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信心、细心、耐心－－高考成功的保证
数学填空题解题突破（珍藏版）
一、专题定位
江苏高考对填空题知识点的考查相对稳定，共有14道，分值70分，填空题的得分多少，决定了整个试卷的成败，本专题通过对高考填空题的题型进行分类，同时穿插方法的指导，提高解题的速度和正确率．
填空题没有备选项．因此，解答时既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足，对考生独立思考和求解，在能力要求上会高一些，只要求写出结果，不要求写出解答过程，不设中间分，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误．
二、应对策略
解填空题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求．数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．
填空题不需要中间过程，因而解答时可以心算、估算、速算，也可以省略、跳步、猜测，甚至还可以凭印象、靠直觉．解答的基本策略是：快——反应快，不要小题大做；稳——变形稳，不可操之过急；全——答案全，力避残缺不齐；活——过程少，不要生搬硬套；细——审题细，答案表述要慎．
解题的基本方法一般有：①直接求解法；②数形结合法；③特殊化法(特殊值法、特殊函数法、特殊角法、特殊数列法、图形特殊位置法、特殊点法、特殊方程法、特殊模型法)；④整体代换法；⑤类比、归纳法；⑥图表法等．
三、样题剖析
（一）直接求解法
直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称之为直接求解法．它是解填空题的常用基本方法．使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法．
例1．（1）设函数，若，，则关于的不等式的解集为________．

（2）过双曲线的左顶点作斜率为的直线，若与双曲线的两条渐近线分别相交于，且，则双曲线的离心率是 ．

（3）将边长为m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形．记，则的最小值是 ．

（4）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使在上的值域为．那么叫做对称函数．现有是对称函数，那么的取值范围是 ．
（二）特殊化法
当填空题的结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替之，即可得到结论．一般性存在于特殊性之中，只要是求一般性的问题，绝大多数可以用特
殊化法来解决．
例2．（1）已知函数为奇函数，若函数上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为 ．

（2） 在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则的值为__________．

（3）在锐角中，、、的对边分别为、、，且，则 ．

（4）在四面体中，，，，则该四面体的体积 ．

（5）三棱锥中，分别是的中点，则截面将三棱锥分成的两部分的体积之比是 ．

（6）观察下列等式：
①；
②；
③；
④；
⑤．
可以推测， ．

（7）已知二次函数有零点与，设，，，则常数的值为        ．

（8）椭圆的焦点为、，点为其上的动点，当为钝角时，点横坐标的取值范围是        ．

（三）数形结合法
借助图形的直观性，通过数与形的关系，迅速作出判断的方法称为数形结合法．文氏图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形．
例3．（1）已知函数，，的零点依次为，则由小到大的顺序是________．

（2）在中，过中线中点任作一直线分别交边于两点，设，，则的最小值是_______．

（3）若方程仅有一个实根，那么的取值范围是________．

（四）构造模型法
例4．（1） 已知函数 的最大值为，最小值为，则 ．

（2）已知是内的一点，且，则 ．

（五）归纳猜想法
例5. 如图，将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表．已知表中的第一列构成一个公比为的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为的等差数列．若，则 ．

（六）信息迁移、开放性填空题
例6．（1）在等式的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是 ．

（2）在中，，若三角形有且只有一个解，则的取值范围______.

（3）设函数 ，给出下列四个诊断：
①它的周期为； ②在区间上是增函数；
③它的图像关于点成中心对称；④它的图像关于直线对称．
请以其中两个论断为条件，另两个诊断为结论，写出一个你认为正确的命题： ．（请用如下形式答题：①②③④）．

（4）如图，椭圆中心在坐标原点，为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比黄金椭圆，可推算出“黄金双曲线”的离心率等于________．

（5）如图，、是平面内相交成的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则将有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标．
①若，则________；
②在坐标系中，以原点为圆心的单位圆的方程为________．

四、70分填空题大突破 姓名 班级 学号
（1）考查以集合为背景的试题
1. 设集合,则________.

2. 设集合，则的子集的个数是________．

3. 已知．若，则实数的取值范围是________．

4. 设集合,,若,则实数的值为________．

5. 设集合A＝{(x，y)|x＋a2y＋6＝0}，B＝{(x，y)|(a－2)x＋3ay＋2a＝0}，若A∩B＝，则实数a的值为________．

6. 已知集合，，在集合任取一个元素，则事件“”的ww w.ks 5u.c om概率是 ．

（2）考查复数的运算
7. 已知复数满足 (其中为虚数单位)，则复数的模是________．

8. 如果复数 (其中为虚数单位，为实数)的实部和虚部互为相反数，那么等于________

9. 若复数（是虚数单位，）是纯虚数,则 .

