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数学解题中转化思维的十种策略

江苏洪泽县中学 胡国生

数学活动的实质就是思维的转化过程，在解题中，要不断改变解题方向，从不同角度，不同的侧面去探讨问题的解法，寻求最佳方法，在转化过程中，应遵循三个原则：1、熟悉化原则，即将陌生的问题转化为熟悉的问题；2、简单化原则，即将复杂问题转化为简单问题；3、直观化原则，即将抽象总是具体化。

策略一：正向向逆向转化

一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，如果从下面入手思维受阻，不妨从它的正面出发，逆向思维，往往会另有捷径。

例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种。

A、150       B、147       C、144       D、141

分析：本题正面入手，情况复杂，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简单多了。

解：10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选（D）。

策略二：局部向整体的转化

从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较复杂的数学问题却需要从总体上去把握事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题，不单打独斗。

例2：一个四面体所有棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为（    ）

A、        B、        C、        D、

分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选（A）。

策略三：未知向已知转化

又称类比转化，它是一种培养知识迁移能力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相似性，巧妙进行类比转换，答案就会应运而生。

例3：在等差数列中，若，则有等式

（成立，类比上述性质，在等比数列中， ，则有等式_________成立。

分析：等差数列中，，必有，

，

故有类比等比数列，因为 

，故成立。

策略四：固定向重组的转化

挖掘题目隐含关系，将已知条件或结论巧妙而又合理地改造，重新组合，让零散的信息聚整，模糊的信息显现。

例4：外两条直线，给出四个论断：① ② ③ ④以其中三个论断为条件，余下论断为结论，写出所有正确的命题。

分析：本题要求学生对线线关系，面面关系，以及线面关系的判定及其性质理解透彻，重点考查学生对信息分析、重组判断能力，正确命题有①②③④，②③④①

策略五：抽象向具体转化

有些题目看起来较为抽象，貌似不易解决，但结合具体数学情境，联系相知，建立模型，以启迪解题思路，寻找解决问题的突破口。

例5：已知为常数，且，问是不是周期函数，若是，求出周期，若不是说明理由。

分析：由联想到，找到一个具体函数，=，而函数猜想是一个周期为的函数。这样方向明，思路清。

证明：，

策略六：个别向一般的转化

华罗庚说过：“善于退，足够地退，退到起始，而不失去重要地步，是学好数学的决窍。”
对于表面上难于解决的问题，需要我们退步考虑，研究特殊现象，再运用分析归纳、迁移、演绎等手法去概括一般规律，使问题获解。

例6：已知数列 ()是首项为，公比为的等比数列。

（1）  求和：；

（2）  由（1）的结果归纳出关于正整数的一个结论，并加以证明。

分析：（1）  （）

同理可得：= 

猜想：

证明：=

      =

策略七：数向形的转化

数缺形时少直观，形缺数时难入微，形数结合是数学的重要表现形式，通过对已知不等式函数等变形，代换处理后，赋于其几何意义，以形定数，可以避繁就简。

例7：设，求证：

分析：不等式右端为，可看为单位正方形的两条对角线之和，从题目的整体结构容易联想到勾股定理。

证明：作边长为1的正方形ABCD，作两组平行线把正方形分成四个矩形，那么不等式左端=（PA+PC）+（PB+PD）AC+BD=，当且仅当P在正方形中心处，即时，“等号”成立。

策略八：暄量向定性的转化

当定量求解某些问题困难时，可以考虑将定量问题转化为定性问题，通过定性判断来解决。

例8：已知函数图象如下图

则函数图象可能是（    ）

分析:要根据的函数图象准确地画出的图象是困难的，但我们注意到一奇一偶，所以是奇函数排除B，但在无意义，又排除C、D，应选A。

策略九：主元向辅元的转化

主元与辅元是人为的相对的，可以相互切换，当确定了某一元素为主元时，则其他元素是辅元。

例9：已知关于的方程：有且仅有一个实根，求实数的取值范围。

分析：显然，题目中的是主元，为辅元，但方程中的最高次数为3，求根比较困难，注意到的最高次数为2，故可视为主元，原方程转化为关于的二次方程。

解：原方程可代为即

，原方程有唯一实根，无实根，

策略十：模式向创造的转化

数学题目千变万化，虽然不存在固有的解题模式和千篇一律的解题方法，但只要我们破除思维定势，树立创新意识，进行发散思维，左挂右联，巧思妙想，分析题目结构特征，还是可以找到令人耳目一新的解法

例10：已知： 

    求证：

证明：构造对偶式：令

则

       =

又  （

参考文献：

1、李绍亮《选择题结构、设计与解法》，中学数学参考1994年第7期。

2、黄孝长《重视转化思想渗透，着意思维品质的培养》，中学数学2003年第6期。

3、罗增儒《解题杂谈》，中学数学教学参考2000年第7期。

4、刘康宁《求最值的方法与技巧种种》，中学数学教学参考1994年第12期。