浅谈格林公式的应用.doc

格林公式及其若干应用

孙瑜 指导老师：魏瑛源
（河西学院数学与应用数学专业2008届5班24号,　甘肃张掖　734000）

摘 要 对格林公式及其它学科的几种表现形式做了论述及证明,利用格林格林公式把二重积分化为曲线积分．
关键词　闭区域D；曲线积分；二重积分；格林公式
中图分类号　O172.2

１　格林公式的内容
格林公式是高等教学中一个著名的计算公式,它建立了曲线积分与二重积分之间的联系．它的条件,结论叙述如下：
１.１　单连通区域
设为一平面或空间区域,对于内任意一条闭曲线,总可以在内连续的收缩成内一点则称为单连通区域,否则称是多连通区域．
１.２　格林公式Ⅰ
设是平面有界闭域,是有限条封闭的彼此不相交的可求长曲线是并集,则

其中表示边界是正向,若是的一条封闭曲线,则定向如下：当人沿进行时,使区域在它的左边,或在上一点作一右手系标架使指向的外法线方向,则的指向即为的方向．
１.３　格林公式Ⅱ
设是平面有界闭域,是有限条封闭的彼此不相交的逐段光滑曲线则

为边界曲线的外法线方向．
１.４　外微分
把被积表达式中是函数（如）换成它的微分,化简时,凡出现两个的项规定为零,凡交换位置时规定该项变号,这样所得的式子称为的外微分,记作．格林公式可表达如下:被积表达式在区域边界上的积分等于它的外微分在区域上的积分,即

边界正向规定同上．

２　二重积分转化为曲线积分的一个定理及推论
下面给出关于二重积分转化为曲线积分的一个定理并对它进行讨论．
把二重积分转化为曲线积分,关键是适当的选择具有一阶连续导数的二阶函数,使

在上恒成立．为此,我们有下面的
２.１定理　设闭区域由分段光滑曲线围成,函数在上具有一阶连续倒数且
,
则

其中取的正向边界曲线．
证　令,,于是
,．

,．
由格林公式得
,
从而
．
２.２推论　设闭区域由分段光滑曲线围成,函数在D上具有一阶连续偏导数．则
（i）当时,
；
（ii）当时,
；
（iii）当时,
；
（iv）当且时,
,
其中取的正方向边界曲线．
３　格林公式的应用
３.１　格林公式在流体力学及其他学科中有如下几种变型：
⑴　
⑵　
其中为曲线Ｌ的外法线方向．
⑶
⑷　
⑸　
证明：
⑴　在公式中,令,,
则有

再将下标去掉,即得．所以原式成立．
⑵　由平面曲线上两类曲线积分之间的如下联系式：
　　　　①
其中,为有向曲线弧Ｌ上点处的切线向量的方向角．
所以①式也可写成
　　　　②
即
0
α
α
D
L
x

y
图１

因为Ｌ为封闭曲线,取为曲线弧Ｌ上点处的法线方向,如图1：

再由⑴之结论,可得
所以原式成立．此等式也可以看成是高斯公式的平面形式之一．
⑶　即证
其中表示函数在曲线Ｌ上点处沿Ｌ的外法线的方向导数,如图1．

令,由公式,
则
上式

所以原式成立．
⑷　即证：　　　　④
在前面结论⑵中令,,
即有

再移项,即可得原式,所以原式成立．另外由⑷的结论也可看出,在⑷式中,若令,即可得⑶的结论．
⑸　因为结论⑷成立,在⑷　式中将交换,即有
　　　　　　　　　　　⑤
用④式减去⑤式,即得⑸的结论,所以原式成立．
3.2 利用格林公式将曲线积分化为二重积分．
例１　计算,其中为正向圆周．
解　本题除了运用参数方程方法解外,还可如下求解,满足格林公式条件:
因为
所以原积分,考虑极坐标算法: ,
所以原积分

3.3　利用格林公式把二重积分化为曲线积分．

x

y
0
D
图２
例2　计算,其中是椭圆与坐标轴围成的第一象限是区域．
解　．
由推论（ⅰ）得
．
显然
．
而

　　 ,
所以
．
0
y
x
L3
L1
L2
D
图３
例3 计算,其中是由双曲线和直线围成的第一象限的闭区域．
解　．
根据定理得
．
因为
　．
同理
．
而

注１　本题可用推论（１）或（２）求解,但很复杂．
注２　当时,由于,所以此时亦可根据推论（４）求解．
3.4 曲线积分与积分路径的关系．
(1)若函数、、、在单连通区域上连续，且，则沿内的任一光滑闭曲线的 积分为零，即
．
例4 设是任意一条分段光滑的闭曲线，求证
证明 令则在全，这个单连通区域内成立．故由格林公式可得
．
(2)当考虑积分时，若为平面区域内一条简单闭曲线，而区域为含有“点洞”的复连通区域，函数、除点外，处处有连续偏导数存在，且满足．当闭路不包围点时，此曲线积分的值为零．当闭路包围点时，一般说来，此线积分不再为零，积分值为一常数，具体求法如下：只要选择一个适当小的包围点的正向闭曲线来将点扣掉，则曲线积分在以和围成的复连通区域内仍可用格林公式计算，并有结论：

其中为闭路正向．
例5 计算，为任意一条无重点，分段光滑且包围原点的闭曲线．
解 很明显，坐标原点为函数、的奇点，其中
．
所以这个积分结果为一个常数，可取以原点为圆心，选取适当小的为半径．作为闭曲线内的圆周：，方向为逆时针，对这个复连通区域应用格林公式，有
．
用参数方程计算：．
上积分=．
(3)若积分路径为单连通区域内一条非闭路径，且、、、在上连续，又有，则曲线积分与路径无关，而仅与起、终点、有关．
例６ 设为连续函数,且为逐段光滑的闭曲线,试证:但由格林公式可推出如下四个等价的结论:当区域为单连通,、、、都在内连续时,则
①成立
②
③与路径无关,只与起、终点有关
④是某个可微函数的全微分,即
上面四个结论,只要出现一个,即可推知其他三个结论必存在.在本题中,因为连续,故可积,令,并令,,则有

故,由上面的等价条件④可知,必有与路径无关,只与起终点有关,证毕.
综上可知,格林公式可使曲线积分的计算大大简化,因此在场论、流体力学、热力学、电学及微分方程等学科中得到广泛的应用.
致谢 忠心感谢魏老师的悉心指导!

参 考 文 献
[1] 同济大学教学教研室.高等数学(下册)[M].北京:高等教育出版社.1996.
[2] 菲赫金哥尔茨P M著,路见可译.微积分学教程（第三卷,第一分册）[M].北京:人民教育出版社,1964.183.
[3] 华东师范大学数学系数学分析.(下册)[M].高等教育出版社,1985.297-425.
[4] 林源渠,方企勤.数学分析解题指南[M].北京大学出版社,2000.329-341.
[5] 董鹤年.巧用格林公式[N].青岛化工学院学报,2002-06(3).
[6] 喻德生.曲线积分在二重积分中的应用[N].南昌航空工业学院学报,2001-06-01(2).
Green's formula and the number of applications
Sun Yu　　　　　 instructor:wei yingyuan
(West of Mathematics and Applied Mathematics Institute of Professional 2008 session of five classes on the 24th, Zhangye, Gansu 734000)
Summary of Green's formula and other subjects of several forms done on and proved that the formula used Gelingelin into double integral curve points.
Keywords close regional D; curve points; double integral; Green's formula