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计量分析与案例

一元回归模型

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2.5 实例
已知全国人均消费金额为Y元，人均国民收入为X元，1981~1992年样本数据见表2.7，要求：
（1） 求人均消费金额对人均国民收入的一元线性样本回归方程；
a) 对相比回归方程进行统计检验；
（2） 1993年人均国民收入为2099.5元，预测1993年人均消费金额为多少元.
表 2.7 单位：元
年份
人均国民收入X
人均消费金额Y

年份
人均国民收入X
人均消费金额Y
1981
393.8
249

1987
859.97
513
1982
419.14
267

1988
1068.8
643
1983
460.86
289

1989
1169.2
699
1984
544.11
329

1990
1250.7
713
1985
668.29
406

1991
1429.5
803
1986
737.73
451

1992
1725.9
947
解：（1）列计算表2.8，表2.9.
① 估计，，求样本回归方程.
表 2.8

由表2.8
=

表 2.9
由表2.9

②统计检验.第一，拟合良好性检验.由表2.8和表2.9计算可决系数：

或
第二，参数估计量的t检验.由表2.8和表2.9计算，，：

，
，
,
,
在时，，因为t=4.822>2.23,所以在95%的置信度下拒绝原假设，说明截距项在回归方程显著不为零.

在时，，因为t=51.25>2.23, 所以在95%的置信度下拒绝原假设，说明X变量显著地影响Y变量.
第三，求得置信区间.
的置信区间为：，计算的：；
的置信区间为：，计算的：.
③预测
=49.27+0.533，
1993年人均国民收入为元，将值代入样本回归方程，得到1993年的人均消费金额预测的点估计值：
=49.27+0.5332099.5=1168.303（元）.
实际1993年人均消费消费金额为1148元，相对误差为1.77%.求1993年人均消费金额的预测区间：在95%的置信区间下，E(1993)的预测区间为：

.
所以，.
或在95%的置信区间下，个别值的预测区间为：
,
.
计算有：
① 样本回归方程： ，其中，是回归方程的斜率，它表示1981~1992年期间，全国人均国民收入每增加1元，将有0.533元用于消费支出；是回归方程的截距，它表示不受人均国民收入的影响的人均消费金额额起始值. ，的符号大小符合经济理论及实际情况.
② 统计检验.,说明总离差平方和的99.6%被样本回归直线方程所解释，只有0.4%为被解释，因此样本回归方程对样本点得拟合优度很高.
给出显著性水平，查自由度为的t分布表，得临界值，拒绝回归系数为零的原假设.说明X变量显著地影响Y变量.