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状态反馈控制的主要特性及发展

摘要
现代控制理论主要利用计算机作为系统模型分析、设计乃至控制的手段，适用于多变量、非线性、时变系统。虽然他在本质上是一种“时域法”，但并不是对经典频域法的从频域到时域的简单回归，而是立足于新的分析方法，有着新的目标的新理论。现代控制理论研究内容非常广泛，主要包括3个基本内容：多变量线性系统理论、最优控制理论以及最优估计与系统辨识理论。现代控制理论从理论上解决了系统的能控性、能观性、稳定性及复杂系统的控制问题。状态反馈是指系统的状态变量通过比例环节传送到输入端去的反馈方式。状态反馈是体现现代控制理论特色的一种控制方式。状态变量能够全面地反映系统的内部特性，因此状态反馈比传统的输出反馈能更有效地改善系统的性能。
本文先解释了控制系统的状态变量、可控性和可观性等相关概念，进而引出现代控制理论中的重要控制方式——状态反馈控制。之后重点描述了状态反馈控制的两个主要特性及其发展。由浅入深，层层递进。最后对此次撰写论文进行了总结，对状态反馈控制方法做出了展望。
关键词： 现代控制，状态空间，反馈控制，可控性，可观测性
１.前言
　　现代控制理论是为了解决多输入-多输出系统的控制问题而发展起来的，较之经典控制理论，其研究对象要广泛得多，既可以是单变量的、线性的、定常的、连续的系统，也可以是多变量的、非线性的、时变的、离散的系统。现代控制理论以状态空间描述作为系统的数学模型，以状态变量法为基础，用时域的方法来分析和设计控制系统。它分析和设计控制系统的目标是在揭示系统内在规律的基础上，实现系统在一定意义上的最优化。它的构成带有更高的仿生特点，控制方式已不限于单纯的闭环控制，而扩展到适应环、学习环等，现代控制理论的形成是控制理论发展历史上的又一个里程碑。
反馈是控制理论中的一种基本思想，由于反馈控制可以改善系统的动态品质，如提高瞬态响应性能、增加系统的稳定性、增强抗干扰能力、减少系统对内部参数变化的敏感程度及拓展系统频宽等，因此，无论是经典控制理论范畴，还是现代控制理论领域，反馈都是系统的主要控制方式。采用反馈的基本原因是要在不确定性存在的条件下达到性能目标。许多情况下，对于系统的了解是不全面的，或者，可用的模型是基于许多简化的假设而使它们变得不确切。系统也可能承受外界干扰，输出的观测常受噪声污染。有效的反馈可以减少这些不确定性的影响，因为它们可以补偿任何原因引起的误差。状态反馈、输出反馈和采用状态观测器的状态反馈是现代控制工程系统中的3种基本的反馈形式。不过在经典控制理论中通常采用从系统输出端引出反馈量的输出反馈，而在现代控制理论领域则更多地运用状态反馈。
２.控制系统相关概念
2.1线性系统理论及最优控制理论
线性系统是一种最为常见的系统，也是控制理论讨论得最深人的系统。线性系统理论着重于研究线性系统状态的运动规律和改变这种运动规律的可能性和方法，以建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间的定量关系。通常，研究系统运动规律的问题称为分析问题，研究改变运动规律的可能性和方法的问题则称为综合问题。线性系统理论的主要内容有系统的结构性问题，如系统的能控性、能观性、系统实现和结构性分解、以及线性状念反馈及极点配置、镇定、解耦和状态观测等问题。近30年来，线性系统理论一直是控制领域研究的重点，其主要研究方法有：以状念空间分析为基础的代数方法，以多项式理论为基础的多项式描述法和以空间分解为基础的几何方法。
最优控制理论是研究和解决从所有可能的控制方案中寻找最优解的一门学科。具体地说，就是研究被控系统在给定的约束条件和性能指标下，寻求使性能指标达到最佳值的控制规律问题。例如．要求航天器达到预定轨道的时间最短、所携带的燃料最少等。最优控制理论的基本内容杯常用方法是动态规划、最大值原理和变分法。
2.2线性系统状态空间
　　状态和状态空间等概念很早以前就在力学和电工学中得到了应用。状态变量法是系统的时域描述法，它反应了系统内部的全部信息，又称内部描述法。20世纪50年代后期贝尔曼等人将状态变量法引入控制工程领域之后，这种方法就得到了日益广泛的应用，成为现代控制理论最基本的方法。为了准确理解和应用状态变量法，下面给出状态、状态变量、状态向量及转台空间等术语的定义。
状态：系统的状态是指系统过去、现在和将来的状况。比如对一个作直线运动的质点构成的系统，其状态就是质点的位置和速度。
状态变量：系统的状态变量是指能完全表征系统运动状态的最小一组变量。这里所说的“完全表征”，是指系统所有可能的运动状况都能表达出来，也就是说，如果是某个n阶系统的一组状态变量，就必须满足下列两个条件：
（1）在任何时刻，这组状态变量的值表示系统在该时刻的状态；
（2）当时的输入给定，且上述初始状态确定时，状态变量能完全表征系统在的行为。
而所谓“最小一组变量”，是指为完全表征系统行为所必须的最少个数的一组状态变量，在这组变量中各个状态变量是相互独立、线性无关的，减少任一个都将破坏表征的完整性，而增加变量个数度对完整表征系统行为又是多余的。这里，最小一组变量的个数就是系统的阶数。因此，对一个用n阶微分方程描述的系统来说，它有且仅有n个独立的状态变量。
状态向量：若一个系统有n个彼此独立的状态变量，用这n个状态变量作为分量所构成的向量，称为状态向量，即

