的最大值为π−32，则实数a的值为（ ）
A.12
B.1
C.32
D.2

6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2−n，正项等比数列{bn}中，b2=a3，bn+3bn−1=4bn2(n≥2, n∈N+)，则log2bn=( )
A.n
B.2n−1
C.n−2
D.n−1

7.若函数f(x)=x33−a2x2+x+1在区间(12, 3)上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A.(52, 103)
B.(103, +∞)
C.[103, +∞)
D.[2, +∞)

8.函数y=ln|1x|与y=−−x2+1在同一平面直角坐标系内的大致图象为（ ）
A.

B.

C.

D.

9.函数f(x)=sin(ωx+φ)（其中ω>0且|φ|≤π2）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f(x)的图象上所有点（ ）

A.向右平移π6个单位长度
B.向右平移π3个单位长度
C.向左平移π6个单位长度
D.向左平移π3个单位长度

10.已知函数f(x)=|lnx|−1，g(x)=−x2+2x+3，用min{m, n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)=min{f(x), g(x)}，则函数h(x)的零点个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

11.已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x+2)=f(x)+f(1)成立，若函数y=f(x−1)的图象关于直线x=1对称，则f(2015)=( )
A.−2
B.0
C.2
D.2015

12.已知数列{an}的前n和为Sn，a1=0，an+1=an+2an+1+1，则a5+S4=( )
A.39
B.45
C.50
D.55

13.在△ABC中，若AB→⋅AC→=5且|AB→−AC→|=4，则△ABC面积的最大值为（ ）
A.6
B.152
C.10
D.12

14.设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，对任意的实数x都有f(x)=4x2−f(−x)，当x∈(−∞, 0)时，f′(x)+12<4x．若f(m+1)≤f(−m)+3m+32，则实数m的取值范围是（ ）
A.[−12,+∞)
B.[−32,+∞)
C.[−1, +∞)
D.[−2, +∞)

15.已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)=m(|x−2|+|x−4|)，(m>0)，若函数y=f[f(x)]−4m恰有4个零点，则实数m的取值范围（ ）
A.(0,16)
B.(0,16)∪(56,52)
C.(0,14)∪(54,52)
D.(0,14)

16.一个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图，如图所示，则这个几何体的体积为（ ）

A.8
B.4
C.2
D.1

17.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；
②若m⊂α，n⊂α，m // β，n // β，则α // β；
③m⊂α，n⊂α，m、n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β=m，n // m，且nα，nβ，则n // α且n // β．
其中正确的命题是（ ）
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④

18.在正四面体P−ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）
A.BC // 平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面ABC
D.平面PAE⊥平面ABC

19.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（ ）

A.23
B.43
C.1
D.13
卷II（非选择题）

二、填空题（共 7 小题 ，每小题 5 分 ，共 35 分 ）

20.13(2x−1x2)dx=________．

21.若x，y满足约束条件y≥0x−y+3≥0kx−y+3≥0，且z=2x−y的最大值4，则实数k的值为________．

22.设函数f(x)=ex(2x−1)−ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，则a的取值范围是________．

23.已知平面向量a→，b→，且|b→|=2，a→⋅b→=2，设c→=tb→+(1−2t)a→，t∈R，则|c→|的最小值是________．

24.函数f(x)=−x2+3x+a，g(x)=2x−x2，若f[g(x)]≥0对x∈[0, 1]恒成立，则实数a的取值范围是________．

25.已知a→=(1, 1)，b→=(2, n)，若|a→+b→|=a→⋅b→，则n=________．

26.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是________．
三、解答题（共 6 小题 ，每小题 10 分 ，共 60 分 ）

27.已知函数f(x)=xlnx+ax+b在点（1, f(1)）处的切线为3x−y−2=0．
(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若k∈Z，且存在x>0，使得k>f(x+1)x成立，求k的最小值．

28.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinBsinA+sinC+sinCsinA+sinB=1．
(1)求角A；

(2)若a=43，求b+c的取值范围．

29.已知函数f(x)=3sinxcosx−cos2x−12．
(I)求函数f(x)的对称中心；
(II)求f(x)在[0, π]上的单调区间．

30.已知函数f(x)=exx+a(x−lnx)．（e为自然对数的底数）
(1)当a>0时，试求 f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在x∈(12, 2)上有三个不同的极值点，求实数a的取值范围．

31.已知在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA，PB，BC的中点．

(1)求证：EF⊥平面PAD；

(2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；

(3)线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为π6，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由．

