高三艺术班数学一轮复习资料函数模型及其应用.doc

第二章　函数、导数及其应用
第9讲 函数模型及其应用
一、必记2个知识点
1． 几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)

2．三种函数模型性质比较

y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的单调性
增函数
增函数
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图像的变化
随x值增大，图像与y轴接近平行
随x值增大，图像与x轴接近平行
随n值变化而不同
二、必明2个易误区
1．易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．
2．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．
三、必会1个方法
解决实际应用问题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：

考点一
一次函数与二次函数模型

1.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差(　　)
A．10元　　　　　　B．20元 C．30元 D.元
解析：选A　依题意可设sA(t)＝20＋kt，sB(t)＝mt，
又sA(100)＝sB(100)，∴100k＋20＝100m，得k－m＝－0.2，
于是sA(150)－sB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，
即两种方式电话费相差10元，选A.
2．(2013·北京西城区抽检)将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个(　　)
A．115元 B．105元 C．95元 D．85元
解析：选C　设售价定为(90＋x)元，卖出商品后获得利润为：y＝(90＋x－80)(400－20x)＝20(10＋x)(20－x)＝20(－x2＋10x＋200)＝－20(x2－10x－200)＝－20，∴当x＝5时，y取得最大值，即售价应定为：90＋5＝95(元)，选C.
3．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
解：设该单位每月获利为S，
则S＝100x－y＝100x－＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000，
因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40 000.
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．

求解一次函数与二次函数模型问题的关注点
(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；
(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；
(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
考点二
分段函数模型
　提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式．
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．
　(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b.由已知得解得
故函数v(x)的表达式为v(x)＝
(2)依题意并由(1)可得
f(x)＝当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当20<x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤2＝.
当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．
所以当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值．
综上，当x＝100时，f(x)在区间上取得最大值f(x)max＝≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．

应用分段函数模型的关注点
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．
(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏．
(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)．

某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．

(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；
(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．
解：(1)图①是两条线段，由一次函数及待定系数法，得f(t)＝
图②是一个二次函数的部分图像，故g(t)＝－t2＋6t(0≤t≤40)．
(2)每件样品的销售利润h(t)与上市时间t的关系为h(t)＝
故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的关系为
F(t)＝
当0≤t≤20时，F(t)＝3t＝－t3＋24t2，
∴F′(t)＝－t2＋48t＝t≥0，∴F(t)在上是增函数，
∴F(t)在此区间上的最大值为F(20)＝6 000<6 300.当20<t≤30时，F(t)＝60.
由F(t)＝6 300，得3t2－160t＋2 100＝0，解得t＝(舍去)或t＝30.
当30<t≤40时，F(t)＝60.
由F(t)在 (30,40]上是减函数，得F(t)<F(30)＝6 300.
故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6 300万元，为上市后的第30天．
考点三
指数函数模型
　一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
　(1)设每年降低的百分比为x(0<x<1)．则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，解得x＝1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，则a(1－x)m＝a，即＝，＝，
解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，≥，≤，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．

应用指数函数模型应注意的问题
(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．
(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．
(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．
提醒：解指数不等式时，一定要化为同底，且注意对应函数的单调性．

(2013·长春联合测试)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　　)
A．略有盈利 B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况
解析：选B　设该股民购这支股票的价格为a，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．
课后作业

(2013·陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________(m)．
解析：设矩形花园的宽为y m，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20 m时，面积最大．答案：20

