质量管理学 第五章 统计过程控制.docx

第五章 统计过程控制
本章要点
l 过程能力指数概述；
l 过程能力指数分析；
l 控制图的分类程序和方法；
l 控制图的分析。
第一节 过程能力分析
一、过程能力
1．过程能力的概念
过程能力（process capability）或称之为工序能力是指处于稳定状态下的过程（或工序）实际的加工能力，它是衡量过程加工内在一致性的标准。
过程能力的测定一般是在成批生产状态下进行的，过程满足产品质量要求的能力主要表现在以下两个方面：①产品质量是否稳定；②产品质量精度是否足够。因此，当确认过程能力可以满足精度要求的条件下，它是以该过程产品质量特性值的变异或波动来表示。产品质量的变异可以用频数分布表、直方图、分布的定量值以及分布曲线来描述。在稳定生产状态下，影响过程能力的偶然因素的综合结果近似地服从正态分布。为了便于过程能力的量化，可以用3σ原理来确定其分布范围：当分布范围取为µ±3σ时，产品质量合格的概率可达99.73%接近于1。因此以±3σ，即6σ为标准来衡量过程的能力是具有足够的精确度和良好经济特性的。所以在实际计算中就用6σ的波动范围来定量描述过程能力。
记过程能力为B，则 B=6σ。
2．影响过程能力的因素
在加工过程中影响过程能力的因素，主要有以下几个方面：
（1）设备方面。如设备精度的稳定性，性能的可靠性，定位装置和传动装置的准确性，设备的冷却润滑的保护情况，动力供应的稳定程度等。
（2）工艺方面。如工艺流程的安排，过程之间的衔接，工艺方法、工艺装备、工艺参数、测量方法的选择，过程加工的指导文件，工艺卡、操作规范、作业指导书、过程质量分析表等。
（3）材料方面。如材料的成分，物理性能，化学性能处理方法，配套元器件的质量等。
（4）操作者方面。如操作人员的技术水平、熟练程度、质量意识、责任心等。
（5）环境方面。如生产现场的温度、湿度、噪音干扰、振动、照明、室内净化、现场污染程度等。
过程能力是上述5个方面因素的综合反映，但是在实际生产中，这5个因素对不同行业、不同企业、不同过程，及其对质量的影响程度有着明显的差别，起主要作用的因素称为主导因素。如对化工企业来说，一般设备、装置、工艺是主导因素。又如机械加工的铸造过程则主要因素一般是工艺过程和操作人员的技术水平，手工操作较多的冷加工、热处理及装配调试中的操作人员更为重要等等。这些因素对产品质量都起着主导作用，因而是主导性因素。
在生产过程中，随着企业的技术改造和管理的改善，以及产品质量要求的变化，主导性因素也会随着而变化的。如当设备问题解决了，可能工艺管理或其它方面又成为主导性因素；当工艺问题解决了，可能操作人员的水平、环境条件的要求又上升到主导因素等等。进行过程能力分析，就是要抓住影响过程能力的主导因素，采取措施，提高过程质量，保证产品质量达到要求。
3．进行过程能力分析的意义
首先，过程能力的测定和分析是保证产品质量的基础工作。因为只有掌握了过程能力，才能控制制造过程的符合性质量。如果过程能力不能满足产品设计的要求，那么质量控制就无从谈起，所以说过程能力调查、测试分析是现场质量管理的基础工作，是保证产品质量的首要条件。
第二，过程能力的测试分析是提高过程能力的有效手段。因为过程能力是由各种因素造成的，所以通过过程能力的测试分析，可以找到影响过程能力的主导性因素。从而通过改进工艺，改进设备，提高操作水平，改善环境条件，制订有效工艺方法和操作规程，严格工艺纪律等来提高过程能力。
第三，过程能力的测试分析为质量改进找出方向。因为过程能力是过程加工的实际质量状态，它是产品质量保证的客观依据，通过过程能力的测试分析，为设计人员和工艺人员提供关键的过程能力数据，可以为产品设计提供参考。同时通过过程能力分析找出影响过程能力的主要问题，为提高加工能力和改进产品质量找到努力的方向。
二、过程能力指数
1．过程能力指数的概念
过程能力指数表示过程能力满足产品技术标准的程度。技术标准是指加工过程中产品必须达到的质量要求，通常用标准、公差（容差）、允许范围等来衡量，一般用符号T表示。质量标准（T）与过程能力（B）之比值，称为过程能力指数，记为CP°
过程能力指数CP值，是衡量过程能力满足产品技术要求程度的指标，过程能力指数越大，说明过程能力越能满足技术要求，甚至有一定的能力贮备。但是不能认为过程能力指数越大，加工精度就越高或者说技术要求越低。
2．计量值过程能力指数的计算
（1）计量值为双公差而且分布中心和标准中心重合的情况(如图5-1所示)。

