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等腰三角形与等边三角形

年份
考点
题型
分值
2013
等腰三角形的性质与其他知识的综合
解答题
12
2012
尺规作图，等腰三角形的性质
解答题
6
2011
等腰三角形的判断及性质与其他知识的综合
解答题
9
2、【2014年中考预测】
本课时内容的考查以解答题为主。有关等腰三角形，等边三角形的性质和判定。2014年考查把等腰三角形和其他知识相结合构成综合题的可能性较大。
3、[考点]
考点1：等腰三角形的判定和性质
1判定。
有两条边＿ ＿_的三角形是等腰三角形，即“等边对等角”。
有两个角＿＿___ 的三角形是等腰三角形，即“等角对边”。
2.性质。
（1）等腰三角形的两个底角＿＿，即“等边对等角”。
（2）三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边的高互相＿重合＿。
（3）对称性：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是＿底边上的高（中线）或顶角的角平分线＿所在的直线。
考点2 等边三角形的判定和性质
1、判定。
三条边都__相等___的三角形是等边三角形。
三个角都__相等___的三角形是等边三角形。
有一个角是60°的_等腰_三角形是等边三角形
2、性质。
（1）等边三角形的三条边__都相等_____。
（2）等边三角形的三个角都是__都相等__。
（3）对称性：等边三角形是_轴对称图像____，有_3_____条对称轴。
4、[例题赏析]
例题1
（2013•广州）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．

考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAE=∠EAC，然后利用“边角边”证明△ABE和△ACE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）先判定△ABF为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得AF=BF，再根据同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等即可．
解答：证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAE=∠EAC，
在△ABE和△ACE中，
AB=AC, ∠BAE=∠CAE,AE=AE.
∴ △ABE≌ △ACE(SAS)
∴BE=CE
(2) ∵ ∠BAC=45°，BF⊥AF，
∴ △ABF为等腰直角三角形。 ∴AF=BF.
由（1）可知AD ⊥BC ，∴ ∠ EAF=∠CBF.
在△AEF和 △BCF中，
AF=BF, ∠AFE= ∠BFC=90°, ∠EAF= ∠CBF
∴ △AEF≌△BCF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，是基础题，熟记三角形全等的判定方法与各性质是解题的关键．
例题2
如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD
求证：(1)BC=AD
（2）△OAB是等腰三角形．

分析：
（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再根据AC=BD，AB=BA，得出Rt△ABC≌Rt△BAD，即可证出BC=AD，
（2）根据Rt△ABC≌Rt△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，
△OAB是等腰三角形．

6、[总结]
等腰三角形和等边三角形都是特殊的三角形，等腰三角形“三线合一”的性质是重要的考点，运用“三线和一”，可以证明角相等、线段相等或线段垂直，即已知等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线三条线段的任意一条线段，就可以推出另外两条线段，解题时要注意它们之间的灵活转化。等边三角形是特殊的等腰三角形，它的每个内角都等于60°，且它具有等腰三角形的一切性质，如“三线合一”，解题时要注意利用这些隐蔽的条件。