据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系是(　　)
A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000) B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000) D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
解析：选D　y＝0.2x＋(4000－x)×0.3＝－0.1x＋1 200.(0≤x≤4 000)
做一做
1．(2014·南昌质检)往外埠投寄平信，每封信不超过20 g，付邮费0.80元，超过20 g而不超过40 g，付邮费1.60元，依此类推，每增加20 g需增加邮费0.80元(信的质量在100 g以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5 g，则他应付邮费(　　)
A．3.20元　　　　　　　B．2.90元 C．2.80元 D．2.40元
解析：选A　由题意得20×3<72.5<20×4，则应付邮费0.80×4＝3.20(元)．故选A.
2．(2014·广州模拟)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是(　　)
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
解析：选D　根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.
3．一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是关于经过年数x(0<x≤m)的函数，其关系式y＝f(x)可写成__________________．
解析：依题意有y＝a(1－p%)x(0<x≤m)．答案：y＝a(1－p%)x(0<x≤m)
4．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解：(1)每吨平均成本为(万元)．则＝＋－48≥2－48＝32，
当且仅当＝，即x＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低，最低为32万元．
(2)设可获得总利润为R(x)万元，
则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000＝－＋88x－8 000＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．
∵R(x)在上是增函数，∴x＝210时，R(x)有最大值为－(210－220)2＋1 680＝1 660.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1 660万元．
5．设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为(　　)

解析：选D　注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.
6．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　　)
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100
解析：选C　根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．
7．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．

给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是(　　)
A．① B．①②
C．①③ D．①②③
解析：选A　由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.
8某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图像，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为(　　)
A．上午10：00 B．中午12：00
C．下午4：00 D．下午6：00
解析：选C　当x∈时，设y＝k1x，把(4,320)代入，得k1＝80，
∴y＝80x.当x∈时，设y＝k2x＋b.把(4,320)，(20,0)代入得解得
∴y＝400－20x.∴y＝f(x)＝由y≥240，得或
解得3≤x≤4或4<x≤8，∴3≤x≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.故选C.
9.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞 ，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图像可能是图中的________．

解析：当h＝0时，v＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h在附近时，体积变化较快；h小于时，增加越来越快；h大于时，增加越来越慢．答案：②
10.如图，书的一页的面积为600 cm2，设计要求书面上方空出2 cm的边，下、左、右方都空出1 cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．
解析：设长为a cm，宽为b cm，则ab＝600 cm，则中间文字部分的面积S＝(a－2－1)(b－2)＝606－(2a＋3b)≤606－2＝486，当且仅当2a＝3b，即a＝30，b＝20时，S最大＝486 cm2.答案：30 cm,20 cm
11．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．
解析：七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 ，根据题意有
3 860＋500＋2≥7 000，
即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，令t＝1＋x%，则25t2＋25t－66≥0，
解得t≥或者t≤－(舍去)，故1＋x%≥，解得x≥20.答案：20
12．(2013·昆明质检)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．
(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费用y(元)的函数关系；
(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表：
月用水量x(吨)
3
4
5
6
7
频数
1
3
3
3
2

请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到1元)；
(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：
月用水量x(吨)
1
2
3
4
5
6
7
频数
10
20
16
16
15
13
10

据此估计该地“节约用水家庭”的比例．
解：(1)y关于x的函数关系式为y＝
(2)由(1)知：当x＝3时，y＝6；当x＝4时，y＝8；当x＝5时，y＝12；
当x＝6时，y＝16；当x＝7时，y＝22.所以该家庭去年支付水费的月平均费用为
(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元)．
(3)由(1)和题意知：当y≤12时，x≤5，
所以“节约用水家庭”的频率为＝77%，据此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%.
14．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m>0)．
(1)如果m＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度；
(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
解：(1)若m＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2，当θ＝5时，2t＋＝，
令2t＝x(x≥1)，则x＋＝即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝(舍去)，此时t＝1.
所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．
(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，亦m·2t＋≥2恒成立，亦即m≥2恒成立．
令＝y，则0<y≤1，∴m≥2(y－y2)恒成立，由于y－y2≤，∴m≥.
因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是.
15．(2014·威海高三期末)对于函数f(x)，如果存在锐角θ，使得f(x)的图像绕坐标原点逆时针旋转角θ，所得曲线仍是一函数，则称函数f(x)具备角θ的旋转性，下列函数具备角的旋转性的是(　　)
A．y＝ B．y＝ln x C．y＝x D．y＝x2
解析：选C　函数f(x)的图像绕坐标原点逆时针旋转角，相当于x轴、y轴绕坐标原点顺时针旋转角，问题转化为直线y＝x＋k与函数f(x)的图像不能有两个交点，结合图像可知y＝x与直线y＝x＋k没有两个交点，故选C.