图5-1
此时CP值的计算如下

σ可以用抽取样本的实测值计算出样本标准偏差S来估计。这时，

式中Tµ为质量标准上限，TL为质量标准下限。即T= Tµ－TL。
例5—1 某零件的强度的屈服界限设计要求为4800—5200㎏/㎝2，从100个样品中测得样本标准偏差（S）为62㎏/㎝2，求过程能力指数。
解：当过程处于稳定状态，而样本大小n=100也足够大，可以用S估计σ得过程能力指数为：

（2）分布中心和标准中心不重合的情况下CPK值的计算
当质量特性分布中心µ和标准中心M不重合时，如图5-2所示，虽然分布标准差σ未变，CP也没变，但却出现了过程能力不足的现象

图5-2
令ε=|M－µ|，这里ε为分布中心对标准中心M的绝对偏移量。把ε对T/2的比值称为相对偏移量或偏移系数，记作K，则：

又

所以

从上述公式可知：
①当µ恰好位于标准中心时，|M－µ|=0，则K=0，这就是分布中心与标准中心重合的理想状态。
②当µ恰好位于标准上限或下限时，即µ=Tµ或µ=TL时，则K=1。
③当µ位于标准界限之外时，即ε>T/2，则K>1。所以K值越小越好，K=0是理想状态。
从图5-2看出，因为分布中心µ和标准中心M不重合，所以实际有效的标准范围就不能完全利用。若偏移量为ε，则分布中心右侧的的过程能力指数为：

分布中心左侧的过程能力指数为：

我们知道，左侧过程能力的增加值补偿不了右侧过程能力的损失，所以在有偏移值时，只能以两者中较小值来计算过程能力指数，这个过程能力指数称为修正过程能力指数，记作CPK：

由于

所以

当K=0，CPK=CP，即偏移量为0，修正过程能力指数就是一般的过程能力指数。当K≥1时，CPK=0，这时CP实际上也已为0。
例5---2设零件的尺寸要求（技术标准），随机抽样后计算样本特性值为
解：已知

所以

（3）计量值为单侧公差情况下CP值的计算
技术要求以不大于或不小于某一标准值的形式表示，这种质量标准就是单侧公差，如强度、寿命等就只规定下限的质量特性界限。又如机械加工的形状位置公差、光洁度，材料中的有害杂质含量，只规定上限标准，而对下限标准却不作规定。
在只给定单侧标准的情况下，特性值的分布中心与标准的距离就决定了过程能力的大小。为了经济地利用过程能力，并把不合格品率控制在0.3%左右，按3σ分布的原理，在单侧标准的情况下就可用3σ作为计算CP值的基础。
①只规定上限标准时如图5-3所示，过程能力指数为

注意：当µ≥Tµ时，则认为CP=0，这时可能出现的不合格率高达50%~100%。

图5-3
②只规定下限标准时如图5-4所示，过程能力指数为

注意：当µ≤TL时，则认为CP=0，这时可能出现的不合格率同样为50%~100%。

图5-4
例5---3 某一产品含某一杂质要求最高不能超过12.2毫克，样本标准偏差S为0.038，为12.1，求过程能力指数。

3．计件值情况下CP值的计算
在计件值情况下相当于单公差情况，其CP计算公式：
CP =（µ－Tµ） / 3σ
当以不合格数nP作为检验产品质量指标，并以（nP）µ，取样本K个，每个样本大小为n，其中不合格品数分别为（nP）1，（nP）2……（nP）K，则样本不合格品数的平均值为，其中

由二项分布可得：

当以不合格品率P作为检验产品质量指标，并以Pµ作为标准要求时，CP值可计算如下。
如果要求批不合格品率为Pµ，取样本k个，每个样本大小分别为n，n2，nk，其本样平均值与不合格品率平均值分别为：