状态空间：以状态向量的各个分量为坐标轴所构成的n维空间称为状态空间。系统在任一时刻的状态都可以用状态空间中的一点来表示。如果已知初始时刻的状态，就得到状态空间中的一个初始点：随着时间的推移，将在状态空间中描绘出一条轨迹，即所谓的状态轨迹。
2.3线性控制系统的可控性和可观测性
可控性和可观测性是系统的一种特性。这两个概念是卡尔曼在60年代经出的，是现代控制理论中的两个基本概念。可控性是检查每一状态分量能否被u(t)控制，是指控制作用对系统的影响能力；可观测性表示由观测量y能否判断状态X，它反映由系统输出量确定系统状态的可能性。因此，可控性和可观测性从状态的控制能力和状态的识别能力两个方面反映系统本身的内在特性。实际上，现代控制理论中研究的许多问题，如最优控制、最佳估计等，都以能控性和能观测性作为其解存在的条件。
可控性定义：线性系统，在时刻的任意初值，对（为系统的时间定义域），可以找到容许控制ｕ（其元在上平方可积），使，则称系统在上是状态能控的。
可观测性的定义：线性系统　　
在时刻存在（为系统时间定义域），根据在的观测值，在区间内能够唯一地确定系统在时刻的任意初始状态，则称系统在上是状态能观测的。
３.状态反馈控制的概念及主要特性
3.1状态反馈控制的概念
现代控制理论中，在采用状态空间法时，不仅用输出信号进行反馈，而且还要采用状态变量进行反馈，所以称这种反馈为状态反馈。具体的讲，状态反馈就是将系统的每一个状态变量乘以相应的系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律，作为受控系统的输入。图3-1是一个多输入—多输出系统状态反馈的基本结构。

状态反馈系统结构图
图中受控系统的状态空间表达式为：
（3．1）

（3．2）

式中，，，，，，，。
若D=0，则受控系统：
（3．3）

简记为。
（3．4）
状态线性反馈控制规律为：

式中，为维参考输入；K为维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵。对单输入系统，K为维行矢量。
把式（3.3）代入式（3.1）整理可得状态反馈闭环系统的状态空间表达式：
（3．6）
（3．5）

若D=0，则
（3．8）
（3．7）

简记。
闭环系统的传递函数矩阵：
（3．9）

比较开环系统与闭环系统可得到如下结论。
1）状态反馈不增加新的状态变量，即闭环系统和开环系统同阶数；
2）状态反馈对控制矩阵和直接传递矩阵无影响；
3）在引入状态反馈后系统矩阵A变为(A+BK)；
4）输出矩阵没有变化。
3.2状态反馈控制的主要特性
可控性和可观测性是由状态反馈所构成的闭环系统的俩个主要特性。
定理　若线性定常系统是可控的，则状态反馈所构成的闭环系统　也必是可控的，反之，若不可控，则也是不可控的。
证　为简单起见，其证明只对单输入系统
1）如受控系统是可控的，则其可控矩阵
（3．10）

