简单随机抽样一例.docx

简单随机抽样一例
张海波

简单随机抽样是抽样方法中最基本的一种抽样方法，同学们在学习过程中，会遇到几个容易混淆的问题，下面举例说明。
题：一个总体有8个个体，要通过逐个抽取的方法从中抽取一个容量为4的样本，求：
（1）每次抽取时各个个体被抽到的概率；
（2）指定的个体a在四次抽取时各自被抽到的概率；
（3）整个抽样过程中个体a被抽到的概率。
分析：（1）首先应明确，抽样过程是分四次抽完，在第一次抽取时“各个个体”是指8个个体。而第二次抽取时，“各个个体”研究的对象就变成了剩余的7个，因此，第一次各个个体被抽取的概率为，第二次为，第三次为，第四次为，虽然四次间的概率不相等，但“每次”抽到“各个个体”的概率相等。
（2）对于指定的个体a在第一次被抽到的概率显然是；下面看第二次，“个体在第二次被抽到”的实质是“个体a在第一次未被抽到，而第二次被抽到”，因此，应分两步：
第一步，“个体a在第一次未被抽到”其概率为：

第二步“个体a在第二次被抽到”的概率为，故其概率为：

同理，第三次被抽到的概率的实质是“第一次和第二次均未被抽到，而第三次被抽到”。
所以其概率为：

第四次被抽到的概率的实质是“前三次均未被抽到，而第四次被抽到”，所以其概率为：

故个体a在这四次中被抽到的概率相等，均为：
（3）“整个抽样过程中个体a被抽到”可分成四类：“第一次被抽到”、“第二次被抽到”、“第三次被抽到”、“第四次被抽到”，由（2）可知其概率为：

通过以上分析可以看出，关键是正确区分：
第一，研究的是“各个个体”还是“指定的个体”。
第二，研究的是“整个抽样过程”还是“某次抽样”。
“用简单随机抽样，从个体为N的总体中抽到一个容量为n的样本，则每个个体被抽到的概率为。”同学们可以自己证明。