这时有

则

注意：样本大小n最好为定值，以减小误差。
例5---4 抽取大小为n=100的样本20个，其中不合格数分别为：1，3，5，2，4，0，3，8，5，4，6，4，5，4，3，4，5，7，0，5，当允许样本不合格品数（nP）为10时，求过程能力指数。
解：

4．计点值情况下CP值的计算
在计点值情况下仍相当于单侧情况，其CP值可用公式求得。
当以疵点数（或缺陷数）C作为检验产品质量指标，并以Cµ作为标准要求时，CP值可以计算如下。
取样本k个，每个样本大小为n，其中疵点数（或缺陷数）分别为C1，C2，…，Ck，则样本疵点数的平均值为：

由泊松分布可得：

则

例5---5 抽取大小为n=50的样本20个，其中疵点数分别为：1，2，0，3，2，4，1，0，3，1，2，2，1，6，3，3，5，1，3，2，当允许样本疵点数Cµ为6时，求过程能力指数。
解：

三、过程不合格品率的计算
当质量特性的分布呈正态分布时，一定的过程能力指数与一定的不合格品率相对应。例如当CP=1时，即B=6σ时，质量特性标准的上下限与±3σ重合，由正态分布的概率函数可知，此时的不合格品率为0.27%。如图5-5所示。

图5-5
1．当分布中心和标准中心重合时的情况
首先计算合格品率，由概率分布函数的计算公式可知，在TL和Tµ之间的分布函数值就是合格品率，即

所以不合格品率为：

由以上公式可以看出，只要知道CP值就可求出该过程的不合格品率。
例5---6 当CP=1时，求相应不合格品率P。
解：

例5---7 当CP=0.9时，求相应不合格品率P。
解：

由不合格品率的公式及上两例可知，CP值增大时，不合格品率下降，反之，当CP值减小时，不合格品率增大。
2．当分布中心和标准中心不重合时的情况（
分布中心和标准中心不重合时的情况如图5-6所示

图5-6
首先计算合格品率：

由于

因此

结果

例5---8 已知某零件尺寸要求为，抽取样本，S=0.5，求零件的不合格品率P。

例5---9 已知某零件尺寸要求为，随机抽样后计算出的样本特性值，S=0.00519，过程能力指数CP=1.6，K=0.8，CPK=0.32，求不合格品率P。

3．查表法
以上介绍了根据过程能力指数CP值和相对偏移量（系数）K来计算不合格品率。为了应用方便，可根据CP和K求总体不合格率的数值表求不合格率P（CP—K—P数值表法，见表5-1）。
例5---10 已知某一零件尺寸要求为。抽取样本，S=0.5，求零件不合格品率。
查CP—K—P表，从表中CP=1.6，K=0.4相交处查出对应的P值为3.59%。这与前面我们计算出来的数值是完全相同的。故在实际工作中常用查表法是比较快捷的。

表5-1 CP—K—P数值表
K
Cp
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 0.24 0.28 0.32 0.36 0.40 0.44 0.48 0.52
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.0
13.36 13.43 13.64 13.99 14.48 15.10 15.86 16.75 17.77 18.92 20.19 21.58 23.09 24.71
7.19 7.26 7.48 7.85 8.37 9.03 9.85 10.81 11.92 13.18 14.59 16.81 17.85 19.69
3.57 3.64 3.83 4.16 4.63 5.24 5.99 6.89 7.94 9.16 10.55 12.10 13.84 15.74
1.64 1.69 1.89 2.09 2.46 2.94 3.55 4.31 5.21 6.28 7.53 8.89 10.62 12.48
0.69 0.73 0.83 1.00 1.25 1.60 2.05 2.62 3.34 4.21 5.27 6.53 8.02 9.75
0.27 0.29 0.35 0.45 0.61 0.84 1.14 1.55 2.07 2.75 3.59 4.65 5.94 7.49
0.10 0.11 0.14 0.20 0.29 0.42 0.61 0.88 1.24 1.74 2.39 3.23 4.31 5.66
0.03 0.04 0.05 0.08 0.13 0.20 0.31 0.48 0.72 1.06 1.54 2.19 3.06 4.20
0.01 0.01 0.02 0.03 0.05 0.09 0.15 0.25 0.40 0.63 0.96 1.45 2.13 3.06
0.00 0.00 0.01 0.01 0.02 0.04 0.07 0.13 0.22 0.36 0.59 0.93 1.45 2.10
0.00 0.00 0.01 0.02 0.03 0.06 0.11 0.20 0.35 0.59 0.96 1.54
0.00 0.01 0.01 0.03 0.06 0.11 0.20 0.36 0.63 1.07
0.00 0.01 0.01 0.03 0.06 0.11 0.22 0.40 0.72
0.00 0.01 0.01 0.03 0.06 0.13 0.25 0.48
0.00 0.01 0.01 0.03 0.07 0.15 0.31
0.00 0.01 0.02 0.04 0.09 0.20
0.00 0.01 0.02 0.05 0.18
0.00 0.01 0.03 0.08