（3）考查抽样方法与总体分布的估计
10.下图是根据个城市某年月份的平均气温(单位：)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是，样本数据的分组为 ，，，，，，由图中数据可知________；样本中平均气温不低于的城市个数为________．

（4）考查古典概型与几何概型
11. 若将一颗质地均匀的骰子(各面上分别标有个点的正方体玩具)先后抛掷两次，向上的点数依次为，则方程无实数根的概率是________．

12. 从集合中随机选取个不同的数，这个数可以构成等差数列的概率为________．

13. 在区间内随机取两个数，则使得函数有零点的概率为________．

14．已知平面区域，，若在区域上随机投一点，则点落在区域内的概率为________．

15. 设数列满足： ，则的值大于的概率为________．

（5）考查流程图与伪代码
16. 如图，表示第个学生的学号，表示第个学生的成绩，已知学号在的学生的成绩依次为，则打印出的第组数据是________．

17.如图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是________．

（6）考查命题真假的判断
18. 对于，有如下四个命题：
①若，则为等腰三角形；
②若，则是直角三角形；
③若，则是钝角三角形；
④若，则是等边三角形．
其中正确的命题个数是________．

19. 四个关于三角函数的命题：
；；
；．其中假命题的是________．

（7）考查充分必要条件
(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写下列各题)．
20．“”是“”成立的________条件．

21. 方程表示双曲线的充要条件是________．

22. 已知为实数，直线,, 则“”是“”的__________条件．

23. 设，数列是递增数列；，则是的____________条件.
（8）考查空间几何体的面积、体积的计算
24. 设正四棱锥的侧棱长为，则其体积的最大值为________．

25. 有一个各条棱长均为的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能剪裁，但可以折叠，则包装纸的最小边长是________．

26. 某圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积是________．

27. 已知正四棱锥的底面边长是，高为，这个正四棱锥的侧面积是________．

28. 若一个长方体的长、宽、高分别为、、,则它的外接球的表面积是________．

29. 已知三棱锥的所有棱长都相等,现沿,,三条侧棱剪开,将其表面展开成一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为,则三棱锥的体积为________．

（9）考查三角求值问题
30. 若，是第二象限的角，则 ________.

31. 若，则________.

32. 已知,均为正数，，且满足,,则的值为______.

（10）考查三角函数的图象与性质
33. 如图所示为函数的部分图象，其中两点之间的距离为，那么________.

34. 若函数的图象相邻两个对称中心之间的距离是，则实数的值是________．

（11）考查解三角形问题
35. 在中，内角的对边分别是，或，，则________.

36. 在中，已知，是边上的一点，，
则的长为________．

（12）考查函数零点问题
37. 函数所有的零点之和等于________．
38. 若函数满足，且当时，，则函数的零点个数为________．

39. 已知函数若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________．

40. 函数的零点在，则________．

41. 函数的所有零点之和为________．

（13）考查函数的性质
42．已知函数，若是从区间上任取的一个数，是从区间任取的一个数，则此函数在递增的概率等于 ．

43. 已知是上最小正周期为的周期函数，且当时,,则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为 ．

44. 已知函数对任意都有意义，则实数的取值范围是 ．

45. 设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立．如果实数满足不等式组，则的取值范围是 ．

46. 设函数满足对任意的,且.已知当时,有，则的值为 ．
47. 已知函数则使成立的实数的集合为________.

（14）考查指数、对数函数问题
48. 已知函数在区间上是单调递减函数，则实数的取值范围是________．

（15）考查导数的几何意义与运算
49. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为________．

50. 已知是曲线上任意一点，若曲线在点处的切线的倾斜角是均不小于的锐角，则实数的取值范围是________．

51. 已知函数 ，．若曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点，则实数的值为 ．

（16）考查利用导数解决函数的极值与最值
52. 设，若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是________．
53．已知函数在区间上取得最小值，则________．

（17）考查不等式的求解
54. 已知若在上恒成立，则实数的取值范围是________．

55. 设函数则满足的的取值范围是________．

56. 关于的不等式对任意恒成立,则实数的值为_____.

（18）考查基本不等式的应用
57. 已知函数的图象过定点，且点在直线上，则的最小值为________．

58. 各项均为正数的等比数列中,.当取最小值时,数列的通项公式________．

59. 若，且，则的最小值为____.