32.设数列{an}为等差数列，且a3=5，a5=9；数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn+bn=2．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)若cn=anbn(n∈N+)，Tn为数列{cn}的前n项和，求Tn．
答案
1.C
2.D
3.C
4.B
5.B
6.A
7.C
8.C
9.A
10.C
11.B
12.C
13.A
14.A
15.B
16.C
17.D
18.C
19.A
20.223
21.−32
22.[32e, 1)
23.1
24.[−2, +∞)
25.3
26.5
27.解：(1)函数f(x)=xlnx+ax+b的导数为f′(x)=1+a+lnx，
可得在点（1, f(1)）处的切线切线的斜率为1+a，切点为(1, a+b)，
由在点（1, f(1)）处的切线为3x−y−2=0．
可得1+a=3，a+b=1，解得a=2，b=−1，
即有f(x)=xlnx+2x−1；（2）k∈Z，且存在x>0，使得k>f(x+1)x成立，即为
(x+1)ln(x+1)+2x+1x的最小值小于k，
设g(x)=(x+1)ln(x+1)+2x+1x(x>0)，
则g′(x)=x−1−ln(x+1)x2，
设h(x)=x−1−ln(x+1)(x>0)．
h′(x)=1−1x+1=xx+1>0，
即有h(x)在(0, +∞)上单调递增．
又h(2)<0，h(3)>0，根据零点存在定理可知：
函数h(x)在(2, 3)内有零点，且在(0, +∞)上有唯一零点，
设该零点为x0，则x0−1=ln(x0+1)，x0∈(2, 3)，
g(x)min=(x0+1)ln(x0+1)+2x0+1x0=x0+2，
则k>x0+2，k∈Z，
故k的最小值为5．
28.解：(1)∵sinBsinA+sinC+sinCsinA+sinB=1．
∴由正弦定理可得：ba+c+ca+b=1，整理可得：b2+c2−a2=bc，
∴由余弦定理可得：cosA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，
∵A∈(0, π)，
∴A=π3．(2)∵A=π3，a=43，
∴由余弦定理a2=b2+c2−2bc，可得：48=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc，解得：bc≤48，当且仅当b=c=43时等号成立，
又∵48=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc，可得：(b+c)2=48+3bc≤192，
∴可得：b+c≤83，
又∵b+c>a=43，
∴b+c∈(43, 83]．
29.解：函数f(x)=3sinxcosx−cos2x−12．
(1)化简可得：f(x)=32sin2x−1+cos2x2−12=sin(2x−π6)−1
令2x−π6=kπ，
得x=kπ2+π12，
故所求对称中心为(kπ2+π12,−1),k∈Z．
(2)令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，
解得kπ−π6≤x≤kπ+π3,k∈Z
又由于x∈[0, π]，
∴x∈[0,π3]∪[5π6,π]．
故所求单调增区间为[0,π3]∪[5π6,π]．
令2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2，
解得kπ+π3≤x≤kπ+5π6,k∈Z
又由于x∈[0, π]，
故所求单调减区间为[π3, 5π6]．
30.解：(1)易知，函数的定义域为x∈(0, +∞)，
f′(x)=(ex+ax)(x−1)x2，
当a>0时，对于∀x∈(0, +∞)，ex+ax>0恒成立，
所以   若x>1，f′(x)>0，若0<x<1，f′(x)<0，
所以单调增区间为(1, +∞)，单调减区间为(0, 1)；(2)由条件可知f′(x)=0在x∈(12, 2)上有三个不同的根，
即ex+ax=0在x∈(12, 2)有两个不同的根，
令g(x)=a=−exx，g′(x)=−ex(x−1)x2，
x∈(12, 1)时单调递增，x∈(1, 2)时单调递减，
∴g(x)max=g(1)=−e，g(12)=−2e，g(2)=−12e2，
∵−2e−(−12e2)>0，
∴−2e<a<−e．
31.(1)证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD
∴AB⊥平面PAD，
又∵EF // AB∴EF⊥平面PAD，(2)取AD中点O，连结PO∵平面PAD⊥平面ABCD，
PO⊥AD∴PO⊥平面ABCD，
如图以O点为原点分别以OG、OD、OP所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系：
∴O(0, 0, 0)A(0, −2, 0)B(4, −2, 0)C(4, 2, 0)，
D(0, 2, 0)，G(4, 0, 0)，P(0,0,23)，E(0, −1, 3)F(2,−1,3)EF→=(2,0,0),EG→=(4,1,−3)，
设平面EFG的法向量为m→=(x,y,z)，2x=04x+y−3z=0，
∴m→=(0,3,1)，

又平面ABCD的法向量为n→=(0,0,1)，
设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为θ∴cosθ=|m⋅→n→||m→|⋅|n→|=12，
∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为π3．(3)设PM→=λPD→,λ∈[0,1]，GM→=GP→+PM→=GP→+λPD→，
∴GM→=(−4,2λ,23(1−λ))，，
∴sinπ6=|cos⟨GM→,m→>|=|GM→|⋅|m→|=23216+4λ2+12(1−λ)2=12，
即2λ2−3λ+2=0，无解，∴不存在这样的M．
32.解：(1)由题意可得数列{an}的公差d=12(a5−a3)=2，
故a1=a3−2d=1，故an=a1+2(n−1)=2n−1，
由Sn+bn=2可得Sn=2−bn，当n=1时，S1=2−b1=b1，∴b1=1，
当n≥2时，bn=Sn−Sn−1=2−bn−(2−bn−1)，∴bn=12bn−1，
∴{bn}是以1为首项，12为公比的等比数列，
∴bn=1⋅(12)n−1=(12)n−1；(2)由(1)可知cn=anbn=(2n−1)⋅2n−1，
∴Tn=1⋅20+3⋅21+5⋅22+...+(2n−3)⋅2n−2+(2n−1)⋅2n−1，
故2Tn=1⋅21+3⋅22+5⋅23+...+(2n−3)⋅2n−1+(2n−1)⋅2n，
两式相减可得−Tn=1+2⋅21+2⋅22+...+2⋅2n−1−(2n−1)⋅2n
=1+22(1−2n−1)1−2−(2n−1)⋅2n
=1−4+(3−2n)⋅2n，
∴Tn=3+(2n−3)⋅2n