四、过程能力分析
1．过程能力的判定
当过程能力指数求出后，就可以对过程能力是否充分做出分析和判定。即判断CP值在多少时，才能满足设计要求。
（1）根据过程能力的计算公式，如果质量特性分布中心与标准中心重合，这时K=0，则标准界限范围是±3σ（即6σ）时，这时的过程能力指数CP=1，可能出现的不合格品率为0.27%，过程能力基本满足设计质量要求。
（2）如果标准界限范围是±4σ（即8σ）时，K=0，则过程能力指为CP=1.33。这时的过程能力不仅能满足设计质量要求，而且有一定的富裕能力。这种过程能力状态是理想的状态。
（3）如果标准界限范围是±5σ（即10σ）时，K=0，则过程能力指数为CP=1.67，这时过程能力有更多的富裕，也即是说过程能力非常充分。
（4）当过程能力指数CP<1时，我们就认为过程能力不足应采取措施提高过程能力。
根据以上分析，过程能力指数CP值（或CPK）的判断标准列于表5-2。

表5-2过程能力的判断标准

2．提高过程能力的对策
（1）CP≥1.33。当CP>1.33时表明过程能力充分，这时就需要控制过程的稳定性，以保持过程能力不发生显著变化。如果认为过程能力过大时，应对标准要求和工艺条件加以分析，一方面可以降低要求，以避免设备精度的浪费；另一方面也可以考虑修订标准，提高产品质量水平。
（2）1.0≤CP≤1.33。当过程能力处于1.0~1.33之间时，表时过程能力满足要求，但不充分。当CP值很接近1时，则有产生超差的危险，应采取措施加强对过程控制。
（3）CP<1.0。当过程能力小于1时，表明过程能力不足，不能满足标准的需要，应采取改进措施，改变工艺条件，修订标准，或严格进行全数检查等。
3．提高过程能力指数的途径
在实际的过程能力调查中，过程能力分布中心与标准中心完全重合的情况是很少的，大多数情况下都存在一定量的偏差，所以过程能力分析时，计算的过程能力指数一般都是修正过程能力指数。从修正过程能力指数的计算公式中看出，式中有三个影响过程能力指数的变量，即质量标准T，偏移量ε和过程质量特性分布的标准差σ。那么要提高过程能力指数就有三个途径：即减小偏移量，降低标准差和扩大精度范围。
（1）调整过程加工的分布中心，减少偏移量
偏移量是过程分布中心和技术标准中心偏移的绝对值即ε=|M－µ|。当过程存在偏移量时，会严重影响过程能力指数。假设在两个中心重合时过程能力指数是充足的，但由于存在偏移量，使过程能力指数下降，造成过程能力严重不足。
例5---11 已知某零件尺寸标准为，随机抽样后计算出的样本特性值，S=0.00519，计算过程能力指数。
解：已知

