小学数学解题策略初探 2013年.doc

小学数学解题策略初探

木棠中心校 陈华

美国著名数学家哈尔莫斯说过：“问题是数学的心脏。”学习数学离不开解题，历来解题就被公认为是数学学习中最富有特征的一项活动。解题能力的高低很大程度上取决于解题策略的掌握，而解题策略的中心内容就是教会学生学会思考，掌握解决问题的策略，把要解的问题化归为已经解过的问题，解决问题能力的提高主要依靠正确的思维策略和解题方法，思维策略是提高问题解决能力的关键，也是现代教育研究的重要内容。解决问题是数学课程的重要目标之一，解决问题需要相应的策略做支撑。解决问题的策略就是寻找解题思路的指导思想，它是为了实现解题目标而采取的指导方针，小学生在解决问题中常出现以下情形：有时，面对数学问题，无从下手；有时，明明思路很清楚，就是解不出来；有时解题到途中，却是：“山穷水尽”，无路可走，等等。这是为什么呢？这些疑惑可归结为没有掌握好解决问题的策略。什么是解题策略？解题策略就是寻找解题思路的指导思想，这是为了实现解题目标而采取的指导方针。只有掌握了一定的解题策略，才会在遇到问题时，找到问题的思考点和突破口，迅速、正确地解题，因此在教学中我们要适当加强数学解题策略的指导，优化学生的思维品质，提高解题能力。基于以上的认识，我在教学实践中进行了对学生解题策略指导的尝试探索，获得了一些初步的体验。
一、“巧转化——化生为熟”的解题策略　
转化是解题的万能钥匙。传颂千古的司马先砸缸、曹冲称象等故事，都成功地运用了“转化”的策略。人们在解决问题遇到障碍时常常把原来复杂的、生疏的、难解的问题转化为另一个简单的熟悉的易解的问题进行思考，使解题思路畅通。它是小学数学中常用且非常重要的一种策略思想，不仅在解答一些数学题时要用到这种策略，而且在引导学生探究某些新数学知识时也要用到它。
例如：在数学“小数乘法法则”（实际上是解决“如何计算小数乘法”这个问题）时，要引导学生运用化归的策略，先把“小数乘法”转化为“整数乘法”来计算，然后还原乘积。转化的方法，可以变换条件，也可以变换所要求的问题，从而实现化新为旧、化繁为简的目的。
例如：计算66666×10001＋66666×6666
分析：原式逆用乘法分配律可以转化为66666×16667，注意到16667×6=100002，这样66666×16667可以转化为11111×100002进行巧算。
解：666666×10001＋66666×6666
=66666×（10001＋6666）
=66666×16667
=11111×（6×16667）
=11111×100002
=1111122222
评注：在大数目的计算题中，我们往往将原式变形——转化，化繁为简，使其能准确迅速地计算。
二、“善于退——以退求进”的解题策略
对于一些比较复杂的数学问题，可以先研究它的简单情况，从解决简单问题的过程中受到启发，看透问题的本质，发现规律，找到解决问题的进钥匙。已故著名数学家华罗庚教授说过，善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个决窍。这里的“退”是减少问题“坡度”的战略退却，它包括了从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，退到保持特征的最简单情形。因而，在小学数学里，运用以退求进的策略，可使一些比较抽象的问题变得比较具体、简单明了。
例如，教学“整数乘以分数”的计算法则时，就是要运用以退求进的策略，退到最基本的“份”的概念上来，从份的角度来推算：100×就是把100平均分成4份，每份是100÷4或100×；取其中的3份就是每份数×3，从而得到100乘以等于100乘以3除以4。
   运用这一策略，在解答一些较难的分数应用题、比和比例应用题，退到从“份”的角度来分析，不仅可以得到简捷的解法，还有利于拓宽学生的思路，提高学生的解题能力。用这一策略帮助学生理解、掌握一些典型应用题（如行程问题、工程问题、归一问题）也有很大的作用。