满秩，即
2）状态反馈所构成的闭环系统的可控判别矩阵
（3．11）

3）对比上两式可以看到，的第一个分块和的第一个分块相同，的第二个分块可以展开成两项
（3．12）

因为Ｋ是一个的行列，ｂ是的列阵，所以Kb是一个标量。这意味式（3. 11）中的可控判别矩阵的第二个分块是式（3. 10）的第二个分块Ab加第一个分块ｂ的常数倍。同理的第三个分块，也可以展开式
（3．13）

由于Kb、Kab及KbKb均是标量，因此，式（3. 12）也表明，的第三个分块的第一，第二个分块的线性代数知识，初等变换不改变矩阵的秩，所以
（3．14）

于是若满秩，也必满秩，即可控，也必可控。
应该指出，状态反馈虽然保持了系统的可控性，但是却可能改变其可观测性。即若是可观测的，则其状态反馈闭环系统不一定是可观测的。关于这一点可以从下面的一个特殊情况得到说明。
一个单输入单输出系统其状态反馈闭环系统的输出方程为
（3．15）

（3．16）
若 　　　　　　　　
（3．17）
则 　　
显然，这时系统是不可观测的。从而也就证明了状态反馈可能破坏其可观性。
状态反馈对闭环系统可控性和可观测性的上述影响，反映在传递函数上可能出现零极点对消现象。
设受控系统的输入输出传递函数为
（3．18）

将A，b，C，d的第二可控标准形式带入上式，再引入状态反馈后闭环系统的传递函数可以看出，引入状态反馈后传递函数的分子多项式不改变，即零点保持不变；而坟墓多项式的每一项的系数均可通过状态反馈系数得到改变，即机电可以任意配置，这样有可能出现如下两种极端情况，既可能使原来没有零极点对消的开环传递函数其闭环传递函数的零极点出现对消现象，也可能使得原来有零极点对消的开环传递函数其闭环传递函数不出现对消现象。基于上述分析便可得出：状态反馈有可能改变其可观测性。下面给出一个例子：
设对象的动态方程为：

因为

所以，该系统是完全能控的，但不是完全能观的。若取状态反馈为的控制律为

则状态反馈系统的动态方程为：

容易验证闭环系统能然是能控且能观的。
　　综上所述，可以得出如下结论：
1）直接状态反馈，反馈引入后并不增加新的状态变量，即比换系统和原开环系统具有相同的阶次，但是闭环传递函数在有零、极点对消时阶次会降低。
2）状态反馈能保持反馈引入前的能控性，但可能改变原系统能观测性。外输出反馈形式，既能保持反馈引入前的能控性，也不会改变原系统的能控性。
3）实现状态反馈的一个基本前提是系统的所有状态变量必须是在物理上可量测的。当状态变量不可量测时，就要设法用输出变量和输入变量来重构状态，即由状态观测器来获得状态的估计值，以实现状态反馈。
4）状态反馈可以通过合理的选择反馈增益矩阵改善系统的控制性能，由于状态能完整地表征系统的动态行为，因而采用状态反馈时，其信息量大而且完整，可以在不增加系统阶数的情况下，自由地支配响应特性。
４.状态反馈控制的发展
控制理论经历了从经典控制到现代控制两个阶段。
1765年俄国人发明了蒸汽机锅炉的水位自动调节器，1788年詹姆斯•瓦特发明了蒸汽机的飞球调节器，这是反馈调节器的一种最成功应用，使得蒸汽机工作速度更加均匀，从而使蒸汽机得到了推广应用。后来的J.C.Maxwell应用微分方程分析了这个调节器的稳定问题，从而开始了对反馈控制问题的理论研究。
从19世纪中叶开始，反馈控制思想和方法经过几个重要突破和发展，到20世纪中叶逐渐形成了经典控制理论的体系。
从20世纪50年代末开始，随着科学技术的发展和生产实际的进一步需要，出现了多输入/多输出控制系统、非线性控制系统和时变控制系统的分析与设计问题。与此同时，近代数学的形成和数字计算机的出现为现代控制理论的建立和发展准备了两个重要的条件。近代数学为现代控制理论提供了多种多样的分析工具；数字计算机为现代控制理论发展提供了分析和应用的平台，人们的研究重点从经典控制理论中的输出反馈转移到现代控制理论中的状态反馈。
结束语
现代控制理论是一门重要的学科，在工业控制领域，航空航天、核技术、生物工程等新兴领域中发挥着越来越重要的作用。状态反馈控制是现代控制理论中的一种重要控制方法。其可控性和可观测特性为现实生活带来了方便。随着科学技术的发展，这项控制技术将得到更广泛的应用。

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