由上例看出CP=1.6是很充足的，但由于存在偏移量，使过程能力指数下降到0.32，造成过程能力严重不足。所以调整过程加工的分布中心，消除偏移量，是提高过程能力指数的有效措施。
（2）提高过程能力减少分散程度
由公式B=6σ可知，过程能力B=6σ，是由人、机、料、法、环五个因素所决定的，这是过程固定有的分布宽度，当技术标准固定，过程能力对过程能力指数的影响是十分显著的，由此看出，减少标准差σ，就可以减小分散程度，从而提高过程能力，以满足技术标准的要求程度。一般来说可以通过以下一些措施减小分散程度：
①修订操作规程优化工艺参数；补充增添中间过程，推广应用新工艺、新技术。
②改造更新与产品质量标准要求相适应的设备，对设备进行周期性检查，按计划进行维护，从而保证设备的精度。
③提高工具、工艺装备的精度，对大型的工艺装备进行周期性检查，加强维护保养，以保证工装的精度。
④按产品质量要求和设备精度要求来保证环境条件。
⑤加强人员培训，提高操作者的技术水平和质量意识。
⑥加强现场质量控制，设置关键、重点过程的过程管理点，开展QC小组活动，使过程处于控制状态。
（3）修订标准范围
标准范围的大小直接影响对过程能力的要求，当确信若降低标准要求或放宽公差范围不致影响产品质量时，就可以修订不切实际的现有公差的要求。这样既可以提高过程能力指数，又可以提高劳动生产率。但必须以切实不影响产品质量，不影响用户使用效果为依据。
五、过程能力调查
1．过程能力调查的目的
过程能力的调查首先要从收集数据开始，并从频数分布表、直方图以及控制图等作为依据来判断过程是否处于稳定状态。如果处于稳定状态，则可由其分布的统计量、S等来计算过程能力指数，从而达到对过程进行科学调查的目的。过程能力调查一般来说有以下目的：
①为改善过程能力提供依据，从而取得较好的经济效果，保证产品质量的不断提高。
②为设计工作中确定产品标准提供重要资料，使产品设计减少盲目性。
③为工艺规程设计和修订、工艺装备的设计和修改、设备的选用以及对环境的要求等提供可靠资料，从而为更经济地使产品符合标准规格的要求打下基础。
④制订产品检验方法、编制产品说明书等检验和销售工作提供情报资料。
⑤为确定质量管理点提供依据。
2．过程能力调查的方法
过程能力调查的基本方法是用直方图。根据所收集来的数据画出直方图，观测它的整体分布形状，推测生产过程是否发生异常。还可以直观地分析质量分布中心µ和标准中心M是否重合，若发生较大的偏移，就说明生产过程中的存在较大的系统误差，这时应调查原因，消除由系统原因而引起的中心偏差。
六、过程性能指数
美国福特、通用和克莱斯勒三大汽车制造公司联合制定了QS9000标准，对于统计方法的应用提出了更高要求，QS9000标准的认证是以通过ISO9000认证为前提的。在QS9000中提出了的新概念，称之为过程性能指数（Process Performance Index），又称为长期过程能力指数。有关过程能力指数术语的完整表述如下：
—— 无偏移短期过程能力指数
—— 无偏移上单侧短期过程能力指数
—— 无偏移下单侧短期过程能力指数
—— 有偏移短期过程能力指数
以上4个指数称为C系列过程能力指数。
—— 无偏移过程性能指数
—— 无偏移上单侧过程性能指数
—— 无偏移下单侧过程性能指数
—— 有偏移过程性能指数
以上4个指数成为P系列过程性能指数。
QS9000对于给出下列定义：

参见表5-17。上式的物理含义是：不论分布位于公差范围内的任何位置，它对于上规格限可计算出一个上单侧过程性能指数，同时对于下规格限可计算出一个下单侧过程性能指数，选择二者中最小的一个。可以证明，上式与

是等价的。事实上偏移度的计算就相当于单侧过程性能指数的计算，而根据分布的位置我们选择过程性能指数的计算就相当于选择或。
上述过程能力指数的符号、名称及计算公式列表如表5-3。