例如，小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路，小明上学走两路所用时间一样多，已知下坡路的速度是平路的倍，那么上坡的速度是平路的（ ）倍。
分析：“有两条一样长的路”，路长数未告诉：“小明上学走两路所用时间一样多”，时间数未告诉。如果“路长数”、“ 时间数”已知的话，那么首先可以求出小明走平路的速度，进而求出小明走下坡路的速度以及小明走上坡的速度，最后求出小明走上坡的速度与走平路的速度比。关键在于知道路长数、时间数。
我们从抽象未知的路长数、时间数退到具体。
解：取平路长为1000米，小明用1000秒钟走完平路，即每秒钟走1米。故小明走下坡路的速度是每秒钟走米，走下坡路500米采用500÷=（秒）。那么小明用1000－=（秒）钟走上坡路500米，速度为500÷=500×=（），即每秒钟走米。小明平路的速度是每秒钟走1米，走上坡的速度是每秒钟走米，故知上坡的速度是平路速度的倍。
三、“反面入手” 的解题策略
大家都知道古时司马先砸缸救人的故事。让人离开水行不通，就让水离开人。司马先砸缸救人恰是从反面入手的成功事例。
当一个问题从条件出发正面入手难以解决或头绪太多时，可以转向反面思考；当一个问题直接解决有困难时，可以考虑间接方法；当探索一个问题的结论成立不能奏效时，可探索此结论不成立，……总之，反面入手要求与习惯思维方向相反的探求方式，即转向问题的反面来求解。
小学数学里常用的逆推、反驳、反思等都是反面入手策略思想的具体体现。
例如有些一般复合应用题，既不能像典型应用题那样有特殊的解题模式，按从条件到问题的思考方式解题又比较困难，用逆推法把情境发生的顺序倒过来，从问题出发，执果索因，逐步寻求解决问题所需要的条件，就比较容易找到解题的方法。
又如，除了本身以外，3477859的最大因数是（ ）。
分析：3477859是一个7位数，要直接找到它除本身以外的最大因数，比较困难。从反面入手，先找3477859除1以外最大因数，那么3477859除以这个“最小因数”得到的商就是所要求得数。
解：由3477859的个位数字是9，知2不是它的因数。3477859的各位数字之和为43，43不是3的倍数，所以3不是它的因数，3477859的各位数字是9，所以5不是它的因数。下面考虑7是不是它的因数，直接作除法3477859÷7=496837，故知7是3477859除1以外的最小因数。所以3477859除本身以外的最大因数是496837。
四、“实验、分析调整”的解题策略
实验、分析调整是解决某些比较复杂问题的有效方法之一，这里所说的实验，不是盲目的乱试，而是按照一定方向的实验，也就是朝着目标方向的实验。解决“鸡、兔同笼”问题的假设法，是根据应用题的已知条件，先做一个假设，然后根据题意和假设之间的矛盾进行分析、调整，寻求解题途径；又是试验、分析调整的一个固定模式。
例如：学校举行环保知识竞赛，共 10 个赛题，每做对一题得 10 分，错一题倒扣 5 分，张华全部解答，但只得 70分，他做对多少题？
根据题意，答对一题得10分；答错一题不仅得不到10分， 还要扣去5分，即失去10＋5＝15分。现假设张华10 题都答对，她应得10×10＝100（分）， 而实际上她只得了70 分，失去100－70＝ 30（分）。30÷15＝2（题），由此可知，张华答错了2题，答对了8题。
又如：有大于400的三个连续的自然数，其中最小的能被6整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除。写出一组这样的三个连续自然数。
分析：由被5整除的数的特征可知，最小数、中间数、最大数的个位数依次是4、5、6或9、0、1。但由于最小数能被6整除，所以它的个位数字不会是9。故最小数、中间数、最大数的个位数只能依次是4、5、6。从个位数入手，实验、分析调整。
