（汤光国老师的教案）正弦定理、余弦定理（1）.doc

课 题：正弦定理、余弦定理（1）
教学目的：⑴使学生掌握正弦定理
⑵能应用解斜三角形，解决实际问题
教学重点：正弦定理
教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角那么斜三角形怎么办？
——提出课题：正弦定理、余弦定理
二、讲解新课：
正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
即 == =2R（R为△ABC外接圆半径）
1．直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1
即　c=， c= ， c=．
∴==
2．斜三角形中
证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中
S△ABC=
两边同除以即得：==
证明二：（外接圆法）
如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ
∴
同理 =2R，＝2R
证明三：（向量法）
过A作单位向量垂直于
由　+=
两边同乘以单位向量 得 •(+)=•
则•+•=•
∴||•||cos90°+||•||cos(90°-C)=| |•||cos(90°-A)
∴ ∴=
同理，若过C作垂直于得： = ∴==
正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：
1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:
⑴若A为锐角时:

⑵若A为直角或钝角时:
三、讲解范例：
例1 已知在
解：， ∴
由得
由得

例2 在
解：∵

∴
例3
解：

，

例4 已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC
分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论
证明：在△ABD内，利用正弦定理得：

在△BCD内，利用正弦定理得：

∵BD是B的平分线
∴∠ABD＝∠DBC ∴sinABD＝sinDBC
∵∠ADB＋∠BDC＝180°
∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC
∴
∴
评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用
四、课堂练习：
1在△ABC中，,则k为( )
A2R BR C4R D(R为△ABC外接圆半径)
2△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为( )
A直角三角形 B等腰直角三角形C等边三角形 D等腰三角形
3在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的
A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件
4在△ABC中，求证：
参考答案：1A，2A3C
4

五、小结 正弦定理，两种应用
六、课后作业：
1在△ABC中，已知，求证：a2，b2，c2成等差数列
证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B，2cos2B＝cos2A＋cos2C

∴2sin2B＝sin2A＋sin2C
由正弦定理可得2b2＝a2＋c2，即a2，b2，c2成等差数列

七、板书设计
§正弦定理、余弦定理（1）
复习 例1、 例2
正弦定理：== =2R
1．直角三角形中 练习：
2．斜三角形中
3．正弦定理的应用
小结：
八、课后记：