表5-3 短期过程能力指数与过程性能指数
符号
名称
计算公式

无偏移短期过程能力指数

无偏移上单侧短期过程能力指数
，（）

无偏移下单侧短期过程能力指数
，（）

有偏移短期过程能力指数

无偏移过程性能指数

无偏移上单侧过程性能指数
，（）

无偏移下单侧过程性能指数
，（）

有偏移过程性能指数

注意：C系列过程能力指数与P系列过程性能指数的公式类似，二者的主要差别在于，前者公式中σ的估计采用短期标准差（即计算C系列过程能力指数时考虑的样本标准差S），且必须在稳态下计算；而后者公式中σ的估计采用长期标准差的估计值，是在实际情况（不一定是稳态）下计算的。
QS9000提出和的好处是：可以反映出系统当前的实际状况，而不要求在稳态的条件下进行计算。
关于和的比较说明如下：
①无偏移情况的表示过程加工的一致性，即“质量能力”，越大，则表示质量能力越强；而有偏移情况的反映过程中心μ与公差中心M的偏移情况，越大，则两者偏离越大，是过程的“质量能力”与“管理能力”二者综合的结果。故和二者的着重点不同，需要同时加以考虑。需要说明的是，C系列的过程能力指数是指过程的短期过程能力指数，而P系列的过程性能指数则是指过程的长期过程能力指数。
②对于同一个过程而言，通常长期标准差的估计值大于短期标准差。因此，过程的质量改进就是逐步减少，使之不断向逼近。根据和的差值（称之为过程稳定系数）

或相对差值（称之为过程相对稳定系数）

可以对过程的实际状况，即对过程偏离稳态的稳定程度进行评估，见表5-3。

第二节 控制图原理
一、控制图概述
SPC是英文Statistical Process Control的字首简称，即统计过程控制。SPC就是应用统计技术对过程中的各个阶段进行监控，从而达到改进与保证质量的目的。其中控制图理论是SPC最主要的统计技术。
控制图是判别生产过程是否处于控制状态的一种手段，利用它可以区分质量波动究竟是由随机因素还是系统因素造成的。
1924年美国的休哈特（W••••••A•Sheuhart）提出了过程控制的概念与实施过程监控的方法，并首先提出用控制图进行生产控制，稳定生产过程的质量达到以预防为主的目的。控制图的总类很多，本节主要介绍常规控制图，也称休哈特控制图。
常规控制图要求从过程中获取以近似等间隔抽取的数据，此间隔可以用时间来定义（例如：每小时）或者用数量来定义（例如：每批）。通常，这样抽取的数据在过程控制中称为子组，每个子组由具有相同可测量单位和相同子组大小的同一产品或服务所组成。从每一子组得到一个或多个子组特性，如子组平均值、子组极差R或标准差S。常规控制图就是给定的子组特性值与子组号对应的一种图形，它的基本格式包括两个部分：
一是标题部分。主要包括企业、车间、班组的名称，机床设备的名称、编号，零件、生产名称、编号，检验部位、要求、测量器具、操作工、调试工、检验工、绘图者的名称，以及控制图的名称编号等。
二是控制图部分。是指根据概率统计的原理，在普通坐标纸上做出两条控制限和一条中心线，然后把时间顺序抽样所得的质量特性值（或样本统计量）以点子的形式依次描在图上，从点子的动态分布情况来分析生产过程质量及其趋势的图形。控制图的基本格式如图5-7所示。

图5-7 控制图示例

图上横坐标是以时间先后排列的样本组号（子组号），纵坐标为质量特性值或样本统计量。两条控制限线一般用虚线表示，上面一条称为上控制限(记为UCL，Upper control limit)，下面一条称为下控制限（记为LCL，lower control limit），中心线用实线表示（记为CL，Central Line）。
在生产过程中，应定时抽取样本，把测得的点子按时间先后一一描在图上。如果点子落在两控制限之间，且点子排列是随机的，则表明生产过程仅有随机误差存在，生产基本正常，处于统计控制状态，此时对生产过程可不必干预；如果点子落在两控制限线之外，或点子在两控制限线内的排列是非随机的，则表明生产过程中有系统性原因导致的系统误差存在，生产已处于非统计控制状态，此时必须采取措施使生产恢复正常。这样可用控制图对生产过程不断地进行监控，能够对系统性原因的出现及时警告，起到预防作用。
二、控制图的统计学原理
1．3σ原理
在生产过程中，仅有随机性因素存在时，产品质量特性值X会形成某种确定的典型分布，例如正态分布。当出现系统性原因时，X就偏离原来的典型分布了。可以通过统计学中假设检验的方法来及时地发现这种分布的偏离，从而据以判断系统性原因是否存在。下面以X服从正态分布为例加以说明。
设当生产不存在系统性原因时，X~N（μ，σ2），则P（μ-3σ<X <μ+3σ）=0.9973。如图5-7所示，X落在两条虚线外的概率之和只有0.27%。即1000个样品（数据）中，平均约有3个数据超出分布范围，有997个落在（μ-3σ，μ+3σ）之中。如果从处于统计控制状态的生产中任抽一个样品X，可以认为X一定在分布范围μ±3σ之中，而认为出现在分布范围之外是不可能的，这就是3σ原理。