解：先从6、5、7中最大的7开始。谁乘以7的个位数是6呢？只有 8×7的个位数是6。
400÷7=57……1，先用58实验。
58×7=406，因最小数能被6整除，它必被3整除，但这时的最小数是406－2=404，3不整除404。
调整，给404加上70的若干倍（404＋7m的个位数仍是4；405＋7m仍是5的倍数；406＋7m仍是7的倍数）。
404＋70=474，3整除474，2整除474，故6整除474。
474，475，476是符合条件的一组数。
评注；解决这类问题，首先题意确定三个连续自然数的个位数；其次，从个位数入手实验，先满足一个整除条件（除数最大），经实验、分析调整，直到满足其它整除条件为止。
五、分类讨论的解题策略
许多数学问题由于受某些因素的限制，例如概念的不同，位置的不同，范围的不同，性质的不同等，不能按统一的方法、统一的标准或同一的公式来进行处理，这就需要我们对所研究的对象进行分类，然后进行讨论。
分类讨论的思想法是一种化整为零、各个击破、整合结论的解题策略，在分析和解决数学问题中，运用分类讨论思想可以将问题的条件和结论的因果关系、局部与整体的逻辑关系揭示得一清二楚，刻画得十分准确，在解决对象为可变的数量关系和空间图形形式的数学问题中有着广泛和重要的作用。分类就是按照一定标准把研究对象分成几个部分或几种情况，来加以研究、讨论。
例：1＋2＋3＋4＋…＋2134+2135这个算式的和是偶数还是奇数？
分析：观察这一列数，可分为两类，一类是偶数、一类是奇数，我们就把这列数分成两类来研究。2＋4＋6＋…＋2134
这个偶数列的总和还是偶数，1＋3＋5＋…＋2135，这列数中有多少个奇数呢？答有1068个，偶数个奇数的和是偶数。所以这个数列的和为偶数
六、数形结合的解题策略
“数”和“形”是小学数学教学的研究对象，也是贯穿小学数学教材的两条主线。“数形结合”既是一种重要的数学思想，也是一种解决数学问题的有效方法。几何图形的优点在于直观形象，便于理解；代数方法的优点在于解题过程的机械化，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，可操作性强，便于把握。因此，以形助数、以数助形，实现“数”与“形”的完美结合是学好小学数学的重要思想方法。
例：“植树问题”教学片段
模拟植树，得出线上植树的三种情况。
师：“___”代表一段路，用“ / ”代表一棵树，画“ / ”就表示种了一棵树。请在这段路上种上四棵树，想想、做做，你能有几种种法？
学生操作，独立完成后，在小组里交流说说你是怎么种的？
师反馈，实物投影学生摆的情况。师根据学生的反馈相应地把三种情况都贴于黑板：
① \___\___\___\两端都种
② \___\___\___\___ 或 ___\___\___\___\ 一端栽种
③ ___\___\___\___\___两端都不种
师生共同小结得出： 两端都种：棵数＝段数＋1； 一端栽种：棵数=段数； 两端都不种 ：棵数=段数－1。　
以上片段教师利用线段图帮助学生学习。让学生有可以凭借的工具，借助数形结合将文字信息与学习基础耦合，使得学习得以继续，使得学生思维发展有了凭借，也使得数学学习的思想方法真正得以渗透。　
数学教学过程主要是数学问题的解决过程，数学问题的解决离不开解题策略的指导。数学教学的目的就在于透过知识载体，让学生感受到知识背后所孕育的数学思想，面对纷繁复杂的问题能多角度多层面多策略去分析把握它的实质，去粗取精，去伪存真，开拓学生的视野，启迪学生的智慧，提升学生的思维素养，为学生的终身发展奠定基础。因此，解题有法而无定法，这正说明了数学问题的纷繁复杂，解题技巧的灵活多变。一个数学问题摆在面前，其思维的触须是多端的，以上所述的几种解题策略只是平时常用的引导途径，为了能够更有效地提高解题能力，还要学生在解题实践中注意不断思索探求、逐步积累解题经验，以掌握更多、更具体的解题方法和思维策略。

2013年4月6日星期六