（19）考查简单的线性规划问题
60.已知满足不等式组则的最小值为________．

61. 设实数满足则的取值范围是________．

62. 已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，满足，，则的取值范围是________．

63. 已知正数满足，则的最小值为 ．

（20）考查平面向量的运算与应用
64. 如图，在边长为的菱形中，，，，则________．

65. 已知，，是平面上的两个点，为坐标原点，若，且，则________．

66. 如图，在直角梯形中，已知，，，，，若为的中点，则的值为________．

67．已知向量，向量，则的最大值是 ．

68. 设点是内一点（包括边界），且，则的最大值是 ．

69. 在菱形中，，，，，则 ．

70. 在平面四边形中，点分别是边的中点,且，若，则的值为 ．

（21）考查推理与证明
71. 观察下列等式: ，，
，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于， ．

72. 在平面中的角的内角平分线分面积所成的比，将这个结论类比到空间：在三棱锥中，平面平分二面角且与交于，则类比的结论为________．

73．二维空间中，圆的一维测度(周长)，二维测度(面积)；三维空间中，球的二维测度(表面积) ，三维测度(体积) ．应用合情推理,若四维空间中，“超球”的三维测度，则其四维测度________．
（22）考查等差数列与等比数列
74．已知数列对于任意，有，若，则 ．

75. 在等差数列中，，，则数列前项和最大时， ________.

76. 在等比数列中，已知，，则的值为________．

77. 等比数列中，，，函数，则的值是________．

78. 等差数列的公差，且，当时，数列的前项和取得最小值，则首项的取值范围为________．

79.下表给出一个“直角三角形数阵”

，
，，
……
满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第行第列的数为，则等于________．

（23）考查数列的综合应用
80. 若满足，，设，则________；类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得________．

81. 数列满足，，，则______，其前项和________．

82. 在数列中，，，则的值为________．

83. 已知等差数列的前项和为，且；若对任意的，将数列中不大于的项
的个数记为，则数列的前项和为 ．

84. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价，最高销售限价以及实数确定实际销售价格．这里，被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数恰好使得是和的等比中项．据此可得，最佳乐观系数的值等于________．

85. 已知数列的通项公式为，数列的通项公式为．设若在数列中，，则实数的取值范围是 ▲ ．

（24）考查直线、圆及其关系问题
86. 过圆上一点作圆的切线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点，则的最小值是 ．

87. 过圆内一点作两条相互垂直的弦，当时，四边形的面积________．

88. 已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，且有，那么的取值范围是 ．

89. 在平面直角坐标系中，已知圆，直线经过点．若对任意的实数，定直线被圆截得的弦长为定值，则直线的方程为 ．

90. 在平面直角坐标系中,已知直线与圆交于两点,则直线与直线的倾斜角之和为 ．
91. 已知直线与圆相交于两点，点在直线上,且，则 的取值范围为 ．

92. 若对于给定的正实数,函数的图像上总存在点,使得以为圆心,为半径的圆上有两个不同的点到原点的距离为,则的取值范围是 ．

（25）考查圆锥曲线的定义、方程及性质
93. 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为________．

94. 设是椭圆的左、右焦点， 为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为________．

95．如图，已知、是椭圆的长轴上两定点，分别为椭圆的短轴和长轴的端点，是线段上的动点，若的最大值与最小值分别为、，则椭圆方程为 ．

96．设点在圆上移动，点在椭圆上移动，则的最大值是________．

97．已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则椭圆的离心率为________．

98．在平面直角坐标系中，以椭圆上的一点为圆心的圆与轴相切于椭圆的一个焦点，与轴相交于、两点，若是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是________．

99．设是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为，，过作直线的垂线，分别交，于两点．若成等差数列，且向量与同向，则双曲线离心率的大小为________．

100. 已知椭圆的离心率，是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的一点，直线、斜倾角分别为、，则________．

101. 在平面直角坐标系中,双曲线的左顶点为，过双曲线的右焦点作与实轴垂直的直线交双曲线于两点,若为直角三角形,则双曲线的离心率为________．

102. 设点是曲线上的一个动点，曲线在点处的切线为，过点且与直线垂直的直线与曲线的另一交点为，则的最小值为________．

103. 已知双曲线的右焦点为，若以为圆心的圆与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为_________．

104. 在平面直角坐标系中，点是双曲线的右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，延长与另一条渐近线交于点．若，则双曲线的离心率为_________．

105. 已知,是双曲线的两个焦点,以线段为边作正,若边的中点在此双曲线上,则此双曲线的离心率为_________．

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