图5-8 质量特性值分布示意图

现在按加工次序每隔一定时间抽取一个样品，如果生产仍然只受到随机性因素的影响，那么被抽取的产品质量特性仍服从原来的正态分布，该产品质量特性值落在图5-8两条虚线外几乎是不可能的。如果某一产品质量特性值落到了两条虚线外，由于这种可能性只有0.27%，这是个很小的概率，出现这样概率的事件称为小概率事件。概率统计理论认为，小概率事件在一次试验中是不会发生的，现在发生了，说明原来的分布出现了较大的变化，图5-8中超出上控制限不是偶然的现象，它是分布逐渐变化的结果。分布之所以变化，乃是由于生产过程出现了系统性原因。系统性原因不只是影响超出上限的点，也会影响其它点，不过超出上限的点较为突出罢了。这时超过上下控制限的面积不再是0.27%，可能是百分之几或者更大，点子落在虚线外的可能性大大增加了。因此可以认为，当点子落到上下限外时，表明生产过程出现了系统性问题，已处于失控状态，必须追查具体的技术原因，采取措施，使生产恢复到控制状态。
一般来说3σ原理，在一次试验中，如果样品出现在分布范围μ±3σ的外面，则认为生产处于非控制状态。习惯上，把μ-3σ定为LCL，μ+3σ定为UCL，μ定为CL，这样得到的控制图称为3σ原理的控制图，也称为休哈特控制图。
2．两类错误
控制图之所以规定3σ限，主要是处于经济上的考虑。这可以从两个方面加以说明。
应用控制图判断生产是否稳定，实际上是进行统计推断。既然是统计推断，就可能出现两类错误：第一类错误是将正常判为异常，既生产仍处于统计控制状态，但由于随机性原因的影响，使得点子超出控制限，虚发警报而将生产误判为出现了异常。例如上述处于控制状态的样品有可能落在3σ限以外，其概率为0.27%，即犯错误的可能性在1000中约有3次。犯这类错误的概率称为Ⅰ类风险，记作α。第二类错误是将异常判为正常，生产已经变化为非统计控制状态，但点子没有超出控制限，而将生产误判为正常，这是漏发警报。把犯这类错误的概率称为第Ⅱ类风险，记作β。孤立地看，哪类错误都可以缩小，甚至避免，但是要同时避免两类错误是不可能的。显然，放宽控制限可以减少第Ⅰ类风险，例如将范围从μ±3σ扩展到μ±5σ，则有
P（|X-μ|≤5σ）=99.9999%
P（|X-μ|>5σ）=0.0001%
此时α=0.0001%,即一百万次约有一次犯第一类错误。但是，由于将限从3σ扩展到5σ，因而使第Ⅱ类风险增大，即β增大。如果压缩控制限，则可以减少犯第二类错误的概率β，但会增加犯第一类错误的概率α。一般来说，当样本大小为定数时，α越小则β越大，反之亦然。因此，控制图控制限的合理确定，应以两类错误所造成的总损失最小为原则。实践证明，能使两类错误总损失最小的控制限幅度大致为3σ。因此选取μ±3σ作为上下控制限是经济合理的。
三、控制图的分类
常规控制图主要有两种类型：计量控制图和计数控制图。每一种类型的控制图又有标准值未给定和标准值给定两种不同的情形。标准值即为规定的要求或目标值(见表5-2、表5-4和表5-5)
1．标准值未给定情形的控制图
这种控制图的目的是发现观测值本身的变差是否显著大于仅由随机原因造成的变异。这种控制图完全基于子组数据，用来检测非随机原因造成的变异。
2．标准值给定情形的控制图
这种控制图的目的是确定若干个子组的等特性的观测值与其对应的标准值Xo(或μo)之差，是否显著大于仅由预期的随机原因造成的差异，其中每个子组的n值相同。标准值给定情形的控制图与标准值未给定情形的控制图之间的差别，在于有关过程中心位置与变差的附加要求不同。标准值可以基于通过使用无先验信息或无规定标准值的控制图而获得的经验来确定，也可以基于通过考虑服务的需要和生产的费用而建立的经济值来确定，可以是由产品规范或标准指定的标称值。
更适宜地，应通过调查被认为代表所有未来数据特征的预备数据来确定标准值。为控制图的有效运作，标准值应该与过程固有变异相一致。基于这类标准值的控制图，特别应用于制造业的过程控制，并使产品的一致性保持在期望的水平。
3．计量控制图和计数控制图的类型
控制图的种类很多，若按统计量分，一般可分为计量控制图和计数控制图。常用的计量控制图类型有：
（1）平均值()图与极差(R)或标准差(S)图；
（2）单值()图与移动极差(R)图；
（3）中位数(Me)图与极差(R)图；
常用的计数控制图类型有：
（1）不合格品率(p)图或不合格品数(np)图；
（2）不合格数(c)图或单位产品不合格数（μ）图
四、计量值控制图
计量数据是指对于所考察子组（样本）中每一个单位产品特性值的数据大小进行测量与记录所得到的观测值，例如以米（m）表示长度，以欧姆（Ω）表示的电阻，以分贝（dB）表示的噪音等。计量控制图代表了控制图对过程控制的典型应用。
GB/T4091-2001中假定所有计量控制图的子组内变异服从正态（高斯）分布，如若偏离这一假定将会影响控制图的性能。利用正态性的假设，可以推导出计算控制限的一些系数。由于大多数控制限是用来做出决策的经验指南，因此有理由认为，对正态性的小偏离应该不会造成重大的影响。事实上根据中心极限定理可知，平均值总会趋向于正态分布，即使单个观测值不服从正态分布时也是如此。因此，对于控制图而言，即使用于评估控制的子组大小仅为4或5，假定其正态性也是合理的。当出于研究过程能力的目的处理单个观测值时，其分布的真实形式很重要。定期检查正态性假设的有效性是明智的，尤其是要确保只使用单一总体的数据。应该注意，极差和标准差的分布并不是正态的，尽管在为计算控制限估计常数时，对极差和标准差的分布作了近似正态性的假设，这种假设对于经验决策程序而言是可以接受的。计量控制图分为以下几种类型。
1．均值（）图与极差（R）或标准差（s）图
计量控制图可以同时利用离散程度（产品间变异）和位置（过程平均）去描述过程的数据。正由于这一点，计量控制图几乎总是成对地绘制并加以分析。其中一张是关于位置的控制图，一张是关于离散程度的控制图。最常用的一对即和R图。表5-4和表5-5分别给出了计量控制图的控制限公式和系数。
表5-4 常规计量控制图控制限公式
统计量
标准值未给定
标准值给定
中心线
UCL与LCL
中心线
UCL与LCL

R

S

、
，

，
，
注：X0、R0、S0、μ、σ0为给定的标准值。

表5-5 计量控制图计算控制线的系数表
子组中观测值个数
控制限系数
中心线系数
A
A2
A3
B3
B4
B5
B6
D1
D2
D3
D4
C4
1 / C4
D2
1/ d2
2
2.121
1.880
2.659
0.000
3.267
0.000
2.606
0.000
3.686
0.000
3.267
0.7979
1.2533
1.128
0.8865
3
1.732
1.023
1.954
0.000
2.568
0.000
2.276
0.000
4.358
0.000
2.574
0.8862
1.1284
1.693
0.5907
4
1.500
0.729
1.628
0.000
2.266
0.000
2.088
0.000
4.698
0.000
2.282
0.9213
1.0854
2.059
0.4857
5
1.342
0.577
1.427
0.000
2.089
0.000
1.964
0.000
4.918
0.000
2.114
0.9400
1.0638
2.326
0.4299
6
1.225
0.483
1.287
0.030
1.970
0.029
1.874
0.000
5.078
0.000
2.004
0.9515
1.0510
2.534
0.3946

7
1.134
0.419
1.182
0.118
1.882
0.113
1.806
0.204
5.204
0.076
1.924
0.9594
1.0423
2.704
0.3698
8
1.061
0.373
1.099
0.185
1.815
0.179
1.751
0.388
5.306
0.136
1.864
0.9650
1.0363
2.847
0.3512
9